1、1第三章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类Error!(3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合S | 2 k， kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad.(2)公式：角 的弧度数公式 | | (l 表示弧长)lr角度与弧度的换算 1 rad；1 rad 180 (180 )弧长公式 l| |r扇形面积公式 S lr | |r212 123.任意角的三角函数(1)定义：设
2、 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，那么 sin ，cos ，tan (x0)y xyx(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段 MP， OM， AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线和正切线21判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)小于 90的角是锐角( )(2)三角形的内角必是第一、第二象限角( )(3)不相等的角终边一定不相同( )(4)若点 P(tan ，cos )在第三象限，则角 的终边在第二象限( )答案：(1) (2) (3) (4) 2已知角 的
3、终边过点 P(1,2)，则 sin ( )A. B.55 255C D55 255解析：选 B 因为| OP| (O 为坐标原点)，所以 sin . 1 2 22 525 2553若角 同时满足 sin 0 时，cos ；当 t0，则( )Asin 0 Bcos 0Csin 2 0 Dcos 2 0解析：选 C 由 tan 0，可得 的终边在第一象限或第三象限，此时 sin 与cos 同号，故 sin 2 2sin acos 0，故选 C.4若 sin tan 0，sin 2x1.(0， 2)冲关演练1.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边与单位圆交于点A，点 A 的纵坐标为 ，则
4、cos 的值为( )45A. B45 45C. D35 35解析：选 D 因为点 A 的纵坐标 yA ，且点 A 在第二象限，又因为圆 O 为单位圆，所45以 A 点的横坐标 xA ，由三角函数的定义可得 cos .35 352已知点 P(cos ，tan )在第三象限，则角 的终边在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选 B 由题意得Error!Error!所以角 的终边在第二象限3函数 y 的定义域为 _sin x 22解析：因为 sin x ，作直线 y 交单位圆于 A， B 两点，连22 229接 OA， OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角
5、x 的终边的范围，故满足条件的角 x 的集合为 .答案： ， kZ2k 4， 2k 34(一)普通高中适用作业A 级基础小题练熟练快1已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为( )A2 B4C6 D8解析：选 C 设扇形的半径为 r，弧长为 l，则由扇形面积公式可得2 lr | |r2 4r2，解得 r1， l r 4，所以所求扇形的周长为 2r l6.12 12 122已知点 P 在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为( )(32， 12)A. B.56 23C. D.116 53解析：选 C 因为点 P 在第四象限，(32， 12)根据三角函数的定义可知 tan ，
6、 1232 33又 0,2)，可得 .1163若角 与 的终边关于 x 轴对称，则有( )A 90B 90 k360， kZC 2 k180， kZD 180 k360， kZ解析：选 C 因为 与 的终边关于 x 轴对称，所以 2 k180 ， kZ.所以 2 k180， kZ.4已知角 的终边经过点(3 a9， a2)，且 cos 0，sin 0，则实数 a 的取值范围是( )10A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3解析：选 A 由 cos 0，sin 0 可知，角 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上，所以有Error!解得2 a3.5下列选项中正确的是( )Asin 3000
7、 Bcos(305)0Ctan 0 Dsin 100(223 )解析：选 D 30036060，则 300是第四象限角；30536055，则305是第一象限角；因为 8 ，所以 是第二象限角；223 23 223因为 310 ，所以 10 是第三象限角故 sin 3000，cos(305)720，tan 0，sin 100，故 D 正确(223 )6集合Error!中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选 C 当 k2 n(nZ)时，2 n 2 n ，此时 表示的范围与 4 2 表示的范围一样；当 k2 n1( nZ)时，2 n 2 n ， 4 2 4 2此时 表示的范围与 表示的范围一
8、样，结合图象知选 C. 4 27若 1 560，角 与 终边相同，且360 360，则 _.解析：因为 1 5604360120，所以与 终边相同的角为 360k120， kZ，令 k1 或 k0 可得 240或 120.答案：120或2408在直角坐标系 xOy 中， O 是原点， A( ，1)，将点 A 绕 O 逆时针旋转 90到 B 点，3则 B 点坐标为_解析：依题意知 OA OB2， AOx30， BOx120，设点 B 坐标为( x， y)，所以 x2cos 1201， y2sin 120 ，即311B(1， )3答案：(1， )39若两个圆心角相同的扇形的面积之比为 14，则这两
9、个扇形的周长之比为_解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为 ，半径分别为 r， R(其中 r R)，则 12 r212 R2，14所以 r R12，两个扇形的周长之比为 12.2r r2R R答案：1210已知角 的终边上一点 P( ， m)(m0)，且 sin ，则 m_.32m4解析：由题设知点 P 的横坐标 x ，纵坐标 y m，3 r2| OP|2( )2 m2(O 为原点)，3即 r .3 m2sin ，mr 2m4 m22 r 2 ，3 m2 2即 3 m28，解得 m .5答案： 5B 级中档题目练通抓牢1若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角 (0cos x 成立的
10、 x 的取值范围为_解析：如图所示，找出在(0,2)内，使 sin xcos x 的 x 值，sin cos ，sin cos .根据三角函数线的变化规 4 4 22 54 54 22律标出满足题中条件的角 x .( 4， 54)13答案： ( 4， 54)6已知 ，且 lg(cos )有意义1|sin | 1sin (1)试判断角 所在的象限；(2)若角 的终边上一点 M ，且| OM|1( O 为坐标原点)，求 m 的值及 sin 的(35， m)值解：(1)由 ，得 sin 0，所以 是第四象限角(2)因为| OM|1，所以 2 m21，(35)解得 m .45又 为第四象限角，故 m0
11、，所以 m ，故 B ，35 ( 45， 35)根据三角函数的定义得 tan .35 45 34(2)若 AOB 为等边三角形，则 AOB ，故与角 终边相同的角 的集合为Error!. 310已知扇形 AOB 的周长为 8.(1)若这个扇形的面积为 3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB.解：设扇形 AOB 的半径为 r，弧长为 l，圆心角为 ，(1)由题意可得Error!解得Error! 或Error! 或 6.lr 23 lr(2)法一：2 r l8， S 扇 lr l2r 2 24，12 14 14(l 2r2 ) 14 (82)当且仅当 2r
12、l，即 r2， l4， 2 时，扇形面积取得最大值 4.lr圆心角 2，弦长 AB2sin 124sin 1.法二：2 r l8， S 扇 lr r(82 r) r(4 r)( r2) 244，12 12当且仅当 r2， l4，即 2 时，扇形面积取得最大值 4.lr弦长 AB2sin 124sin 1.B 级拔高题目稳做准做1.已知点 P 落在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为( )(sin 34， cos34)A. B. 4 34C. D.54 7418解析：选 D 由 sin 0，cos 0 知角 是第四象限角，34 34因为 tan 1， 0,2)，cos 34sin 34所以 .
13、故选 D.742.已知 sin sin ，那么下列命题成立的是( )A若 ， 是第一象限的角，则 cos cos B若 ， 是第二象限的角，则 tan tan C若 ， 是第三象限的角，则 cos cos D若 ， 是第四象限的角，则 tan tan 解析：选 D 由三角函数线可知选 D.3.若角 是第三象限角，则 是第_象限角 2解析：因为 2k 2 k (kZ)，32所以 k k (kZ) 2 2 34当 k2 n(nZ)时，2 n 2 n ， 是第二象限角， 2 2 34 2当 k2 n1( nZ)时，2 n 2 n ， 是第四象限角，32 2 74 2综上知，当 是第三象限角时， 是第
14、二或四象限角 2答案：二或四4.(2018石家庄模拟)在(0,2)内，使 sin xcos x 成立的 x 的取值范围为_解析：如图所示，找出在(0,2)内，使 sin xcos x 的 x 值，sin cos ，sin cos .根据三角函数线的变化 4 4 22 54 54 22规律标出满足题中条件的角 x .( 4， 54)19答案： ( 4， 54)5.已知角 的终边在直线 y3 x 上，求 10sin 的值3cos 解：设 终边上任一点为 P(k，3 k)，则 r |k|.k2 3k 2 10当 k0 时， r k，10sin ， ， 3k10k 310 1cos 10kk 1010
15、sin 3 3 0；3cos 10 10当 k0 时， r k，sin ，10 3k 10k 310 ，1cos 10kk 1010sin 3 3 0.3cos 10 10综上，10sin 0.3cos 6若角 的终边过点 P(4 a,3a)(a0)，(1)求 sin cos 的值；(2)试判断 cos(sin )sin(cos )的符号解：(1)因为角 的终边过点 P(4 a,3a)(a0)，所以 x4 a， y3 a， r5| a|，当 a0 时， r5 a，sin cos .35 45 15当 a0 时， r5 a，sin cos .35 45 15(2)当 a0 时，sin ，35 (
16、0， 2)cos ，45 ( 2， 0)则 cos(sin )sin(cos )cos sin 0；35 ( 45)当 a0 时，sin ，35 ( 2， 0)cos ，45 (0， 2)20则 cos(sin )sin(cos )cos sin 0.(35) 45综上，当 a0 时，cos(sin )sin(cos )的符号为负；当 a0 时，cos(sin )sin(cos )的符号为正第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2 cos 2 ；1(2)商数关系：tan .sin cos 2诱导公式公式 一 二 三 四 五 六角2k (kZ)
17、 2 2正弦 sin sin sin sin cos cos_余弦 cos cos cos cos_ sin sin 正切 tan tan tan tan_ 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限记忆规律 奇变偶不变，符号看象限3特殊角的三角函数值角 0 30 45 60 90 120 150 180角 的弧度数 0 6 4 3 2 23 56sin 012 22 321 32120cos 132 22 120 1232 1tan 0331 3 3330211判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若 ， 为锐角，则 sin2 cos 2 1.( )(2)若 R，则 ta
18、n 恒成立( )sin cos (3)sin( )sin 成立的条件是 为锐角( )答案：(1) (2) (3)2已知 sin ， ，则 tan ( )55 2A2 B2C. D12 12解析：选 D 因为 ，所以 cos 2 1 sin2 ，1 (55)2 255所以 tan .sin cos 123(2017全国卷)已知 sin cos ，则 sin 2 ( )43A B79 29C. D.29 79解析：选 A 将 sin cos 的两边进行平方，得 sin2 2sin cos 43 cos 2 ，即 sin 2 .169 794sin 210cos 120的值为( )A. B 14 3
19、4C D.32 34解析：选 A sin 210cos 120sin 30(cos 60) .12 ( 12) 145若 sin cos ，则 tan _.12 cos sin 22解析：tan 2.cos sin sin cos cos sin 1cos sin 答案：26sin 2 490_；cos _.(523 )解析：sin 2 490sin(736030)sin 30 .12cos cos cos(523 ) 523 (16 3)cos cos .( 3) 3 12答案： 12 12考 点 一 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 考什么怎么
20、考诱导公式在三角函数的求值和化简中具有非常重要的应用，较少单独考查，多与三角恒等变换结合在一起考查，常以选择题、填空题的形式出现，难度较小，属于中低档题.1(2018天一大联考)在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边经过点 P(3,4)，则sin ( )( 2 0172 )A B45 35C. D.35 45解析：选 B 角 的终边经过点 P(3,4)，sin ，cos ，sin45 35sin cos .( 2 0172 ) ( 2) 352化简 sin(1 071)sin 99sin(171)sin(261)的结果为( )A1 B1C0 D2解析：选 C 原式(sin 1 071)sin
21、 99sin 171sin 261sin(33609)sin(909)sin(1809)sin(2709)sin 9cos 9sin 9cos 90.3已知 A (kZ)，则 A 的值构成的集合是( )sin k sin cos k cos 23A1，1,2，2 B1,1C2，2 D1，1,0,2，2解析：选 C 当 k 为偶数时， A 2；sin sin cos cos 当 k 为奇数时， A 2. sin sin cos cos 故 A2，24已知 f( ) ，则 f 的值为_cos( 2 )sin(32 )cos tan ( 253 )解析：因为 f( )cos( 2 )sin(32 )
22、cos tan cos ， sin cos cos ( sin cos )所以 f cos cos .(253 ) ( 253 ) 3 12答案：125已知 tan ，则 tan _.( 6 ) 33 (56 )解析：tan tan(56 ) ( 6 )tan ( 6 )tan .( 6 ) 33答案：33怎样快解准解1熟记常见的互余和互补的 2 组角互余的角 与 ； 与 ； 与 等 3 6 3 6 4 4互补的角 与 ； 与 等 3 23 4 342学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程24也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了 ”3明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名(2)用
23、诱导公式，统一角(3)用因式分解将式子变形，化为最简也就是：“统一角，统一名，同角名少为终了 ”考 点 二 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 及 应 用 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 同角三角函数的基本关系式是求解三角函数问题的基础，多与其他三角函数知识融合在一起进行考查，以公式及其变形解决计算问题为主，属于中低档题.典题领悟1若 tan 2，则 cos 2 ( )sin cos sin cos A. B165 165C. D85 85解析：选 A cos 2 sin cos sin cos sin cos sin cos cos2sin2 cos2 .tan 1tan
24、 1 1tan2 1 1652已知 sin cos ，且 ，则 cos sin 的值为( )38 4 2A. B12 12C D14 12解析：选 D 因为 sin cos ，所以(cos sin )2cos 2 2sin cos 38 sin 2 12sin cos 12 ，因为 ，所以 cos sin ，即38 14 4 2cos sin 0，所以 cos sin .123已知 为第二象限角，则 cos sin 1 tan225_.1 1tan2解析：原式cos sin cos sin2 cos2cos2 sin2 cos2sin2 sin ，1|cos | 1|sin |因为 是第二象限
25、角，所以 sin 0, cos 0，所以 cos sin 110，1|cos | 1|sin |即原式等于 0.答案：04(2018泉州质检)已知 为第四象限角，sin 3cos 1，则 tan _.解析：由(sin 3cos )21sin 2 cos 2 ，得 6sin cos 8cos 2 ，又因为 为第四象限角，所以 cos 0，所以 6sin 8cos ，所以 tan .43答案：43解题师说1掌握 3 个应用技巧技巧 解读 适合题型切弦互化主要利用公式 tan 化成正弦、sin cos 余弦，或者利用公式 tan 化sin cos 成正切表达式中含有 sin ，cos 与 tan .
26、(如典题领悟第 1、3题)“1”的变换1sin 2 cos 2 cos 2 (1tan 2 )tan (sin cos )22sin 4 cos 表达式中需要利用“1”转化(如典题领悟第 4 题)和积转换利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化表达式中含有 sin cos 或 sin cos .(如典题领悟第2 题)2谨记 3 个解题关键(1)利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形用26(2)同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方
27、程组达到解决问题的目的(3)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号冲关演练1(2018安徽江南十校联考)已知 tan ，则 sin (sin cos )( )34A. B.2125 2521C. D.45 54解析：选 A sin (sin cos )sin 2 sin cos ，将 tan 代入，得原式 sin2 sin cos sin2 cos2 tan2 tan tan2 1 34( 34)2 ( 34)( 34)2 1，故选 A.21252若 是三角形的内角，且 tan ，则 sin cos 的值为_13解析：由 tan ，得 sin cos ，13 13将其代入
28、sin2 cos 2 1，得 cos2 1，cos 2 ，易知 cos 0，109 910cos ，sin ，31010 1010故 sin cos .105答案：1053已知 是三角形的内角，且 sin cos ，则 tan _.15解析：由Error!消去 cos ，整理得25sin2 5sin 120，解得 sin 或 sin .45 35因为 是三角形的内角，所以 sin ，4527又由 sin cos ，得 cos ，15 35所以 tan .43答案：43(一)普通高中适用作业A 级基础小题练熟练快1已知 是第四象限角，tan ，则 sin ( )512A. B15 15C. D5
29、13 513解析：选 D 因为 tan ，所以 ，512 sin cos 512所以 cos sin ，125代入 sin2 cos 2 1，解得 sin ，513又 是第四象限角，所以 sin .5132已知 sin( ) cos(2 )，| | ，则 等于( )3 2A B 6 3C. D. 6 3解析：选 D 因为 sin( ) cos(2 )，3所以sin cos ，3所以 tan .因为| | ，所以 .3 2 33若 ，则 tan ( )sin cos 2 sin cos 12A1 B1C3 D3解析：选 D 因为sin cos 2 sin cos 28 ，sin cos sin
30、cos 12所以 2(sin cos )sin cos ，所以 sin 3cos ，所以 tan 3.4计算：sin cos ( )116 103A1 B1C0 D. 12 32解析：选 A 原式sin cos(2 6) (3 3)sin cos cos 1. 6 ( 3) 12 3 12 125若 tan ，则 sin4 cos 4 的值为( )12A B.15 15C. D35 35解析：选 D tan ，sin 4 cos 4 (sin 2 cos 2 )(sin2 cos 2 )12 .tan2 1tan2 1 356(2018湖南郴州模拟)已知 sin ，则 cos ( )( 3)
31、1213 ( 6 )A. B.512 1213C D513 1213解析：选 B 因为 sin ，( 3) 1213所以 cos sin( 6 ) 2 ( 6 )sin ，故选 B.( 3) 12137已知 是第一象限角，且 sin( ) ，则 tan _.35解析：因为 sin( ) ，所以 sin ，因为 是第一象限角，所以 cos 35 3529 ，所以 tan .45 sin cos 34答案：348化简 sin( )cos(2 )的结果为_cos( 2)sin(52 )解析：原式 (sin )cos cos( 2 )sin(2 2 ) (sin )cos sin sin( 2 ) (
32、sin )cos sin 2 .sin cos 答案：sin 29化简： _.sin cos sin(52 )tan cos3 2 解析：原式 sin cos sin( 2 ) tan cos3 1.sin cos cos sin cos cos3 sin cos2 sin cos2答案：110已知 是三角形的一个内角，且 sin ，cos 是关于 x 的方程4x2 px20 的两根，则 等于_解析：由题意知 sin cos ，12联立Error! 得Error!或Error!又 为三角形的一个内角，sin 0，则 cos ，22 .34答案：34B 级中档题目练通抓牢301(2016全国卷)
33、若 tan ，则 cos2 2sin 2 ( )34A. B.6425 4825C1 D.1625解析：选 A 因为 tan ，所以 cos2 2sin 2 34 cos2 4sin cos sin2 cos2 .1 4tan tan2 11 434(34)2 1 64252已知函数 f(x) asin( x ) bcos( x )，且 f(3)3，则 f(2 018)的值为( )A1 B1C3 D3解析：选 D 因为 f(3) asin(3 ) bcos(3 ) asin bcos 3，所以 asin bcos 3，所以 f(2 018) asin(2 018 ) bcos(2 018 ) asin bcos 3.3(2018广州模拟)当 为第二象限角，且 sin 时， 的值( 2 2) 13 1 sin cos 2 sin 2是( )A1 B1C1 D0解析：选 B sin ，cos ，( 2 2) 13 2 13 在第一象限，且 cos sin ， 2 2 2 1.1 sin cos 2 sin 2 (cos 2 sin 2)cos 2 sin 24sin cos tan 的值是_43 56 ( 43)解析：原式sin cos tan( 3) ( 6) 3
