1、2018 届辽宁省鞍山市第一中学高三上学期第二次模拟考试（期中）数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则 为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为集合 ， ，所以 ，故选 A.2. 设复数 ，且 ，则 等于（ ）A. -4 B. -2 C. 2 D. 4【答案】C【解析】 复数 ，且 ，3. 若向量 ， ， 满足条件 与共线，则 的值为（ ）A. -2 B. -4 C. 2 D. 4【答案】B【解析】向量 ， ， ，所以 ，所以 与共线，所以 ，截得 ，故选
2、 B.4. 数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析： ，所以考点：裂项相消求和5. 已知命题 ， “ 为真”是“ 为假”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析:因“ 为真”,故 为假，则“ 为假”；反之不成立，即“ 为真”是“ 为假”的充分不必要条件.应选 A.考点：充分必要条件的判定及运用.6. 已知 ， ，且 ，则向量与向量 的夹角是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 【解析】由 得 ，则 ，故选 B.7. 已知曲线 在点 处切线的斜率为
3、1，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】求导函数可得 函数在点(1, f(1)处切线的斜率为 1，f(1)=1， .本题选择 D 选项.点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.8. 已知 且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： ， ， ，
4、， 考点：平方关系、倍角关系9. 已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： ） ，可得这个几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 根据三视图可知几何体是四棱锥，其中底面是以边长为 的正方形，四棱锥的高为 ，所以几何体的体积为 ，故选 B.10. 函数 的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则函数 在 上的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角函数的最值.11. 已知 是不重合直线， 是不重合平面，则下列命题若 ，则 若 ，则若 ，则 若 ，则若 ，则 中真命题个数是（ ）A. 0 个 B. 1 个 C.
5、2 个 D. 3 个【答案】C【解析】 垂直于同一平面的两个平面不一定平行，所以是错误的；若 ，则当 相交时， ；当 ， 不相交时， 不成立，所以是错误的；若 ，则 成立，所以是正确的；若 ，则 或 ，所以是错误的；根据垂直与同一平面的两条直线平行可得，若 ，则 成立，所以是正确的，故选选 C.点睛：本题主要考查了空间中直线与平面位置的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行、平面与平面平行，直线与平面垂直的判定与性质的综合运用，试题比较基础，属于基础题，解答中熟记直线与平面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.12. 定义在 上的函数 满足： ， ，则不等式 （其中为自然对数的底数）的
6、解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：设 ，则 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 是单调递增函数，因为 ，所以 ，又因为 ，即 ，所以 ，故选 A考点：利用导数研究函数的单调性第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若 是奇函数，则 _【答案】【解析】 因为 是奇函数，所以 ，所以 ，解得 .14. 已知实数 满足 ，则 的最小值为_【答案】2【解析】试题分析：可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中 ，所以直线 过 A点时取最小值 2考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注
7、意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 双曲线 与抛物线 有相同的焦点 ，且相交于 两点， 连线经过焦点 ，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】 由 为公共焦点，可知 ，即 ，因为抛物线与双曲线都关于 轴对称，所以 两点关于 轴对称，所以直线 的方程为 ，代入双曲线的方程，可得 ，即 ，因为 在抛物线上，所以 ，又 ，所以 ，即 ，解得 或 （舍去）.点睛：本题主要考查了圆锥曲线的几何性质的求解，其中解答中涉及到双曲线的几何性质、抛物线的标准方程
8、及其几何性质的应用，着重考查了学生的推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，解答中熟记圆锥曲线的几何性质及 的关系式是解答的关键.16. 已知 ，圆 上存在点 ，满足条件 ，则实数的取值范围为_【答案】【解析】 设 ，因为 ，圆 上存在点 ，满足条件 ，所以 ，即 ，所以点 在圆心为 ，半径为 的圆上，又点 在圆 上，所以圆 与圆 有公共点，因为圆 的圆心 ，半径为 ，所以 ，所以 ，解得 或 ，所以实数的取值范围为 .点睛：本题主要考查了直线与圆的问题的综合应用，其中解答中涉及到圆与圆的位置关系，圆的标准方程及圆心坐标、半径的知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中要认真审
9、题，主要圆的性质、圆与圆的位置关系的合理应用是解答的关键.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知数列 的前 项和为 ，且 .（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据 得出递推式，确定 为等比数列，再计算 ，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）得到数列 的通项公式，采用乘公比错位相减法求解数列的和 .试题解析：（1）当 时， ，即 ，解得 .当 时， ，即 ，所以数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.所以 .（2）因为 ，所以 .18. 如图，在三棱柱 中，
10、侧棱 底面 ， 为棱 的中点， ， ，求证：（1） 平面 ；（2） 平面 .【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）如图，连接 交 于 ，可得 ，即可证得 平面 ；（2）三棱柱 中，可得 底面 ，可得 ，即可得 ，在矩形 中，由 ，可得 ，即可得 平面 .试题解析：（1）证明：如图，连接 交 于 ，则 为 中点，连接 ， 为棱 的中点， ，又 平面 ， 平面 平面 ，（2）三棱柱 中，侧棱 底面 ，可得 为棱 的中点， ， 面 ，即 ，在矩形 中， ， ， ， ，即 . ，且 ， 平面 .19. 在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 .（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的
11、面积的最大值.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和正弦函数公式化简已知等式可得，由于 ，利用同角三角函数的基本关系式可求 ，结合范围 ，即可求 的值；（2）由余弦定理，基本不等式可求 ，进而利用三角形面积公式即可计算.试题解析：（1） ， 由正弦定理可得： ，又 ， ， ，解得： ， ， .（2） ， ，由余弦定理可得： ，即： ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立，即 的面积的最大值为 .20. 已知过点 的椭圆 的左右焦点分别为 ， 为椭圆上的任意一点，且成等差数列.（1）求椭圆 的标准方程；（2）直线 交椭圆于 两点，若点 始
12、终在以 为直径的圆外，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） 或【解析】试题分析：（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出 的关系，再根据椭圆 过点 ，求出的值，即可写出椭圆的标准方程；（2）设 ，根据题意知 ，联立方程组，由方程的根与系数的关系求解 ，再由点 在以 为直径的圆外，得 为锐角， ，由此列出不等式求出 的取值范围.试题解析：（1） 成等差数列， ，由椭圆定义得 ， ；又椭圆 过点 ， ； ，解得 ， ；椭圆 的标准方程为 ；（2）设 ， ，联立方程 ，消去 得：；依题意直线 恒过点 ，此点为椭圆的左顶点， ， ，由方程的根与系数关系可得， ；可得 ；由，解得 ， ；由点
13、 在以 为直径的圆外，得 为锐角，即 ；由 ， ， ；即 ，整理得， ，解得： 或 .实数 的取值范围是 或 .点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系等基础知识的综合应用，着重考查了学生的推理与运算能力，同时考查了函数与方程思想，数形结合思想的应用，此类问题的解答中把直线方程与椭圆的方程的联立，转化为方程的根与系数的关系是解答的关键.21. 已知函数 ， .（1）求函数 的单调区间；（2）对一切 ， 恒成立，求实数 的取值范围；（3）证明：对一切 ，都有 成立.【答案】 （1）递增区间是 ，递减区间是 ；（2） ；（3）见解析【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导数的不等式，即可求解函数的单调区间；（2）问题可化为 对一切 恒成立，令 ，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出 的取值范围即可；（3）问题等价于 ，即证 ，令 ，根据函数的单调性即可作出证明.试题解析：（1） ，得 由 ，得 的递增区间是 ，递减区间是（2）对一切 ， 恒成立，可化为 对一切 恒成立.令 ， ，当 时， ，即 在 递减当 时， ，即 在 递增， ， ，即实数 的取值范围是（3）证明： 等价于 ，即证由（1）知 ， （当 时取等号）令 ，则 ，易知 在 递减，在 递增
