1、2017-2018 学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学 2018 届高三 10 月月考数学（理）一、选择题：共 12 题1. 已知复数 ,其中为虚数单位,则A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ,所以 .选 D.2. 已知集合 ,则A. B. C. D. 【答案】C所以 .选 C.3. 在等比数列 中, ,则A. B. C. D. 【答案】D【解析】由等比数列的性质可得 ,因为 ,所以 选 D.4. 执行下图的程序框图,如果输入的 ,那么输出的A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：模拟执行程序, 可得 ,执行循环体, ,不满足条件 ,执行循环体, , 不满足条件 ,执行循
2、环体, , 不满足条件 ,执行循环体, ,不满足条件 ,退出循环, 输出 的值为 ,故选 B.考点：1、程序框图；2、循环结构.5. 已知某个几何体的三视图如下图(正视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位: ,可得这个几何体的体积是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是:上面是一个底面半径为 1、高为 2 的圆柱的一半,下面是一个棱长为 2的正方体,所以该几何体的体积为 .选 A.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得
3、出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解6. 下列四个命题:(1)存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是A. B. C. D. 【答案】C【解析】(1)将一个平面内的两条相交直线平移到平面外, 且平移后不相交,则这两条直线异面且与该平面平行,故正确;(2)当过该点的平面过其中一条直线时,这个平面与两条异面直线都平行是错误的,故不正确;(3)显
4、然正确;(4)显然正确.故答案为 C.7. 已知数列 为等差数列,若 ,且其前 项和 有最大值,则使得 的最大值 为A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ,所以 一正一负,又因为其前 项和 有最大值,所以 ,则数列 的前10 项均为正数,从第 11 项开始都是是负数,所以又因为 ,所以 ,即 ,所以使得的最大值 为 19.选 B.点睛：求等差数列前 n 项和 Sn 最值的三种方法(1)函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Snan 2bn，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：a10，d0 时，满足 的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm.(3)通
5、项公式法：求使 an0(an0)成立时最大的 n 值即可一般地，等差数列a n中，若 a10，且SpSq(pq)，则：若 p q 为偶数，则当 n 时，Sn 最大； 若 pq 为奇数，则当 n 或n 时，Sn 最大8. 已知圆 是 外接圆,其半径为 1,且 ,则A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ,所以点 O 是 BC 的中点,即 BC 是圆 O 的直径,又因为 ,圆的半径为 1,所以,且 AC= ,则 .选 B.9. 数列 中,对任意 ,恒有 ,若 ,则 等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ,所以 , .选 D.10. 已知圆 的半径为 为该圆的两条切线, 为两切
6、点,那么 的最小值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：如图所示：设 ，则所以当且仅当 时取“=”，故最小值为考点：向量的数量积的应用11. 已知数列 ,则 一定是A. 奇数 B. 偶数 C. 小数 D. 无理数【答案】A【解析】因为 ,所以 ,则数列 从第 3 项开始,每一项均为其前两项的和,因为前两项均为 1,是奇数,所以从第三项开始,第 3n 项均为偶数,第 3n+1 项均为奇数,第 3n+2 项均为奇数,所以 一定是奇数.点睛：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联
7、想常见的数列)等方法.(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用 处理.12. 已知函数 ,设 ,且函数 的零点均在区间 内,则 的最小值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,可得 时, ;当 时, ,当 时,当 时, ,综上可知 在 R 上是增函数,又因为 =,所以函数 只有一个零点,且在 内;同理可得 在 R 上是减函数,由于 ,所以 只有一个零点,且在(1,2)内 ,所以函数 在区间 或内有零点,由于 的零点在区间
8、内,所以 的最小值为 .选 C.点睛：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解二、填空题：共 4 题13. 下图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型,数字 1 出现在第 1 行;数字 2、3 出现在第 2行;数字 6、5、4(从左至右)出现在第 3 行;数字 7、8、9、10 出在第 4 行;依次类推.若 表示第 行第列(从左至右)的对应的数,例如 则 _.【答案
9、】【解析】由数阵可知,偶数行的数是从左到右是从小到大,奇数行的数是从左到右是从大到小,每行的数成等差数列,由题意可知, 表示第 19 行第 5 个数,前 19 行共有 个数,所以 .14. 已知 ,点 在 内, 设 , ,则_.【答案】【解析】因为 ,所以 ,又因为点 在 内, ,则点 在 的角平分线上,因为,所以| ,即| .点睛：平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解
10、15. 有 根水泥电线杆,要运往 远的地方开始安装,在 处放一根,以后每隔 放一根,一辆汽车每次只能运 根,如果用一辆汽车完成这项任务,那么这辆汽车的行程是_ .【答案】【解析】由题意可知,该汽车要运送 10 次,设每次的行程为数列 ,是等差数列,则第一次行程是 ,公差 d= ,所以该汽车的行程是 (m).16. 下列命题中(1)在等差数列 中, 是 的充要条件;(2)已知等比数列 为递增数列,且公比为 ,若 ,则当且仅当 ;(3)若数列 为递增数列,则的取值范围是 ;(4)已知数列 满足 ,则数列 的通项公式为(5)对任意的 恒成立.其中正确命题是_(只需写出序号).【答案】(2)【解析】(
11、1)当 m=n=s=t=1 时 ,必要性不成立,故(1)错误;(2)在等比数列 为递增数列时, ,则当且仅当,故(2)正确;(3) 数列 为递增数列,由二次函数的性质可知, ,则 ,故(3) 错误;(4)令 n=1,则 ,当 n1 时, ,两式相减可得 ,则 ,又 不满足该式,故数列 的通项公式不是 ,因此(4)错误;(5)当 n=1 时,不等式可化为 ,不成立,故(5) 错误.因此正确命题是(2).点睛：给出 与 的递推关系求 ，常用思路是：一是利用 转化为 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 的递推关系，先求出 与 之间的关系，再求 . 应用关系式 时，一定要注意分 两种情况，在求出结
12、果后，看看这两种情况能否整合在一起.三、解答题：共 7 题17. 等差数列 的前 项和为 ,已知 为 与 的等比中项,且 .(1)求数列 的通项公式;(2)若 ,求数列 的前 项和 .【答案】 （1） 或 ;（2） 或 .【解析】试题分析：（1）先根据条件列关于首项与公差的方程组，解得 或 ,再代入通项公式得数列 的通项公式;（2）因为 ,所以根据裂项相消法得数列 的前 项和试题解析：(1 设等差数列的公差为 d,由 为 与 的等比中项,可得 ,即 ;又 ,求解可得 或 ,所以 或 ;(2 由(1)可知,当 时, ,则 ;当 时, ,则 ,所以 或 .18. 已知函数 .(1)若方程 在 上有
13、解,求 的取值范围;(2)在 中, 分别是 所对的边,当(1)中的 取最大值且 时,求的最小值.【答案】 （1） ;（2）1【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质确定函数值域，即得 的取值范围;（2）先根据条件解出角 A，再根据余弦定理以及基本不等式求的最小值.试题解析：(1 = = = ,因为 ,所以 ,则 ,因为方程 在 上有解,所以 ,则 ,故 的取值范围是 ;(2)由(1)可得 取最大值 3, ,则 ,则 ,由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc ,当 时有最小值 1.19. 我校为了让高一学生
14、更有效率地利用周六的时间,在高一新生第一次摸底考试后采取周六到校自主学习,同时由班主任老师值班,家长轮流值班.一个月后进行了第一次月考,高一数学教研组通过系统抽样抽取了名学生,并统计了他们这两次数学考试的优良人数和非优良人数,其中部分统计数据如下:(1)请画出这次调查得到的 列联表;并判定能否在犯错误概率不超过 的前提下认为周六到校自习对提高学生成绩有效?(2)从这组学生摸底考试中数学优良成绩中和第一次月考的数学非优良成绩中,按分层抽样随机抽取 个成绩,再从这 个成绩中随机抽取 个,求这 个成绩来自同一次考试的概率.下面是临界值表供参考:(参考公式: ,其中【答案】 （1）能（2） .【解析】
15、试题分析：（1）根据总数确定各区间人数，代入卡方公式得 ，再与参考数据比较判断可靠率（2）先按照分层抽样确定各层次抽取人数，再利用组合数确定事件总数以及对应事件数，最后根据古典概型概率公式求概率试题解析：(1 列联表随机变量 的观测值 ,因此能在犯错误概率不超过 的前提下,认为周六到校自习对提高学生成绩有效;(2)从摸底考试数学优良成绩中抽取 个;从第一次月考数学非优良成绩中抽取 个,设从这 5 个成绩成绩来自同一次考试的事件为 ,则 因此,这 2 个成绩来自同一次考试的概率是.20. 已知点 ,点 是圆 上任意一点,线段 的垂直平分线与半径 交于 点,当点 在圆 上运动时,(1)求点 的轨迹
16、 的方程;(2)过 作直线与曲线 相交于 两点, 为坐标原点,求 面积的最大值.【答案】 （1） ;（2）当且仅当 时, 有最大值 .【解析】试题分析：（1）根据垂直平分线性质得 ，从而可得 ,再根据椭圆定义确定轨迹及其方程（2）先设直线点斜式方程，与椭圆联立方程组结合韦达定理可得 ，再根据的面积公式可得关于 k 的分式函数，最后利用基本不等式求最值试题解析：(1)由已知线段 的垂直平分线与半径 交于 点,所以 ,而 ,所以 ,因此点 的轨迹是以 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,所以所以 的轨迹 的方程是 ;(2)设直线的方程是将直线的方程代入曲线 的方程可得 ,显然 ,且 , ,= = = = = ,而 ,因此当且仅当 时, 有最大值 .21. 已知函数 且 在 处的切线与直线 垂直.(1)求实数 值;(2)若不等式 对任意的实数及 恒成立,求实数 的取值范围;(3)设 ,且数列 的前 项和为 ,求证: .【答案】 （1） ;（2） （3）见解析【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率为 ，根据题意可得 ，解得 ;（2）先求 最值，再根据不等式恒成立转化为 , ,最后分别按二次不等式和绝对值不等式求实数 的取值范围;（3）由(2)可得当 时, ，从而,再利用裂项相消法得 = ，
