1、2018 届湖南省长望浏宁四县高三 3 月联合调研考试数学文试题时量：120 分钟 总分：150 分一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合 ， ，若 ，则1,24A240Bxm1ABA B C D,301,3,52. 在复平面内，复数 （ 是虚数单位）对应的点位于izA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.公比为 的等比数列 的各项都是正数，且 ，则2na163a102logaA B C D45674.九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直
2、角三角形两直角边长分别为 步和 步，问其内切圆的直径为多815少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A B C D3103203103205. 已知双曲线 C： 的一条渐近线与圆269xy相切，则双2xyab曲线 C 的离心率等于A. B. C. D. 545332436. 若 ，则 的值为46sinxx6sinA B C D2542572577. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A B C D163318. 在等差数列 中，若 ，则此数列的前 项的和等于 na351024a13A B C D8169. 如图，给出的是计算 的值的一4710个程序框图，
3、则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是A ， B ，0i1n3inC ， D ，343410. 函数 （其中 e 为自然对数的底数）()1)xef的图象大致为11. 已知三棱柱 1ABC的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为 3的正三角形若 P为底面 的中心，则 PA与平面 BC所成角的大小为A B C D51234612. 设 满足 ，且在 上是增函数，且 ，若函数fx-=ffx1,1f对所有 ，当 时都成立，则 的取值范围是2ta,atA B 或 或1t 2tt0tC 或 或 D2tt0tt二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13.已知两个
4、不相等的平面向量 且 ，则 .(2,1)(,).abx2)()abx14. 若 、 满足约束条件 ，则 的最小值为 .xy2041xy2zxy15.已知抛物线 的焦点为 ，准线 ，点 在抛物线 上，2:(0)CpxF3:lMC点 在左准线 上，若 ，且直线 的斜率 ，则 的面积为 .AlMAlAkAF16.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为 3 的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共 60 分17. （本
5、小题满分 12 分）在 中， 分别为角 的对边，已知 的面积为 ，ABC,abc,ABC7,2cABC32又 。tant3(tn1)（）求角 的大小；（）求 的值。b18. （本小题满分 12 分）如图，多面体 中， , 平面 ，ABCDEF/,BCADF,/ABCFDE且 .22（）若 为线段 中点，求证：M平面 ；/C（）求多面体 的体积.ABCDEF19. （本小题满分 12 分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为 ，其范围为 ，分别有五个级别： 畅通； 基本畅通； 轻度拥堵； 中度拥堵；0,10)严重拥堵晚高峰时段 ，从某市交通指挥中心选取了市区 个交通路段
6、，依据其交通拥堵指数20数据绘制的直方图如图所示（）求出轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵路段各有多少个；（）用分层抽样的方法从交通指数在 ， ， 的路段中共抽取 个路段，4,6) 6,8) 8,10) 6求依次抽取的三个级别路段的个数；（）从（）中抽取的 个路段中任取 个，求至少 个路段为轻度拥堵的概率62120.（本小题满分 12 分）已知椭圆 E: 经过点 ，且离心率为 21(0)xyab(2,1)P32（）求椭圆的标准方程；（）设 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点 、 满足 ，直线 、OMNOPM分别交椭圆于 、 探求直线 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐PNABA标，如果不经过定点，请
7、说明理由21. （本小题满分 12 分）已知函数 .eln1xfm（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1yf1f，（）当 时，证明： .x(二)选考题：共 10 分，考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22. （本小题满分 10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）xoyCsincoxy（）求曲线 的普通方程；C（）在以 为极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 方程为x l，已知直线 与曲线 相交于 、 两点，求 12sin()042lCABA选修 4-5：不等式选讲23 （本小题满分 10 分）设
8、 ()|,.fxaR（）当 5，解不等式 3)(xf；（）当 1时，若 ，使得不等式 (1)(2fxfm成立，求实数m的取值范围2018 年长望浏宁高三调研考试数学（文科） 参考答案一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D B D A D B B C A B B二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13. 14. 2 15. 16. 1293163三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分解答应写出文字说明、证
9、明过程或演算步骤）17. 解：（1）因为 ，tant3(tan1)ABAB所以 ,tanttan()31ABB又因为 为 的内角，,C所以 ，所以 。 6 分23A3（）由 ，及 ，得 ，1sin2BCSab3Cab又 ， 22()17cos ,2cccab所以 。 12 分1ab18. 解：（）取 中点 ，连接 CN 和 MN,ADN为梯形 ADEF 的中位线MAF 1 分FA 平面 FAB,MN 平面 FABMN平面 FAB 2 分四边形 ABCN 为矩形CNAB 3 分FA 平面 FAB,CN 平面 FABCN平面 FAB 4 分MN CN=N平面 平面/CMNABFCM 平面 CMN
10、6 分 平面/（）8 分10 分12 分19. 解：（） 由直方图可知：， ， (0.1+0.2)120=6 (0.25+0.2)120=9 (0.1+0.05)120=3所以这 个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为个， 个， 个 3 分6 9 3（） 由（1）知拥堵路段共有 个，按分层抽样从 个路段中选出 6+9+3=18 6个，每种情况： ， ， ，6186=2 6183=1即这三个级别路段中分别抽取的个数为 ， ， 个 6 分2 3 1（） 记（）中选取的 个轻度拥堵路段为 ， ，2 1 2选取的 个中度拥堵路段为 ， ， ，选取的 个严重拥堵路段为 ，3 1 2 3 1 则
11、从 个路段选取 个路段的可能情况如下：6 2， ， ， ， ， ， ，(1,2) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)， ， ， ， ， ， ， 共 种可能，(2,3) (2,) (1,2) (1,3) (1,) (2,3) (2,) (3,)其中至少有 个轻度拥堵的有： ， ， ， ， ，1 (1,2) (1,1) (1,2) (1,3) (1,)， ， ， 共 种可能(2,1) (2,2) (2,3) (2,) 9所以所选 个路段中至少 个路段为轻度拥堵的概率为 12 分2 1915=3520. 解：（）由椭圆的离心率 e= ，则 a2=4b2， 2 分32abc将
12、P（2，1）代入椭圆 ，则 ，142byx12解得： b2=2，则 a2=8， 4 分椭圆的方程为： ； 5 分182yx（）当 M， N 分别是短轴的端点时，显然直线 AB 为 y 轴，所以若直线过定点，这个定点一点在 y 轴上，当 M， N 不是短轴的端点时，设直线 AB 的方程为 y=kx+t，设 A（ x1， y1） 、 B（ x2， y2） ，由 消去 y 得（1+4 k2） x2+8ktx+4t28=0，则=16（8 k2 t2+2）0， tkxy128x1+x2= ， x1x2= ， 7 分448kt又直线 PA 的方程为 y1= （ x2） ，1即 y1= （ x2） ， 8
13、分21tk因此 M 点坐标为（0， ） ，2)(1tk同理可知： N（0， ） 9 分)(2xt由 ，则 + =0，O)1(1tk2)(xtk化简整理得：（24 k） x1x2（24 k+2t） （ x1+x2）+8 t=0，则（24 k） （24 k+2t） （ ）+8 t=0， 10 分482t 482化简整理得：（2 t+4） k+（ t2+t2）=0， 当且仅当 t=2 时，对任意的 k 都成立，直线 AB 过定点 Q（0，2）. 12 分21. 解：（）当 时， ，1m()eln1xf所以 1 分()exf所以 ， . 2 分()ef所以曲线 在点 处的切线方程为 yx1f， (e)
14、()yx即 . 3 分e（）证法一：当 时， .m()eln1elxxf要证明 ，只需证明 . 4 分()1fxeln20x以下给出三种思路证明 .思路 1：设 ，则 .()lxg1()exg设 ，则 ，exh21()e0xh所以函数 在 上单调递增 6 分()+（ ， ）因为 ， ，12e0g(1)e0g所以函数 在 上有唯一零点 ，且 . 8 分()x+（ ， ） 0x1,2因为 时，所以 ，即 . 9 分0()g01ex0ln当 时， ；当 时， .0,x()0,()0gx所以当 时， 取得最小值 10 分gxgx故 0 01()=eln2gx综上可知，当 时， . 12 分1mfx思路
15、 2：先证明 5 分exR设 ，则 he1xh因为当 时， ，当 时， ，0x0x0hx所以当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增所以 xhxx所以 （当且仅当 时取等号） 7 分e10所以要证明 ， ln2x只需证明 8 分下面证明 设 ，则 ln10xln1px1xpx当 时， ，当 时， ，0p0所以当 时，函数 单调递减，1xx当 时，函数 单调递增所以 p10px所以 （当且仅当 时取等号） 10 分ln10x1x由于取等号的条件不同，所以 el2x综上可知，当 时，1m. 12 分f（若考生先放缩 ，或 、 同时放缩，lnxexln请参考此思路给分！）思路 3：先证明 .l2x因为曲线 与曲线 的图像关于直线 对称，eynyxyx设直线 与曲线 ， 分别交于点 ， ，xt0elAB点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，AByx1d2则 其中 ， 12d1etlnt0t设 ，则 因为 ，所以 eth0thte10th所以 在 上单调递增，则 所以 t,01th12td设 ，则 lngtt01tgt因为当 时， ；当 时， ，01tt0gt所以当 时， 单调递减；tlngtt当 时， 单调递增1tltt所以 所以 gt2ln2td
