1、南阳一中 2018 届高三第十二次考试理数试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 利用分式不等式的解法化简集合 或 ，根据指数函数的性质化简,所以 ，故选 B.2. 复数满足 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】复数满足 ,所以 , ,故选 B.3. 已知等差数列 ,前 项和为 , ,则 ( )A. 140 B. 280 C. 168 D. 56【答案】A【解析】由等差数列的性质得， ， 其前 项之和为
2、，故选 A.4. 已知 的终边上有一点 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 的终边上有一点 ,所以 ，故选 D.5. 设有下面四个命题：“若 ，则与 的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题若 ,则“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件命题“ 中，若 ，则 ”的逆命题为真命题其中正确命题的个数是( )A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】B6. 设函数 若 ,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 因为函数 若 ,所以 或 ，解得 或，即实数的取值范围是 故选 C.7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A. B. C
3、. D. 2【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，四棱锥 ABCDE，其中 AE平面 BCDE，底面 BCDE 为正方形，则 AD=AB=2 ，AC= 该四棱锥的最长棱的长度为 故选： 8. 已知变量 满足约束条件 若 的最大值为 2，则实数 等于( )A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】C考点：线性规划视频9. 执行如图所示的程序框图，输出的 为( )A. 3 B. C. D. -2【答案】C【解析】第一次循环 ；第二次循环 ；第三次循环 ；第四次循环 ；第五次循环 ，可知此循环是以 为周期，反复循环，由，可知第 次循环， ，此时不满足条件，结束循环， 输出的为 ，故选
4、C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10. 已知双曲线 的右焦点为 ,右顶点为 ，过 作 的垂线与双曲线交于 分别作 的垂线，两垂线交于点 ，若 到直线 的距离小于 ，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A. B.
5、C. D. 【答案】B【解析】 ，由双曲线的对称性知 在 轴上，设 ，由 ，得 ，则，又 到直线 的距离小于 ，则 ，解得 ，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ，故选 B.11. 已知平面 截球 的球面得圆 ，过圆心 的平面 与 的夹角为 ，且平面 截球 的球面得圆 ，已知球的半径为 5，圆 的面积为 ，则圆 的半径为( )A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B【解析】如图，因为球 的半径为 ，圆 的面积为 ，所以 ，因为过圆心 的平面 与 的夹角为 ，所以 与 成的锐角为 ， ，又，即圆 的半径为 ，故选 B.12. 已知只有 50 项的数列 满足下列三个条件： ; ；.对所有满足上述条
6、件的数列 共有 个不同的值，则 ( )A. 10 B. 11 C. 6 D. 7【答案】C【解析】设 中有项取值 ，由条件知，取值 的项数为 ，取值 的项数为 ，再由条件得 ，解得 ，又若为偶数，则 为偶数，因为，所以必为奇数，故 ，它们对应 个不同的值， 共有 个不同的值，故选 C.【方法点睛】本题主要考查数列求和以及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为
7、我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，将 的不同值的个数，转化为 中 的个数问题是解题的关键.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若向区域 内投点，则该点落在由直线 与曲线 围成区域内的概率为_【答案】【解析】区域 是正方形，面积为 ，根据定积分定理可得直线 与曲线围成区域的面积为 ，根据几何概型概率公式，可得该点落在由直线 与曲线 围成区域内的概率为 ，故答案为 .14. 的展开式中 的系数是_ （用数字作答）【答案】-120【解析】令 展开式中，当 时，当 时，代入，得到 的系数是15. 已
8、知 为圆 的直径，点 为直线 上任意一点，则 的最小值为_【答案】6【解析】由圆 可得，圆的半径为 ， ，圆心 到直线 的距离， 的最小值为 ，故答案为 .16. 在锐角 中， 分别为角 所对的边，满足 ,且 的面积 ,则的取值范围是_【答案】【解析】由 ，结合正弦定理可得 ， 是锐角三角形， ，即， ， ， ， ，故答案为 .【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余
9、弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 为单调递增数列， 为其前 项和，()求 的通项公式；()若 为数列 的前 项和，证明： .【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）由 得 ，所以 ,整理得 ,所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，可得 ；（2）结合（1）可得，利用裂项相消法求得 的前 项和，利用放缩法可得结论.试题解析：（）当 时， ,所以 ，即 ,又 为单调递增数列，所以 .由 得 ，所以 ,整理得 ,所以 .所以 ，
10、即 ,所以 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以 .()所以.【方法点晴】本题主要考查数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 如图，在直角梯形 中， .直角梯形 通过直角梯形 以直线 为轴旋转得到，且使得平面 平面 .()求证：平面 平面 ；()延长 至点 ，使 为平面 内的动点，若直线 与平面 所成的角为 ，且，求点
11、到点 的距离的最小值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）由于直角梯形 通过直角梯形 以直线 为轴旋转得到， ,利用面面垂直的性质可得 平面 ，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由( )可知两两垂直.分别以 为 轴、 轴、轴建立空间直角坐标系， 的坐标为 ，求得，利用向量垂直数量积为零求出平面 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得 ，进而可得 ，进而可得结果.试题解析：() 直角梯形 中， ，直角梯形 通过直角梯形 以直线 为轴旋转得到， ,又平面 平面 ， 平面 ， 平面 平面.()由()可知 两两垂直.分别以 为 轴、 轴、轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知 ,
12、所以，设 是平面 的法向量，则 ，即 ，取 ，得 .设 的坐标为 ，则 ,由 ,得 , , ,所以，当 时， , 点 到点 的距离的最小值为 .19. 随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司 的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.()由折线图得，可用线性回归模型拟合月度市场占有率 与月份代码 之间的关系.求 关于 的线性回归方程，并预测 公司 2017 年 5 月份（即 时）的市场占有率；()为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为 1000 元/辆和 1200 元/辆的 两款车型
13、可供选择，按规定每辆单车最多使用 4 年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不形同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各 100 辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表见上表.经测算，平均每辆单车每年可以带来收入 500 元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？（参考公式：回归直线方程为 ，其中 ）【答案】(1) 线性回归方程为 ， 公司 2017 年 5 月份的市场占有率预计为 23% (2) 应该采购
14、款单车【解析】试题分析：（1）根据折线图及平均数公式可求出 与 的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式 中所需数据，求出 ，再结合样本中心点的性质可得 ，进而可得 关于的回归方程，将 代入回归方程即可得结果；（2）根据表格中的数据， 算出每辆 款车可使用 年的概率，从而可得每辆 款车可产生的利润期望值，同理可得每辆 款车可产生的利润期望值，比较两期望值的大小即可得出结论.试题解析：()计算可得 ,. 月度市场占有率 与月份序号 之间的线性回归方程为 .当 时， .故 公司 2017 年 5 月份的市场占有率预计为 23%.()由频率估计概率，每辆 款车可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率分别为 0.2、0.35、0.35 和 0.1，每辆 款车可产生的利润期望值为（元）.频率估计概率，每辆 款车可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率分别为 0.1、0.3、0.4 和 0.2，每辆 款车可产生的利润期望值为：（元） ，应该采购 款单车.【方法点晴】本题主要考查折线图的应用与线性回归方程，以及离散型随机变量的分布列与期望，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算
