1、湖北省恩施州 2017-2018 学年高三第一次教学质量监测考试理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2350Mx， ,1Nm，若 MN，则 m的取值范围是（ ）A 1,3 B 1, C 2,3 D 1,232.已知 ,aRi为虚数单位，复数 z满足 14iai，且 5z，则 a（ ）A2 或 4 B 4 C2 D 3.某城市收集并整理了该市 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最髙气温(单元： )的数据，绘制了如图的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具
2、有较好的线性关系，则根据该折线图,下列结论错误的是（ ）A.最低气温与最高气温为正相关B.10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温 C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在 1 月 D.最低气温低于 0 的月份有 4 个4.已知等差数列 na的前 项和为 nS，公差 70,2dS，且 265a，则 19a（ ）A 1 B 1 C 12 D 145.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何? ”其意思为:“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为 7 尺和 5 尺，高为 8 尺，问它的体积是多少?”若以上
3、的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）A 142平方尺 B 140平方尺 C 138平方尺 D 128平方尺6.定义 x表示不超过 x的最大整数， x，例如 2,1,0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的 5.8，则输出的 z（ ）A 1.4 B 2.6 C 2.8 D 4.67.已知函数 sin0,fx的最小正周期为 ，且其图象向右平移 23个单位后得到函数 ig的图象，则 （ ）A 29 B 3 C 6 D 498.设 ,xy满足约束条件0,1,yx则 32zxy的最大值为（ ）A 1 B3 C9 D129.函数 241xef的部分图象大致是（ ）A B C D10.某几何体的
4、三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A4 B3 C2 D111.设椭圆 2:10xyEab的一个焦点为 1,0F，点 1,A为椭圆 E内一点，若椭圆 E上存在一点 P，使得 9PF，则椭圆 E的离心率的取值范围是（ ）A 1,2 B ,54 C ,32 D 2,312.已知 0，若对任意的 0,x，不等式 ln0xe恒成立，则 的最小值为（ ）A 12e B e C 2e D第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.在 ABC中， ABC， 2A，则 BC 14.5x的展开式中常数项为 15.在正项等比数列 na中， 26,是 2310x的两个
5、根，则 24261a 16.设 12,F分别是双曲线 2,xyab的左、右焦点，过 1F的直线 l与双曲线分别交于点 ,AB，且 ,8Am在第一象限，若 ABF为等边三角形，则双曲线的实轴长为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc，且 osc3cos2CBa.（1）求 ；（2）若 7,23,bcab，求 ABC的面积.18. 某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请 12 位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字 1到 12 的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一
6、张卡片，取到标有数字 7 到 12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字 1 到 6 的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字 4 到 6 的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2，3 的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字 2，3 的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.（1）求甲获得奖品的概率；（2）设 X为甲参加游戏的轮数，求 X的分布列与数学期望.19. 如图，在三棱台 1ABC中， ,DE分别是 ,ABC的中点
7、， 1BE平面 AC， 1B是等边三角形， 12,90AB.（1）证明： 1/BC平面 1ADE；（2）求二面角 的正弦值.20.设直线 l的方程为 25xmy，该直线交抛物线 2:4Cyx于 ,PQ两个不同的点.（1）若点 5,2A为线段 PQ的中点，求直线 l的方程；（2）证明:以线段 为直径的圆 M恒过点 1,2B.21.函数 2ln1fxmx.（1）当 0时，讨论 f的单调性；（2）若函数 fx有两个极值点 12,x，且 12x，证明: 12ln2xf.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy
8、中，直线 1l的参数方程为 3xtyk（ t为参数)，直线 2l的参数程为3xmyk(m为参数），设直线 1l与 2的交点为 P，当 变化时点 P的轨迹为曲线 1C.（1）求出曲线 C的普通方程；（2）以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2的极坐标方程为 sin42，点 Q为曲线 1的动点，求点 Q到直线 2C的距离的最小值.23.选修 4-5：不等式选讲已知 fxaR.（1）若 23f的解集为 3,1，求 a的值；（2）若对任意 x，不等式 2fx恒成立，求实数 a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BADCC 6-10: DACBD 11、12：BA二、填空题13
9、. 4 14. 10 15. 13 16.21 三、解答题17. 解：（1）因为 cos3cos2bCBa，所以 23aB，即 ，所以 6A.（2）由 22cosba，得 23712a，化简得 50，解得 5a，或 （舍去），所以 13sin22ABCSc.18.解:（1）设甲获得奖品为事件 A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则 613P.（2）随机变量 X的取值可以为 1,2,3,4.12,6314P,2X,6314.的分布列为所以数学期望 11232346EX.19.解:（1）证明：因为 11/,ABAB,D为棱 的中点，所以 11/,ABD,所以四边形 为平行四边形，从
10、而 1/.又 1平面 1E, 1A平面 1DE,所以 /B平面 .因为 D是 C的中位线,所以 /BC,同理可证, /BC平面 1ADE.因为 1,所以平面 1/BC平面 1ADE.又 平面 1,所以 /平面 .（2）以 ,EDC所在直线分别为 x轴， y轴， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz,设 Ba,则 10, ,0,0,() 3()ABaCBa,则 1(),0,3,20()ABaABa.设平面 1的一个法向量 1,mxyz,则 ,m即 11,2yzx取 1z，得 23,.同理，设平面 1BC的一个法向量 ,nxyz，又 10,3,0CBaBCa,由 10,n，得 0,3,ax
11、yz取 z，得 ,1.所以 cos,4mn，即二面角 1ABC的正弦值为 15.20. （1）解:联立方程组 254xmy，消去 x得 2450ym，设 12,PxyQ，则 214,80m.因为 A为线段 的中点，所以 12ym，解得 1，所以直线 l的方程为 30x.（2）证明：因为 212125410xmym，2121 546yx，所以 1212BPQxy ，即 2 124y，所以 25408040mm ，因此 BPQ，即以线段 P为直径的圆恒过点 1,2B。21 解: fx的定义域是 1,， 2xf.（1）令 2gxm，这是开口向上，以 为对称轴的拋物线.当 x时，当 102，即 12时
12、， 0gx，即 0fx在 1,上恒成立.当 0m时，由 20gxx得 12mx， 212mx。因为 1，所以 1，当 12x时， 0gx，即 0fx，当 1x或 2x时， 0g，即 0fx.综上，当 0m时， f在 1212,m上递减，在 12,和 ,2上递增；当 2时， fx在 1,上递增.（2）若函数 fx有两个极值点 12,x，且 12x，则必有 102m，且 0，且 fx在 1,上递减，在 1,x和 2,上递增，则 20fxf. 因为 2,是 0x的两根，所以12xm，即 1212,xm.要证 21ln2fxx成立，只需证2122l4lnfmx2241lnlxxx2，即证 22241l
13、n1ln0xxx对 210x恒成立.设 ，则 4412lnlxxe，当 0时， 0,l1,ln0x，故 0x，故 x在 ,2上递增，故 114ln2ln02.所以 2224ln1lxxx对 2x恒成立，故 21lf.22.解：（1）将 2,l的参数方程转化为普通方程1:3lykx，2:l，消 k可得：213xy，因为 0，所以 0，所以 1C的普通方程为 2103xy.（2）直线 2C的直角坐标方程为 80xy.由（1）知曲线 1与直线 2无公共点，由于 1的参数方程为 3cosinxy( 为参数， ,kZ)，所以曲线 1C上的点 s,Q到直线 80xy的距离为2in3cosin83d，所以当 sin13时， d的最小值为 32. 23.解：（1） 2fx 即 xa，平方整理得，2390xa，所以 ,1是方程 223190xax的两根，所以 2493a，解得 0.（2） 2fxaxa，因为对任意 R， f恒成立，所以 2a当 0a时， 2a，解得 04a；当 时， ，此时满足条件的 不存在，综上可得，实数 的取值范围是 ,.
