1、2018 届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（每小题只有一个正确的选项，每小题 5 分，共 60 分）1. 若集合 M,N,P 是全集 S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据图形中阴影部分，在集合 M 与 N 的公共部分中，但不在集合 P 中，因此是集合 与的公共部分，因此可以表示为 ，故选 A.点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意
2、利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错2. 在长为 12 的线段 AB 上任取一点 M，并且以线段 AM 为边的正方形，则这正方形的面积介于 36 与81 之间的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】当正方形面积为 36 与 81 时，边长分别为 6 和 9，即|AM|的长在 6 到 9 之间时，符合要求，因此概率为 ，故选 A.点睛：解决此类几何概型的概率问题，首先要分析试验结果是不是无限个，其次要分析每个结果是不是等可能的，符合以上两点才是几何概型问题，确定是几何概型问题后，要分析事件的度量是用长度还是面积，体积等，然后代入几何概型概率公式即可.3. 抛
3、物线 的焦点为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：抛物线方程变形为 ，焦点为 学#科#网.学#科#网.学#科#网.学#科#网.学#科# 网.考点：抛物线方程及性质4. 十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有 （ ）.A. 24 种 B. 16 种 C. 12 种 D. 10 种【答案】C【解析】根据题意，车的行驶路线起点有 4 种，行驶方向有 3 种，所以行车路线共有 种，故选 C. 5. 已知复数 的实部为-1，则复数 在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】试题分析： ，所以实部为 ，则
4、，因此复数，则 ，在复平面内对应点的坐标为 ，位于第三象限。考点：复数的运算。6. 若直线 与曲线 恰有一个公共点,则 的取值范围是A. B. 或 C. D. 或 【答案】B【解析】曲线 化简得： ，注意到 ，所以这是长半轴长为 1，短半轴长为 ，焦点坐标在 x 轴，y 轴右侧的一部分，其中图象只在一、四象限，作出图象如下：因为直线与其只有一个交点，从图中可以看出两个极端情况分别是：直线交曲线于 和另一个点 ,所以 时直线和曲线只有一个交点；当直线在第四象限与曲线相切时也只有一个交点，由可得： ， ，解得 ，因为切点在第四象限，所以 ，综上 或 ，故选 B. 7. 从个位数与十位数之和为偶数的
5、两位数中任取一个，其个位数为 0 的概率是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，基本事件总数 ，其中个位数为 0 的有4 个，所以从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，其个位数为 0 的概率 ,故选 A.8. 将正方体（如图 1）截去三个三棱锥后，得到如图 2 所示的几何体，侧视图的视线方向如图 2 所示，则该几何体的侧视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】点 在左侧面的投影为正方形， 在左侧面的投影为斜向下的正方形对角线， 在左侧面的投影为斜向上的正方形对角线，为不可见轮廓线，综上可知故选 D.9. 甲乙二人争
6、夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意,甲获得冠军的概率为 + + = ，其中比赛进行了 3 局的概率为 + = ，所求概率为 = ，故选 B.10. 椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 ， ，当 的周长最大时， 的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设右焦点为 ，连接 ,因为 ,所以当直线 过右焦点时， 的周长最大.由椭圆定义知 周长的最大值为 ，所以 ，把 代入椭圆方程得 ，所以此时 的面积 ，故选 A.
7、 11. 宋元时期数学名著算数启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 分别为 ，则输出的 （ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】由程序框图可得， 时， ，继续循环； 时，继续循环； 时， ， 继续循环；结束输出 .点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.12
8、. 将数字 1,2,3,4，填入右侧的表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（ ）种A. 432 B. 576 C. 720 D. 864【答案】B【解析】对符合题意的一种填法如图，行交换共有 种，列交换共有 种，所以根据分步计数原理得到不同的填表方式共有 种，故选 B. 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13. 已知 的展开式二项式系数和为 64，则展开式中常数项是 _。 （用数字作答）【答案】60【解析】因为展开式二项式系数和为 64，所以 ， ，展开式的通项为，令 ，得 ，所以常数项为第 5 项， ，故填 . 点睛：涉及二项式展开式的特定项，一般要先
9、写出二项式的展开式的通项公式，根据特定项的特点确定 r,从而求出特定项或与题目有关的问题，一般会求常数项.14. 已知双曲线 C 的方程为 ，其上焦点为 F，过 F 作斜率为 2 的直线与上支有且只有一个交点，则双曲线 C 的离心率的范围_。【答案】【解析】因为过 F 作斜率为 2 的直线与上支有且只有一个交点，所以 ，即 ，因此，所以 . 15. 已知边长为 的正 的三个顶点都在球 O 的表面上，且 OA 与平面 ABC 所成的角为 ，则球 O 的表面积为_【答案】【解析】设正 的外接圆圆心为 ，连接 ，则 ，角 是 与平面 所成的角为 ，由正 的边长为 可知 ，所以 在 中 ， 球 的表面
10、积为 ，故答案为 .16. 如图，已知抛物线的方程为 ，过点 A（0,1）作直线与抛物线相交于 P，Q 两点，点 B的坐标为（0,1） ，连接 BP，BQ，设 QB，BP 与 x 轴分别相交于 M，N 两点如果 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为3，则MBN 的大小等于_【答案】【解析】设直线 PQ 的方程为： ，由 得 ， ，则 ， ，又 ，故解得 所以 故 ,故填 . 三、解答题（12+12+12+12+12+10=70 分）17. 在 所对的边分别为 且 ，（1）求角 的大小；（2）若 ， ，求及 的面积.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（）已知等式变形后，利用正弦定理化简
11、，根据 sinA 不为 0 求出 cosB 的值，即可确定出角 B 的大小；（）利用余弦定理列出关系式，把 a，b，cosB 的值代入求出 c 的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC 面积即可试题解析：( ) ， ，由正弦定理可得 ， 又 ， ， ， ， ， 所以 ，故 . （） ， ，由余弦定理可得：，即解得 或 （舍去） ，故 . 所以 . 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和
12、所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪 80 元，每单抽成 4 元；乙公司无底薪，40 单以内（含 40 单）的部分每单抽成 6 元，超出 40 单的部分每单抽成 7 元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 50 天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 10 15 10 10 5乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 5 10 10 20 5（1）现从甲公司记录的 50
13、 天中随机抽取 3 天，求这 3 天送餐单数都不小于 40 的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：记乙公司送餐员日工资为 （单位：元） ，求 的分布列和数学期望；小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（1）为古典概型，利用组合数公式计算基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的总数即可.（2）为计算离散型随机变量的分布列和数学期望，利用公式计算即可（1）记抽取的 天送餐单数都不小于 40 为事件 ，则 .（2）设乙公司送餐员送餐单数为，则当 时， ，当
14、时， ，当 时， ，当 时，当 时， .所以 的所有可能取值为 228，234，240，247，254.故 的分布列为：228 234 240 247 254所以依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为所以甲公司送餐员日平均工资为 元.由得乙公司送餐员日平均工资为 241.8 元.因为 ，故推荐小王去乙公司应聘.19. 如图在棱锥 中， 为矩形， 面 ， ， 与面 成 角， 与面 成角. （1）在 上是否存在一点 ，使 面 ，若存在确定 点位置，若不存在，请说明理由；（2）当 为 中点时，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）中点；（2）【解析】试题分析：（1）法一：要证明 PC面 ADE，只需证明
15、 ADPC，通过证明 即可，然后推出存在点 E 为 PC 中点法二：建立如图所示的空间直角坐标系 DXYZ，设 ，通过 得到 ，即存在点 E 为 PC中点 （2）由（1）知求出面 ADE 的法向量，面 PAE 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角 PAED的余弦值试题解析：（）法一：要证明 PC面 ADE，易知 AD面 PDC，即得 ADPC，故只需 即可，所以由,即存在点 E 为 PC 中点 法二：建立如图所示的空间直角坐标系 DXYZ， 由题意知 PDCD1，设 ， ，,由 ，得 ，即存在点 E 为 PC 中点。 （）由（）知 ， ， ， ， ， ，设面 ADE 的法向量为 ，面 PAE 的法向量为由的法向量为 得， 得同理求得 所以故所求二面角 PAED 的余弦值为 . 点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切 是椭圆 的右顶点与上顶点，直线 与椭圆相交于 两点（1）求椭圆 的方程； （2）当四边形 面积取最大值时，求 的值【答案】 （1） ；（2）2
