1、2018 届重庆市南开中学高高三上期半期考试数学理试题考试说明：试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题） ，满分 150 分，考试时间 120 分钟第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合要求）1.若复数 （其中 为虚数单位） ，则 （）23ziiizA B C D422.已知集合 ， ，那么 （）240x1|xBAA. B. C. D.1,1,),()0,43.若递增的等比数列 满足 ，则 （）na2425364a35aA.6 B.8C.10 D.124.若 ，则下列说法正确的是（）Rcba,A.若 则 B
2、.若 则2ba1C.若 则 D.若 则bac2c5.已知向量 ，且 ，则 （）)1,(),(x)/(A.4 B.2 C. D. 66.已知函数 的部分图象如图所示，将 的图象向左平2|,0sinf )(xf移 个单位，则得到的新函数图象的解析式为（）4A. B.)32cos(xycos()6yxC. D.17in12in7.我国古代数学专著九章算术中有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，则需（）日两马相逢A.16B. 12C.9 D.88.设 且 ，则 的最小值是（）0,
3、yx4yx212yxA. B. C. D.7163299.如图是 2017 年上半年某五省 情况图，则下列叙述正确的是（ ）GDP与去年同期相比，2017 年上半年五个省的 总量均实现了增长； 2017 年上半年山东的 总量和增速均居第二；2016 年同期浙江的 总量高于河南；2016 和 2017 年上半年辽宁的 总量均位列第五.GDPA. B. C. D. 10.正项数列 前 项和为 ，且 （ ）成等差数列， 为数列 的前nanS2,na*NnTnb项和，且 ，对任意 总有 ，则 的最小值为（）n21nb*N)(KTA.1 B.2 C.3 D.4 11.若函数 的最大值为 ，则实数 的取值
4、范围是（）)0(21l)(xaxf )1(faA. B. C. D.2,0e,(2,03e,312.已知单位向量 满足： 向量dcba,|dcba )sin(co22bap（ ） ，则 的最小值为（）R)(pA. B. C. D.23121第卷(非选择题，共 90 分)二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，各题答案必须填写在答题卡上相应位置）13.已知向量 的夹角为 ，且 ，则,ab51,20abb14.已知函数 是定义在实数集 上周期为 2 的奇函数，当 时，)(xfR1,(x，则1lg)(f 4lg)208(f15.已知 三内角 的对边分别为 ，且 ,ABC,
5、cba, 2cos2sinC若 成等比数列，则 =cba, Asin16.为庆祝党的十九大的胜利召开，小南同学用数字 1 和 9 构成数列 ，满足： ，在na1第 个 1 和第 个 1 之间有 个 9 ，即 1,9,1,9,9,9,1,9,9,9,9,9，设数列k2k)(*N的前 项和为 ，若 ，则nanS05mm三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 70 分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.（本小题满分 12 分）设等差数列 的前 项和为 ，公差 ， ，na*,NnS0d153S且 成等比数列.134,a（）求数列 的通项公式；（）设 ，求数列
6、的前 项和.n 142bn nb18.（本小题满分 12 分）甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是 和 ，乙队两名队员通23过第二阶段比赛的概率都是 ，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某21队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为 0） ，所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的.（）求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率；（）设 表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求 的分布列和数学期望.X X19.（本小题满分 12 分）已知向量 ，设)
7、1,(cos),43(sinxxmnmxf)(2)（）若 ，求 的所有取值；23)(xf（）已知锐角 三内角 所对的边分别为 ，若 ，求 的ABC, cba,)(2ca)(Af取值范围.20.（本小题满分 12 分）设椭圆 ，以短轴为直径的圆 面积为)0(1:2bayxCO，椭圆上的点到左焦点的最小距离是 ， 为坐标原点.2 O（）求椭圆 和圆 的方程；O（）如图， 为椭圆的左右顶点， 分别为圆 和椭圆BA, NM,上的点，且 轴，若直线 分别交 轴于 两CxMN/BAyED,点（ 分别位于 轴的左、右两侧）.,y求证： ，并求当 时直线 的方程.DE314|DENSOAxyDEABMNO21
8、.（本小题满分 12 分）已知函数 .xaxf1ln2)(（）若 ，求 在 处的切线方程；2a)(xf0,1（）若 对任意 均有 恒成立，求实数 的取值范围；)(f)(xf a（）求证： .21ln2k nN请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，直线 ，曲线 为参数 ，xOy043:1yxC(sin1co:2yxC)以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（）求曲线
9、的极坐标方程；21,C（）若曲线 的极坐标方程为 ，且曲线 分别交 于3 )20,(3C21,两点，求 的最大值.BA,O23.（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲已知函数 .|32|1|)(xxf（）求不等式 的解集；6（）若不等式 解集非空，求实数 的取值范围)(log)(2axf a重庆南开中学高 2018 级高三半期考试 数学试题（理科）参考答案1-12： BDCA13. 14. 1 15. 16.2423225117.解：（1）由已知得 12331124 nada（2） ，412 nnabnnTn 2)26(1)(418.解：(1)用 分别表示甲、乙两队通过第二阶段比赛的
10、人数， 的可能取值都是 ，, , 2,10则 , ,632)0(P21321)(P321)(P, ,41(C42C设第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等为事件 ，则A),()1,()0,() PPA 81316(2)根据题意，随机变量 的所有可能取值为 ，由(1) 知X20)(0(APX,则834),()2,()2( X,所以 的分布列是：2101PP 283 814120)(XE19.解： )41cos(sin2)1,(cos)4,cs(in)( 2 xxxxmxf 23)s23cos2sin（1）由 得， 为所求的)(xf )(28,04i( Zkxkxx 取值。（2）由余弦定理 和 可得，
11、，又由正弦Bacbos22)(2cabBacos定理得： ，又 ，ACAsinisinC得 )sin(osii)( ABAB或 （舍）故 ，由于锐角 故有3,2C，所以4321746A )23,5()42sin)( Af（20. 设椭圆 ，以短轴为直径的圆 面积为 ，椭圆上的点到左)0(:2bayxCO焦点的最小距离是 ， 为坐标原点.O（1）求椭圆 和圆 的方程；（2）如图， 为椭圆的左右顶点， 分别为圆 和椭圆 上的点，且 轴，若BA, NM, CxMN/直线 分别交 轴于 两点（ 分别位于 轴的两侧）.NyED, y求证： ，并求当 时直线 的方程.ME314|NSOA解：（1）由题意知
12、 ，222, cbacab 2,4ba故所求椭圆方程为 ，圆14yx:2yx（2）设 ，直线 （易知斜率存在且),(0N)(:kAN不为 0）将直线 与 联立得：)2(:xy142y08)12(2kxk，即 所以直线 的202020 114ky )214,(kNBN斜率为 ，从而 的方程为kxy0BN)(x所以 ，设 ，则)1,(2,ED),(01yxM2021y所以 01,2, 2010101 ykxkkyx故 ME此时 ，当 时，可得201)(|21| kxDEkSODEN 314|DENSOxyDEABMNO或者 ，故 或者 ，所以直线 的方程为 或者321k41k6AN2xy或者xy)
13、2(6xy21. 已知函数 .af1ln)(（1）若 ，求 在 处的切线方程；2ax)0,(（2）若 对任意 均有 恒成立，求 的取值范围；)(f1(xfa（3）求证： .2ln12kk解： 221)(xaxaf（1）当 时 且 ，所以 在 处的切线方程为)1(fk0)(f)(xf0,12xy（2）由 ，考查 ，22)(2 xaxaf 1)(2axg，故当 时， 在 恒成立，所以 ，4,)1g10)(g1,x0)(xf即 在 单调递减， ，故符合题意；(xf10()(fx当 时， 使得 ，即当 时a,)(,0g)(0x,(0x不符合题意。1)()(ffg故所求实数 的取值范围是 a（3）由（2
14、）知当 时， ，则易知 时1,(ln2xx ),1x即 ，,01lnx 224ln)1(l 即 ，令 可得：)2(4l2 kx 1)1(1l2 kkk从而取 并相加可得：nk,1，故原不等式得证。21132l12 nnnk 22. 解：（1） ，所以 的极坐标方程为si,coyx1C04sinco3曲线 为参数 的直角坐标方程为： ，所以 的极坐标(i1:2yxC) 1)(22yx2C方程为 sn（2）设 ，且 ，),(),(21BA sin2,sico341 41)62si(1)co1i(2)sinco3(sin12 O当 即 时， 的最大值为6OAB4323. 解：（1） 2756|12|)( xxxf（2）因为 ，当且仅当 时取等|)3(12|3| 23,1x故不等式 解集非空，)(log)(2axf等价于 或4043l 22 aa 1.
