1、1第 2 课时 导数与函数的极值、最值题型一 用导数求解函数极值问题命题点 1 根据函数图像判断极值典例 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 y(1 x)f( x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)答案 D解析 由题图可知，当 x0；当22 时， f( x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值命题点 2 求函数
2、的极值典例 (2018深圳调研)设函数 f(x)ln( x1) a(x2 x)，其中 aR.讨论函数 f(x)极值点的个数，并说明理由解 f( x) a(2x1)1x 1 (x1)2ax2 ax a 1x 1令 g(x)2 ax2 ax a1， x(1，)当 a0 时， g(x)1，此时 f( x)0，函数 f(x)在(1，)上是增加的，无极值点当 a0 时， a28 a(1 a) a(9a8)2a当 0 时， 0，89设方程 2ax2 ax a10 的两根为 x1， x2(x1 .12 14 14由 g(1)10，可得10， f( x)0，函数 f(x)是增加的；当 x( x1， x2)时，
3、 g(x)0， f( x)0，函数 f(x)是增加的因此函数有两个极值点当 a0，由 g(1)10，可得 x10， f( x)0，函数 f(x)是增加的；当 x( x2，)时， g(x) 时，函数 f(x)有两个极值点89命题点 3 根据极值求参数典例 (1)(2017沧州模拟)若函数 f(x) x32 cx2 x 有极值点，则实数 c 的取值范围为_答案 ( ， 32) (32， )解析 f( x)3 x24 cx1，由 f( x)0 有两个不同的根，可得 (4 c)2120， c 或 c2.由 f( x)0 在(12， 3)内有根，得 a x 在 内有解，又 x ，所以 2 a0，当 01
4、 时， f( x)0， x0,1，1 都是 f(x)的极值点(2)(2017湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)若函数 f(x) (12 a)x2ln ax22x(a0)在区间 内有极大值，则 a 的取值范围是( )(12， 1)4A. B(1，)(1e， )C(1,2) D(2，)答案 C解析 f( x) ax(12 a) (a0， x0)，若 f(x)在区间 内2x ax2 2a 1x 2x (12， 1)有极大值，即 f( x)0 在 内有解(12， 1)则 f( x)在区间 内先大于 0，再小于 0，(12， 1)则Error! 即Error!解得 10，由 ke，则 x 0，得 xa，
5、则实数x22a 的取值范围是_答案 ( ，72)解析 由题意知， f( x)3 x2 x2，令 f( x)0，得 3x2 x20，解得 x1 或 x ，23又 f(1) ， f ，72 ( 23) 15727f(1) ， f(2)7，1126故 f(x)min ， a0)的 导 函 数 y f (x)的 两 个 零 点 为ax2 bx cex 3 和 0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)的极小值为e 3，求 f(x)在区间5，)上的最大值解 (1) f( x)2ax bex ax2 bx cexex2 . ax2 2a bx b cex令 g(x) ax2(2 a b)x b
6、c，因为 ex0，所以 y f( x)的零点就是 g(x) ax2(2 a b)x b c 的零点且 f( x)与g(x)符号相同又因为 a0，所以当30，即 f( x)0，当 x0 时， g(x)5 f(0)，5e 5所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值是 5e5.思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值跟踪训练 若函数 f(x) x3 x2 在区间( a， a5)上存在最小值，则实数 a 的取值范围
7、13 237是( )A5,0) B(5,0)C3,0) D(3,0)答案 C解析 由题意，得 f( x) x22 x x(x2)，故 f(x)在(，2)，(0，)上是增加的，在(2,0)上是减少的，作出其图像如图所示，令 x3 x2 ，得13 23 23x0 或 x3，则结合图像可知，Error!解得 a3,0)利用导数求函数的最值典例 (12 分)已知函数 f(x)ln x ax(aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0 时，求函数 f(x)在1,2上的最小值思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求 f( x)0， f( x)0)，1x当 a0 时， f( x) a
8、0，即函数 f(x)的递增区间为(0，)2 分1x当 a0 时，令 f( x) a0，可得 x ，1x 1a当 00；1a 1 axx当 x 时， f( x) 0 时，函数 f(x)的递增区间为 ，递减区间为 .5 分(0，1a) (1a， )(2)当 1，即 a1 时，函数 f(x)在区间1,2上是减少的，所以 f(x)的最小值是 f(2)1aln 22 a.6 分当 2，即 01 时， f( x)0， f(x)在 x1 处取得极小值故选 C.4记函数 f(x) 的最大值为 M，最小值为 m，则 的值为( )x 3 12 3xM mM mA. B. C. D.13 34 35 23答案 A解
9、析 由已知，得Error!解得 3 x4，所以函数 f(x) 的定义域是x 3 12 3x3,4求导，得 f( x) ，令 f( x)0，得 x ，当 x 时，12x 3 3212 3x 134 (3， 134)10f( x)0，当 x 时， f( x)1， f(4)1，所以 m f(4)1，所以 .(134) 3 M mM m 2 12 1 135已知函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x1 处有极值 10，则 f(2)等于( )A11 或 18 B11C18 D17 或 18答案 C解析 函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x1 处有极值 10， f(1)10，且 f(1)
10、0，又 f( x)3 x22 ax b，Error! 解得Error!或Error!而当Error! 时，函数在 x1 处无极值，故舍去 f(x) x34 x211 x16， f(2)18.6(2017河北三市二联)若函数 f(x) x3 x22 bx 在区间3,1上不是单调函13 (1 b2)数，则函数 f(x)在 R 上的极小值为( )A2 b B. b43 32 23C0 D b2 b316答案 A解析 f( x) x2(2 b)x2 b( x b)(x2)，函数 f(x)在区间3,1上不是单调函数，30，得 x2，由 f( x)0)的极大值是正数，极小值是负数，则 a 的取值范围是_1
11、1答案 (22， )解析 f( x)3 x23 a23( x a)(x a)，由 f( x)0 得 x a，当 aa 或 x0，函数是增加的， f(x)的极大值为 f( a)，极小值为 f(a) f( a) a33 a3 a0 且 f(a) a33 a3 a .22 a 的取值范围是 .(22， )9(2018长沙调研)已知 y f(x)是奇函数，当 x(0,2)时， f(x)ln x ax ，(a12)当 x(2,0)时， f(x)的最小值为 1，则 a_.答案 1解析 由题意知，当 x(0,2)时， f(x)的最大值为1.令 f( x) a0，得 x ，1x 1a当 00；1a当 x 时，
12、 f( x)0 时， f(x)在1，e上是增加的，则 f(x)在1，e上的最大值为 f(e) a.故当 a2 时， f(x)在1，e上的最大值为 a；当 a0)，则 f( t)2 t ，1t令 f( t)0，得 t ，22当 0 时， f( t)0，22 22当 t 时， f(t)取得最小值221415若函数 f(x) mln x( m1) x 存在最大值 M，且 M0，则实数 m 的取值范围是_答案 (e1 e， 1)解析 f( x) ( m1) (x0)，mx m 1x mx当 m0 或 m1 时， f(x)在(0，)上单调，此时函数 f(x)无最大值当 00， mln m0，解得 m ，
13、(m1 m) m1 m m1 m e1 e m 的取值范围是 .(e1 e， 1)16(2018 届中原名校质检)已知函数 f(x) xln x x2(aR)a2(1)若 a2，求曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程；(2)若 g(x) f(x)( a1) x 在 x1 处取得极小值，求实数 a 的取值范围解 (1)当 a2 时， f(x) xln x x2，f( x)ln x12 x， f(1)1， f(1)1，所以曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程为 x y0.(2)由已知得 g(x) xln x x2( a1) x，a2则 g( x)ln x ax a，记
14、h(x) g( x)ln x ax a，则 h(1)0， h( x) a (x0)1x 1 axx当 a0， x(0，)时， h( x)0，函数 g( x)是增加的，所以当 x(0,1)时，g( x)0，所以 g(x)在 x1 处取得极小值，满足题意；当 01，当 x 时， h( x)0，故函数 g( x)是增加的，1a (0， 1a)可得当 x(0,1)时， g( x)0，所以 g(x)在 x1 处取得极小(1，1a)值，满足题意；当 a1， x(0,1)时， h( x)0， g( x)在(0,1)内是增加的；当 x(1，)时， h( x)1，即 00，1a (1a， 1)当 x(1，)时， h( x)0， g( x)是减少的， g( x)0，所以 g(x)在 x1 处取得极大值，不合题意综上可知，实数 a 的取值范围为 a|a1
