1、1课时跟踪训练(三十九) 直接证明与间接证明基础巩固一、选择题1设 a、 bR，若 a| b|0，则下列不等式中正确的是( )A b a0 B a3 b30解析 a| b|0，| b|0. a0.答案 D2 “a ”是“对任意正数 x，均有 x 1”的( )14 axA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 既不充分也不必要条件解析 当 a 时， x 2 1，当且仅当 x ，即 x 时取等号；反之，14 14x x14x 14x 12显然不成立答案 A3已知 m1， a ， b ，则以下结论正确的是( )m 1 m m m 1A ab B a 0(m1)，m 1 m m m 1 1； a
2、b2； a b2； a2 b22； ab1.其中能推出：“ a， b 中至少有一个大于 1”的条件是( )A B C D2解析 若 a ， b ，则 a b1，12 23但 a2，故推不出；若 a2， b3，则 ab1，故推不出；对于，即 a b2，则 a， b 中至少有一个大于 1，反证法：假设 a1 且 b1，则 a b2 与 a b2 矛盾，因此假设不成立， a， b 中至少有一个大于 1.答案 C5分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 abc，且 a b c0，求证 0 B a c0C( a b)(a c)0 D( a b)(a c)0(a c)(2a c)0(a c)(a b)
3、0.答案 C6设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x)单调递减，若 x1 x20，则f(x1) f(x2)的值( )A恒为负 B恒等于零C恒为正 D无法确定正负解析 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x)单调递减，可知 f(x)是R 上的减函数由 x1 x20，可知 x1 x2，则 f(x1)b0， m ， n ，则 m， n 的大小关系是a b a b_3解析 解法一(取特殊值法)：取 a2， b1，则 m a0，显然成立a b答案 m0， b0，如果不等式 恒成立，则 m 的最2a 1b m2a b大值为_解析 因为 a0， b0，所以 2
4、a b0.所以不等式可化为 m (2a b)52(2a 1b).因为 5 2 5 49，即其最小值为 9，所以 m9，即 m 的最大值等于 9.(ba ab) (ba ab)答案 9三、解答题10设 a， b， c 均为正数，且 a b c1，证明：(1)ab bc ac ；13(2) 1.a2b b2c c2a证明 (1)由 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ca，得 a2 b2 c2 ab bc ca.由题设得( a b c)21，即 a2 b2 c22 ab2 bc2 ca1.所以 3(ab bc ca)1，即 ab bc ca .13(2)因为 b2 a， c2
5、 b， a2 c，a2b b2c c2a4故 ( a b c)2( a b c)，a2b b2c c2a即 a b c.所以 1.a2b b2c c2a a2b b2c c2a能力提升11已知函数 f(x) x， a， b 是正实数， A f ， B f( )， C f ，则(12) (a b2 ) ab (2aba b)A， B， C 的大小关系为( )A A B C B A C BC B C A D C B A解析 ，又 f(x) x在 R 上是减函数， f f( ) fa b2 ab 2aba b (12) (a b2 ) ab.(2aba b)答案 A12设 x， y， z(0，)，
6、a x ， b y ， c z ，则 a， b， c 三数( )1y 1z 1xA至少有一个不大于 2 B都大于 2C至少有一个不小于 2 D都小于 2解析 a b c x y z 2226，所以至少有一个不小于 2.故选 C.1x 1y 1z答案 C13已知非零向量 a， b，且 a b，求证： .|a| |b|a b| 2证明 a b， ab0，要证 ，|a| |b|a b| 2只需证| a| b| |a b|，2只需证| a|22| a|b| b|22( a22 ab b2)，只需证| a|22| a|b| b|22 a22 b2，只需证| a|2| b|22| a|b|0，即(| a|
7、 b|)20，上式显然成立，故原不等式得证14已知函数 u(x)ln x 的反函数为 v(x)， f(x) xv(x) ax2 bx，且函数 f(x)在点(0， f(0)处的切线的倾斜角为 45.(1)求实数 b 的值；(2)若 a0)无零点5解 (1)因为函数 u(x)ln x 的反函数为 v(x)，所以 v(x)e x，所以 f(x) xex ax2 bx，所以 f( x)e x xex2 ax b.因为函数 f(x)在点(0， f(0)处的切线的倾斜角为 45，所以 f(0)tan451，即 e00e 02 a0 b1，解得 b0.(2)证明：由(1)知， f(x) xex ax2.假设
8、函数 f(x) xex ax2(x0)有零点，则 f(x)0 在(0，)上有解，即 a 在(0，)上有解exx设 g(x) (x0)，则 g( x) (x0)exx ex x 1x2当 01 时， g( x)0.所以 g(x) g(x)min g(1)e，所以 ae，但这与条件 a0，证明： a 2.a2 1a2 2 1a证明 要证 a 2，a2 1a2 2 1a只需证 2 a .a2 1a2 1a 2 a0，两边均大于零，只需证 2 2，(a2 1a2 2) (a 1a 2)即证 a2 44 a2 222 ，1a2 a2 1a2 1a2 2(a 1a)只需证 ，a2 1a2 22(a 1a)只需证 a2 ，1a2 12(a2 1a2 2)即证 a2 2，它显然成立1a2原不等式成立.
