1、1课时跟踪检测（三十八） 数学归纳法(一)普通高中适用作业A 级基础小题练熟练快1若 f(n)1 (nN *)，则 f(1)的值为( )12 13 16n 1A1 B.15C1 D非以上答案12 13 14 15解析：选 C 等式右边的分母是从 1 开始的连续的自然数，且最大分母为 6n1，则当n1 时，最大分母为 5，故选 C.2已知 f(n)1 22 23 2(2 n)2，则 f(k1)与 f(k)的关系是( )A f(k1) f(k)(2 k1) 2(2 k2) 2B f(k1) f(k)( k1) 2C f(k1) f(k)(2 k2) 2D f(k1) f(k)(2 k1) 2解析：
2、选 A f(k1)1 22 23 2(2 k)2(2 k1) 22( k1) 2 f(k)(2 k1) 2(2 k2) 2.3利用数学归纳法证明不等式 1 f(n)(n2， nN *)的过程中，12 13 12n 1由 n k 到 n k1 时，左边增加了( )A1 项 B k 项C2 k1 项 D2 k项解析：选 D 令不等式的左边为 g(n)，则g(k1) g(k)1 12 13 12k 1 12k 12k 1 12k 1 1 ，(112 13 12k 1) 12k 12k 1 12k 1 1其项数为 2k1 12 k12 k1 2 k2 k.故左边增加了 2k项4用数学归纳法证明“ n3
3、( n1) 3( n2) 3(nN *)能被 9 整除” ，利用归纳法假设证明 n k1 时，只需展开( )A( k3) 3 B( k2) 3C( k1) 3 D( k1) 3( k2) 3解析：选 A 假设 n k 时，原式 k3( k1) 3( k2) 3能被 9 整除，当 n k1 时，(k1) 3( k2) 3( k3) 3为了能用上面的归纳假设，只需将( k3) 3展开，让其出现 k32即可5利用数学归纳法证明“( n1)( n2) (n n)2 n13(2n1)，nN *”时，从“ n k”变到“ n k1”时，左边应增乘的因式是( )A2 k1 B2(2 k1)C. D.2k 1
4、k 1 2k 3k 1解析：选 B 当 n k(kN *)时，左式为( k1)( k2) ( k k)；当 n k1 时，左式为(k11)( k12)( k1 k1)( k1 k)(k1 k1)，则左边应增乘的式子是 2(2 k1) 2k 1 2k 2k 16设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足当 f(k) k1 成立时，总能推出f(k1) k2 成立，那么下列命题总成立的是( )A若 f(1)2 成立，则 f(10)11 成立B若 f(3)4 成立，则当 k1 时，均有 f(k) k1 成立C若 f(2)3 成立，则 f(1)2 成立D若 f(4)5 成立，则当 k4 时，
5、均有 f(k) k1 成立解析：选 D 当 f(k) k1 成立时，总能推出 f(k1) k2 成立，说明如果当k n 时， f(n) n1 成立，那么当 k n1 时， f(n1) n2 也成立，所以如果当k4 时， f(4)5 成立，那么当 k4 时， f(k) k1 也成立7用数学归纳法证明 1 a a2 an1 (nN *， a1)，在验证 n1 成1 an 21 a立时，左边所得的项为_解析：当 n1 时， n12，所以左边1 a a2.答案：1 a a28用数学归纳法证明 ，假设 n k 时，不等式成立，122 132 1 n 1 2 12 1n 2则当 n k1 时，应推证的目标
6、不等式是_解析：观察不等式中分母的变化便知答案： 122 132 1 k 1 2 1 k 2 2 12 1k 39用数学归纳法证明 2n2 n1， n 的第一个取值应是_解析： n1 时，2 12,2113,2 n2 n1 不成立；n2 时，2 24,2215,2 n2 n1 不成立；n3 时，2 38,2317,2 n2 n1 成立3 n 的第一个取值应是 3.答案：310设数列 an的前 n 项和为 Sn，且对任意的自然数 n 都有：( Sn1) 2 anSn，通过计算 S1， S2， S3，猜想 Sn_.解析：由( S11) 2 S 得， S1 ；2112由( S21) 2( S2 S1
7、)S2得， S2 ；23由( S31) 2( S3 S2)S3得， S3 .34猜想 Sn .nn 1答案：nn 1B 级中档题目练通抓牢1用数学归纳法证明等式 122 23 24 2(1) n1 n2(1) n1 .n n 12证明：(1)当 n1 时，左边1 21，右边(1) 0 1，左边右边，原等式成立1 1 12(2)假设 n k(k1， kN *)时等式成立，即有 122 23 24 2(1)k1 k2(1) k1 .k k 12那么，当 n k1 时，122 23 24 2(1) k1 k2(1) k(k1) 2(1) k1 (1) k(k1) 2k k 12(1) k k2( k
8、1)k 12(1) k . k 1 k 22 n k1 时，等式也成立，由(1)(2)知对任意 nN *，都有122 23 24 2(1) n1 n2(1) n1 .n n 122已知点 Pn(an， bn)满足 an1 anbn1 ， bn1 (nN *)，且点 P1的坐标为bn1 4a2n(1，1)4(1)求过点 P1， P2的直线 l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于 nN *，点 Pn都在(1)中的直线 l 上解：(1)由点 P1的坐标为(1，1)知， a11， b11.所以 b2 ， a2 a1b2 .b11 4a21 13 13所以点 P2的坐标为 .(13， 13)所以直线
9、 l 的方程为 2x y10.(2)证明：当 n1 时，2a1 b121(1)1 成立假设 n k(k1， kN *)时，2 ak bk1 成立，则 2ak1 bk12 akbk1 bk1 (2ak1)bk1 4a2k 1，bk1 2ak 1 2ak1 2ak所以当 n k1 时，命题也成立由知，对 nN *，都有 2an bn1，即点 Pn都在直线 l 上3已知 f(n)1 ， g(n) ， nN *.123 133 143 1n3 32 12n2(1)当 n1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小；(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明解：(1)当 n1 时， f
10、(1)1， g(1)1，所以 f(1) g(1)；当 n2 时， f(2) ， g(2) ，所以 f(2)g(2)；98 118当 n3 时， f(3) ， g(3) ，所以 f(3)g(3)251216 312216(2)由(1)猜想 f(n) g(n)，下面用数学归纳法给出证明当 n1,2,3 时，不等式显然成立，假设当 n k(k3， kN *)时不等式成立，即 1 .123 133 143 1k332 12k2那么，当 n k1 时，f(k1) f(k) .1 k 1 332 12k2 1 k 1 35因为 f(k1) g(k1) 32 12k2 1 k 1 3 32 12 k 1 2
11、 12 k 1 212k2 1 k 1 3 0，k 32 k 1 3 12k2 3k 12 k 1 3k2所以 f(k1) g(k1)由可知，对一切 nN *，都有 f(n) g(n)成立4已知数列 an满足 a1 a2， an (n2， nN *)an 1 2(1)求证：对任意 nN *， an2 恒成立；(2)判断数列 an的单调性，并说明你的理由；(3)设 Sn为数列 an的前 n 项和，求证：当 a3 时， Sn2 n .43解：(1)证明：用数学归纳法证明 an2( nN *)恒成立当 n1 时， a1 a2，结论成立；假设 n k(k1， kN *)时结论成立，即 ak2，则 n
12、k1 时， ak1 2，ak 2 2 2所以 n k1 时，结论成立故由及数学归纳法原理，知对一切的 nN *，都有 an2 成立(2)数列 an是单调递减的数列因为 a a an2 a ( an2)( an1)，又 an2，2n 1 2n 2n所以 a a 0，所以 an1 an.2n 1 2n这说明 an是单调递减的数列(3)证明：由 an1 ，得 a an2，an 2 2n 1所以 a 4 an2.2n 1根据(1)知 an2( nN *)，所以 ，an 1 2an 2 1an 1 2 14所以 an1 2 (an2) 2(an1 2) n(a12)14 (14) (14)所以当 a3 时， an1 2 n，(14)即 an1 n2.(14)当 n1 时， S132 ，43当 n2 时，6Sn3 a2 a3 an3 (14 2) (14)2 2 (14)n 1 232( n1)141 141 (14)n 12 n1 2 n .131 (14)n 1 43综上，当 a3 时， Sn2 n (nN *)43
