1、142.3 导数的运算法则一、基础达标1设 y2e xsin x，则 y等于( )A2e xcos x B2e xsin xC2e xsin x D2e x(sin xcos x)答案 D解析 y2(e xsin xe xcos x)2e x(sin xcos x)2当函数 y (a0)在 x x0处的导数为 0 时，那么 x0x2 a2x( )A a B a C a D a2答案 B解析 y ，(x2 a2x ) 2xx x2 a2x2 x2 a2x2由 x a20 得 x0 a.203设曲线 y 在点(3,2)处的切线与直线 ax y10 垂直，则 a 等于x 1x 1( )A2 B. C
2、 D212 12答案 D解析 y 1 ，x 1x 1 2x 1 y . y| x3 .2 x 1 2 12 a2，即 a2.4已知曲线 y x3在点 P 处的切线斜率为 k，则当 k3 时的 P 点坐标为( )A(2，8) B(1，1)或(1,1)C(2,8) D.(12， 18)答案 B解析 y3 x2， k3，3 x23， x1，2则 P 点坐标为(1，1)或(1,1)5设函数 f(x) g(x) x2，曲线 y g(x)在点(1， g(1)处的切线方程为 y2 x1，则曲线 y f(x)在点(1， f(1)处切线的斜率为_答案 4解析 依题意得 f( x) g( x)2 x，f(1) g
3、(1)24.6已知 f(x) x33 xf(0)，则 f(1)_.13答案 1解析 由于 f(0)是一常数，所以 f( x) x23 f(0)，令 x0，则 f(0)0， f(1)1 23 f(0)1.7求下列函数的导数：(1)y(2 x23)(3 x1)；(2)y xsin cos .x2 x2解 (1)法一 y(2 x23)(3 x1)(2 x23)(3 x1)4 x(3x1)3(2x23)18 x24 x9.法二 y(2 x23)(3 x1)6 x32 x29 x3， y(6 x32 x29 x3)18 x24 x9.(2) y xsin cos x sin x，x2 x2 12 y x
4、 1 cos x.(12sin x) 12二、能力提升8曲线 y 在点 M 处的切线的斜率为sin xsin x cos x 12 ( 4， 0)( )A B. C D.12 12 22 22答案 B解析 y ，cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x 2 1 sin x cos x 2故 y|Error! ，123曲线在点 M 处的切线的斜率为 .( 4， 0) 129已知点 P 在曲线 y 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是4ex 1( )A0， ) B ， ) 4 4 2C( ， D ，) 2 34 34答案 D
5、解析 y ，设 te x(0，)，则 y4ex ex 1 2 4exe2x 2ex 1 ， t 2， y1,0)， ，)4tt2 2t 1 4t 1t 2 1t 3410(2013江西)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex) xe x，则 f(1)_.答案 2解析 令 te x，则 xln t，所以函数为 f(t)ln t t，即 f(x)ln x x，所以f( x) 1，即 f(1) 12.1x 1111求过点(2,0)且与曲线 y x3相切的直线方程解 点(2,0)不在曲线 y x3上，可令切点坐标为( x0， x )由题意，所求直线方程的30斜率 k y| x x03 x ，即
6、 3 x ，解得 x00 或 x03.x30 0x0 2 20 x30x0 2 20当 x00 时，得切点坐标是(0,0)，斜率 k0，则所求直线方程是 y0；当 x03 时，得切点坐标是(3,27)，斜率 k27，则所求直线方程是 y2727( x3)，即 27x y540.综上，所求的直线方程为 y0 或 27x y540.12已知曲线 f(x) x33 x，过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线，求曲线的切线方程解 设切点为( x0， y0)，则由导数定义得切线的斜率 k f( x0)3 x 3，20切线方程为 y(3 x 3) x16，20又切点( x0， y0)在切线上， y03
7、( x 1) x016，20即 x 3 x03( x 1) x016，30 204解得 x02，切线方程为 9x y160.三、探究与创新13设函数 f(x) ax ，曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为 7x4 y120.bx(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 y x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值(1)解 由 7x4 y120 得 y x3.74当 x2 时， y ， f(2) ，12 12又 f( x) a ，bx2 f(2) ，74由，得Error!解之得Error!故 f(x) x .3x(2)证明 设 P(x0， y0)为曲线上任一点，由 y1 知3x2曲线在点 P(x0， y0)处的切线方程为y y0 (x x0)，(13x20)即 y (x x0)(x03x0) (1 3x20)令 x0 得 y ，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为 .6x0 (0， 6x0)令 y x 得 y x2 x0，从而得切线与直线 y x 的交点坐标为(2 x0,2x0)所以点 P(x0， y0)处的切线与直线 x0， y x 所围成的三角形面积为 6.12| 6x0|2x0|故曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x0， y x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.
