1、1同步精选测试 简单线性规划(建议用时：45 分钟)基础测试一、选择题1.某服装制造商有 10 m2的棉布料，10 m 2的羊毛料和 6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和 1 m2的丝绸料，做一条裙子需要 1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和 1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是 20 元，一条裙子的纯收益是 40 元，为了使收益达到最大，若生产裤子 x 条，裙子 y 条，利润为 z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.Error!z20 x40 yB.Error!z20 x40 yC.Error!z20 x40 yD.Error!z4
2、0 x20 y【解析】 由题意易知选 A.【答案】 A2.若实数 x， y 满足Error!则 的取值范围是 ( ) yx【导学号：18082125】A.(0,1) B.(0,1C.(1，) D.1，)【解析】 Error!的可行域如图阴影部分所示. 表示可行域内任一点与坐标原点连线yx的斜率.过点 O 与直线 AB 平行的直线 l 的斜率为 1， l 绕点 O 逆时针转动必与 AB 相交，直线 OB 的倾斜角为 90，因此 的取值范围为(1，).yx【答案】 C3.设变量 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z3 x y 的取值范围是( )A. B.32， 6 32， 1C. D.
3、 1， 6 6，322【解析】 作出可行域如图所示.目标函数 z3 x y 可转化为 y3 x z，作 l0：3 x y0，在可行域内平移 l0，可知在 A 点处 z 取最小值为 ，在 B 点处 z 取最大值为 6.32【答案】 A4.已知实数 x， y 满足条件Error!若目标函数 z mx y(m0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数 m 的值为( )【导学号：18082126】A.1 B.12C. D.112【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线 y mx z(m0)与直线 2x2 y10 重合，即 m1 时，目标函数 z mx y 取最大
4、值的最优解有无穷多个，故选 A.【答案】 A5.若变量 x， y 满足Error!则 x2 y2的最大值是( )A.4 B.9 C.10 D.12【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.x2 y2的几何意义是区域内的点 P(x， y)与原点 O(0,0)的距离的平方.结合图形可知，|OB| OA| OC|，| OP|max| OB|.由Error! 得Error! B(3，1)，| OB| .32 1 2 103 x2 y2的最大值为 10.【答案】 C二、填空题6.满足不等式组Error!并使目标函数 z6 x8 y 取得最大值的点的坐标是_.【解析】 首先作出直线 6x8
5、 y0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M(0,5)时截距最大，此时 z 最大.【答案】 (0,5)7.若实数 x， y 满足Error!则 z3 x2 y的最小值是_. 【导学号：18082127】【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.设 t x2 y，则 y x ，12 t2当 x0， y0 时， t 最小 0.z3 x2 y的最小值为 1.【答案】 18.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时
6、.生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元.【解析】 设生产产品 A x 件，产品 B y 件，则Error!目标函数 z2 100 x900 y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0).4当直线 z2 100x900 y 经过点(60,100)时， z 取得最大值， zmax2 10060900100216 000(
7、元).【答案】 216 000三、解答题9.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需送往 A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z 等于多少？【解】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为 x， y，则根据条件x， y 满足的约束条件为Error!目标函数 z450 x350 y.作出约束条件
8、所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线 450x350 y z0 知，当直线经过直线 x y12 与 2x y19 的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即 zmax450735054 900.10.变量 x， y 满足条件Error!求( x2) 2 y2的最小值.【解】 不等式组Error!在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示.设 P(x， y)是该区域内的任意一点，则( x2) 2 y2的几何意义是点 P(x， y)与点 M(2,0)距离的平方.由图可知，当点 P 的坐标为(0,1)时，| PM|最小，所以| PM| ，所以| PM|25，即 (x2)22 1 5
9、2 y2的最小值为 5.能力提升1.若平面区域Error!夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A. B.355 2C. D.322 5【解析】 根据约束条件作出可行域如图阴影部分，5当斜率为 1 的直线分别过 A 点和 B 点时满足条件，联立方程组Error!求得 A(1,2)，联立方程组Error!求得 B(2,1)，可求得分别过 A， B 点且斜率为 1 的两条直线方程为x y10 和 x y10，由两平行线间的距离公式得距离为 ，故选 B.|1 1|2 2【答案】 B2.已知 x， y 满足约束条件Error!当目标函数 z ax by(a0， b
10、0)在该约束条件下取到最小值 2 时， a2 b2的最小值为( )5A.5 B.4C. D.25【解析】 法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示.由Error!解得Error!所以 z ax by 在 A(2,1)处取得最小值，故 2a b2 ，5a2 b2 a2(2 2 a)2( a4) 244.5 5法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线 x y10 与 2x y30的交点(2,1)时取得最小值，所以有 2a b2 .5又因为 a2 b2是原点(0,0)到点( a， b)的距离的平方，故当 为原点到直线a2 b22a b2 0 的距离时最小，5所以 的最小值是 2，a2 b2
11、| 25|22 12所以 a2 b2的最小值是 4.故选 B.【答案】 B3.当实数 x， y 满足Error!时，1 ax y4 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.6【解析】 画可行域如图所示，设目标函数 z ax y，即 y ax z，要使 1 z4恒成立，则 a0，数形结合知，满足Error!即可，解得 1 a ，32所以 a 的取值范围是 1 a .32【答案】 1，324.设数列 an为等差数列， Sn为数列 an的前 n 项和，若 S113， S410， S515，求a4的最大值.【解】 可将此题看成关于 a1和 d 的线性规划问题，根据题意可知Error!化简为Error! 求 a4 a13 d 的最大值，将其转化为Error!求 z x3 y 的最大值问题，不等式组表示的平面区域如图所示.由 z x3 y，得 y x ，平移直线 y x，由图可知，13 z3 13当直线 y x 过点 A 时， z 有最大值.由Error!得 A(1,1)，13 z3所以 zmax1134，即 a4的最大值为 4.
