1、西南名校 2018 年元月高三联考适应性考试理科数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数 的值域为 ，函数 的值域为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 的值域 ， 的值域为故选 C2. 已知向量 的夹角为，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】任意两个非零向量之间的夹角取值范围为故选 A3. 已知为虚数单位，复数满足 ，则复数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选 D4. 已知函数 在点 处的切线斜率等于 5，则实数的值为（ ）A. -4
2、 B. 9 C. 5 D. 1【答案】B【解析】函数 在点 处的切线斜率等于 5故选 B点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围5. 抛物线 的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得抛物线的标准方程为 .焦点坐标为故选 C6. 若 ，则 （ ）A. -128 B. 127 C. 128 D. 129【答案】B【解析】令令故选 B点睛：本题主要考查了二项式定理的系数问题，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过二项式的 赋值，可以简便运算求出答案，
3、属于中档试题，着重考查了二项式系数问题中的赋值法的应用，本题的解答中，分类令 和 ，即可求得7. 关于 的方程 有实数解，那么实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题可得 的值域为 ， 的值域为若使 ,则 或者 的取值范围为故选 D点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解8. 若 （其中为自然对数的底数）是 图像上不同的两点，则下列各点一定在 图像上的是（ ）A. B. C. D. 【答案
4、】A【解析】 是 图象上不同的两个点 在 图象上故选 A9. 设 表示不小于实数 的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 25 B. 24 C. 21 D. 10【答案】A【解析】模拟程序框图的运行过程，如下不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体 表示不小于实数 的最小整数 不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体满足 ，输出故选 A10. 椭圆 的半焦距为，若抛物线 与椭圆的一个交点的横坐标为， 则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】
5、B【解析】由题可知交点的坐标为 ，代入椭圆方程可得离心率故选 B11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示：该几何体是一个正方体截去两个三棱锥后余下的部分，故该几何体的体积为故选 C点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12. 直线 与圆 有公共点 ，则 的取值
6、范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题可知圆的方程可化为 ，圆心为 ，半径为 ，即直线与圆有公共点圆心到直线的距离 ，即 ，即将点 带入直线和圆的方程可得故选 D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ， ，则实数 的值等于_【答案】97【解析】向量 ， ，故答案为 9714. _【答案】【解析】故答案为15. 一个正方体的棱长为 2，现有三个球，球 切于正方体的各面，球 切于正方体的各棱，球 过正方体的各顶点，则这个三个球的表面积之和为_【答案】【解析】由题可知球 的半径分别为三个球的表面积之和为故答案为16. 设函数 ，若对于
7、任意给定的 ，函数 有且仅有唯一的零点，则正实数 的最小值为_【答案】【解析】函数 的值域为当 时， 的值域为当 时， 的值域为 的值域 上有两个解函数 在 上有且仅有唯一的零点方程 有且仅有一解 ，即 或 为正实数 的最小值为故答案为点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数 )问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 为等差数列，公差为
8、，其前 项和为 ，且 ，.（1）求数列 的通项公式 及前 项和 ；（2）若数列 满足 ， ，求满足 的所有 的值.【答案】 （） ， （） 或 【解析】试题分析：（1）根据 ， ，可分别求出 和 ，即可求出数列 的通项公式 及前 项和 ；（2）由（1）求出数列 的通项公式，然后即可求出满足的所有 的值.试题解析：（1） ， ， ， ，得 ， ， ， ，得 ， （2） ， ， ，又 ，故由 得 或 18. 如图，飞镖的标靶呈圆盘形，圆盘被 10 等分，按如图所示染色为、三部分，某人依次将若干支飞镖投向标靶，如果每次投射都是相互独立的.（1）如果他投向标靶的飞镖恰有 2 支且都击中标靶，同时每支飞
9、镖击中标靶的任意位置都是等可能的，求“第部分被击中 2 次或第部分被击中 2 次”的概率；（2）如果他投向标靶的飞镖恰有 4 支，且他投射 1 支飞镖，击中标靶的概率为 ，设表示标靶被击中的次数，求的分布列和数学期望.【答案】 （） （）见解析 【解析】试题分析：（1）分别设 表示事件“第 支飞镖，击中第部分”， 表示事件“第 支飞镖，击中第部分”， 表示事件 “第 1 支飞镖，击中第部分” ， 表示事件“第 2 支飞镖，击中第部分” ，再设表示事件“第部分被击中 2 次或第部分被击中 2 次” ，然后根据互斥事件和相互独立事件的概率公式即可求出答案；（2）根据题意知的可能取值为 ， ， ，
10、， ，计算对应的概率，写出随机变量的概率分布，计算数学期望.试题解析：（1）设 表示事件“第 支飞镖，击中第部分”，表示事件“第 支飞镖，击中第部分”，表示事件“第 1 支飞镖，击中第部分” ，表示事件“第 2 支飞镖，击中第部分” ，设 表示事件“第部分被击中 2 次或第部分被击中 2 次”，则有 ， ，由互斥事件和相互独立事件的概率公式有： （）的可能取值为 ， ， ， ， ，依题意知 ， ， ， ， ， ， 的分布列为：故的数学期望为： 19. 如图，在等腰梯形 中， ，上底 ，下底 ，点 为下底 的中点，现将该梯形中的三角形 沿线段 折起，形成四棱锥 .（1）在四棱锥 中，求证： ；（
11、2）若平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （）见解析（） 【解析】试题分析：（1）由 ， ， ，点 为 的中点，得三角形 沿线段 折起后可得四边形 为菱形，边长为 ， ，取 的中点 ，连接 ， ， ，可证 ，即可证 平面 ，从而 平面 ，即可得证 ；（2）以 为坐标原点， 建立空间直角坐标系，由（1）可证 为平面 与平面 所成二面角的平面角，从而求出 ， ， ， ，再求出平面的一个法向量，即可求出直线 与平面 所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：由三角形 沿线段 折起前， ， ， ，点 为 的中点，得三角形 沿线段 折起后，四边形 为菱形， 边长为 ， ，如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，由题得 和 均为正三角形， ， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
