1、1第 3 节 数学归纳法（答题时间：60 分钟）一、选择题1. 用数学归纳法证明等式 )12(31)()2(1nnn ，从 k 到k1 左端需增乘的代数式为 （ ）A. 2k1 B. 2（2 k1） C. D. 2k 1k 1 2k 3k 12. 用数学归纳法证明“1 n（ nN *， n1） ”时，由 n k（ k1）12 13 12n 1不等式成立，推证 n k1 时，左边应增加的项数是 （ ）A. 2k1 B. 2k1 C. 2 k D. 2k13. 对于不等式 n1（ nN *） ，某同学的证明过程如下：n2 n（1）当 n1 时， 11，不等式成立。12 1（2）假设当 n k（ k
2、N *）时，不等式成立，即 k1，k2 k则当 n k1 时， (k 1)2 (k 1) k2 3k 2 (k2 3k 2) (k 2)（ k1）1，(k 2)2当 n k1 时，不等式成立。则上述证法 （ ）A. 过程全部正确B. n1 验得不正确C. 归纳假设不正确D. 从 n k 到 n k1 的推理不正确4. 下列代数式（其中 kN *）能被 9 整除的是 （ ）A. 667 k B. 27 k1 C. 2（27 k1 ） D. 3（27 k）5. 已知 12333 243 3 n3n1 3 n（ na b） c 对一切 nN *都成立，则 a、 b、 c 的值为 （ ）A. a ，
3、b c B. a b c12 14 14C. a0， b c D. 不存在这样的 a、 b、 c146. 在数列 an中， a1 ，且 Sn n（2 n1） an，通过求 a2， a3， a4，猜想 an的表达式13是（ ）A. B. C. D. 1(n 1)(n 1) 12n(2n 1) 1(2n 1)(2n 1) 1(2n 1)(2n 2)二、填空题7. 猜想 11,14（12）,149123，第 n 个式子为_。28. 如图，第 n 个图形是由正 n2 边形“扩展”而来（ n1,2,3，） ，则第n2（ n3， nN *）个图形中共有_个顶点。9. 设平面内有 n 条直线（ n3） ，其
4、中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。若用 f（ n）表示这 n 条直线交点的个数，则 f（4）_；当 n4 时，f（ n）_（用 n 表示） 。三、解答题10. 已知点 Pn（ an， bn）满足 an1 anbn1 ， bn1 （ nN *） ，且点 P1的坐标为bn1 4a2n（1，1） 。（1）求过点 P1， P2的直线 l 的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于 nN *，点 Pn都在（1）中的直线 l 上。11. 数列 an满足 a11， a22， an2 （1cos 2 ） ansin 2 ， n1,2,3，n2 n2（1）求 a3， a4，并求数列 an的通项公式
5、；（2）设 bn ， Sn b1 b2 bn。证明：当 n6 时，| Sn2| 。a2n 1a2n 1n12. 设数列 an的前 n 项和为 Sn，且方程 x2 anx an0 有一根为Sn1， n1,2,3，。（1）求 a1， a2；（2）猜想数列 Sn的通项公式，并给出严格的证明。31. B 解析：当 n1 时，等式显然成立。当 n k 时，左边（ k1）（ k2）（ k k） ，当 n k1 时，左边（ k11）（ k12）（ k1 k） （ k1 k1）（ k2） （ k3）（ k k）（ k1 k） （ k1 k1）（ k1） （ k2）（ k k） （ k1）(2k 1)(2k 2
6、)k 1（ k2）（ k k）2（2 k1） 。2. C 解析：增加的项数为（2 k1 1）（2 k1）2 k1 2 k2 k。3. D 解析：用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设。4. D 解析：（1）当 k1 时，显然只有 3（27 k）能被 9 整除。（2）假设当 k n（ nN *）时，命题成立，即 3（27 n）能被 9 整除，那么3（27 n1 ） 21（27 n） 36。这就是说， k n1 时命题也成立。由（1） （2）可知，命题对任何 kN *都成立。5. A 解析：等式对一切 nN *均成立， n1,2,3 时等式成立，即：Error!，整理得Error! ，解得 a
7、 ， b c 。12 146. C 解析：由 a1 ， Sn n（2 n1） an，13得 S22（221） a2，即 a1 a26 a2， a2 ， S33（231） a3，115 135即 a315 a3。 a3 ， a4 。由此猜想 )12(nan。13 115 135 157 1797. 149（1） n1 n2（1） n1 （123 n） 。8. )(n 解析：当 n1 时，顶点共有 1234（个） ，n2 时，顶点共有 2045（个） ，n3 时，顶点共有 3056（个） ，n4 时，顶点共有 4267（个） ，故第 n 个图形共有顶点（ n2） （ n3）个，第 n-2 个图形共
8、有顶点 n（ n1）个。9. 5， )(12解析： f（2）0， f（3）2， f（4）5， f（5）9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数。 f（3） f（2）2，f（4） f（3）3，f（5） f（4）4，f（ n） f（ n1） n1。累加，得f（ n） f（2）234（ n1）4 （ n2） 。2 (n 1)2 f（ n） （ n1） （ n2） 。1210. 解：（1）由 P1的坐标为（1，1）知a11， b11。 b2 。b11 4a21 13a2 a1b2 。13点 P2的坐标为（ ，） ，1313直线 l 的方程为 2x y1。（2）当 n1 时，2a1 b121
9、（1）1 成立。假设 n k（ kN *， k1）时，2 ak bk1 成立，则 2ak1 bk1 2 akbk1 bk1 （2 ak1）bk1 4a2k 1，bk1 2ak 1 2ak1 2ak当 n k1 时，命题也成立。由知，对 nN *，都有 2an bn1，即点 Pn在直线 l 上。11. 解：（1）因为 a11， a22，所以 a3（1cos 2 ） a1sin 2 a112， 2 2a4（1cos 2 ） a2sin 2 2 a24。一般地，当 n2 k1（ kN *）时， a2k1 1cos 2 (2k 1)2a2k1 sin 2 a2k 11，即 a2k1 a2k1 1。(2
10、k 1)2所以数列 a2k1 是首项为 1、公差为 1 的等差数列，因此 a2k1 k。当 n2 k（ kN *）时， a2k2 （1cos 2 ） a2ksin 2 2 a2k。2k2 2k2所以数列 a2k是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此 a2k2 k。故数列 an的通项公式为)(2, ,1,*Nkn（2）由（1）知， bn ，a2n 1a2n n2n所以 Sn ，12 222 323 n2n5Sn ，12 122 223 324 n2n 1得， Sn 1 12 12 122 123 12n n2n 1121 (f(1,2)n1 12 n2n 1 12n，n2n 1所以 Sn2
11、2 。12n 1 n2n n 22n要证明当 n6 时，| Sn2| 成立，只需证明当 n6 时， 1 成立。1n n(n 2)2n（i）当 n6 时， 1 成立。6(6 2)26 4864 34（ii）假设当 n k（ k6）时不等式成立，即 1。k(k 2)2k则当 n k1 时， 1。(k 1)(k 3)2k 1 k(k 2)2k (k 1)(k 3)2k(k 2) (k 1)(k 3)(k 2)2k由（i） 、 （ii）所述，当 n6 时， 1。n(n 2)2n即当 n6 时，| Sn2| 。1n12. 解：（1）当 n1 时， x2 a1x a10 有一根为 S11 a11，于是（
12、a11） 2 a1（ a11） a10，解得 a1 。12当 n2 时， x2 a2x a20 有一根为 S21 a2 ，12于是（ a2 ） 2 a2（ a2 ） a20，12 12解得 a2 。16（2）由题设（ Sn1） 2 an（ Sn1） an0，S 2 Sn1 anSn0。2n当 n2 时， an Sn Sn1 ，代入上式得 Sn1 Sn2 Sn10。由（1）得 S1 a1 ， S2 a1 a2 。12 12 16 23由式可得 S3 。由此猜想 Sn ， n1,2,3，34 nn 1下面用数学归纳法证明这个结论。（i）当 n1 时已知结论成立。（ii）假设 n k 时结论成立，即 Sk ，kk 1当 n k1 时，由式得 Sk1 ，即 Sk1 ，故 n k1 时结论也成立。12 Sk k 1k 2综上，由（i） 、 （ii）可知 Sn 对所有正整数 n 都成立。nn 1
