1、河北定州中学 2017-2018 学年第二学期高三数学开学考试一、单选题1. 已知函数 ， 的图像在点 处的切线 与 轴交于点 ，过点 与 轴垂直的直线 与 轴交于点，则线段 中点 的纵坐标的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设点 ， ， ， ，切线 的方程为 ，令 ，得 ，故 ，又点 ，线段 中点 的纵坐标 ，设 ，则 ，故当 时， 单调递增；当 时， 单调递减 选 D2. 已知三棱柱 的各条棱长相等，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图，过 作 的平行线交 的延长线于 ，连 则 即为异面直线 与 所成的角（或其补角
2、） 设 ，则 在 中，由余弦定理得 ，异面直线 与 所成角的余弦值为 选 A点睛：求异面直线所成角的方法作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；证：证明作出的角为所求角；求：把这个平面角置于一个三角形中，往往通过解三角形求空间角注意：异面直线所成角的范围为 ，因此若解三角形求得余弦值为正，则即为所求的异面直线所成角的余弦值；若为负，则要转化为正值3. 若函数 图像上存在两个点 ， 关于原点对称，则对称点 为函数 的“孪生点对” ，且点对 与 可看作同一个“孪生点对”.若函数 恰好有两个“孪生点对” ，则实数的值
3、为（ ）A. 0 B. 2 C. 4 D. 6【答案】A【解析】当 时， ，故函数在区间 上递减，在 上递增.故在 处取得极小值.根据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当 时，函数图像与 的图像有两个交点，即 .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的图像与性质，考查新定义问题的处理方法，考查函数图像关于原点对称点的处理策略.要分段函数两段图像有关于原点的对称点，一般可以将较简单的一段，关于原点对称的表达式求解出来，如本题中的 ，关于原点对称即为 .4. 已知 且 ，若当 时，不等式 恒成立，则的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】原式等价于 ，两边取自然对数得
4、，令 ，则 时， 因为 当 时，即 时， 单调递增，当 时， 与 矛盾；当 时，即时，令 ，解得 ， 单调递增， 时， 单调递减，若 ，即 ，当 时， 单调递增， ，矛盾；若 ，即 ，当 时， 递减， ，成立，综上， ，最小值为，故选 A.5. 已知 中， ， ， 成等比数列，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知可知 ，即 ， ，即 ，原式等于 ，设 即原式等于 ，函数是增函数，当 时，函数等于 0，当 时，函数等于 ,所以原式的取值范围是 ，故选 B.【点睛】本题有两个难点，一个是根据正弦定理转化为 ，再利用余弦定理求角 的取值范围，二是将转化为 的函数，最
5、后利用函数的单调性求解，本题考查的三角函数的知识点非常全面，而且运用转化与化归的思想，属于难题了.6. 将函数 的图像向左平移 个单位，再向下平移 1 个单位，得到 的图像，若，且 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 的图象向左平移 个单位，可得 的图象，再向下平移 1 个单位，得到 的图象，若 ，且 ，则 ，则，即 ， ，得 ，当时， 取最大值 ，故选 A.7. 已知命题 p：椭圆 25x29y 2225 与双曲线 x23y 212 有相同的焦点；命题 q：函数 的最小值为 ，下列命题为真命题的是( )A. pq B. ( )q C. (pq) D. p(
6、q)【答案】B【解析】p 中椭圆为 1，双曲线为 1 ，焦点坐标分别为(0 ，4)和(4， 0)，故 p 为假命题；q 中 f(x) ，设 t 2(当且仅当 x0 时， 等号成立) ，则 f(t)t 在区间2，) 上单调递增 ，故 f(x)min ，故 q 为真命题所以( p)q 为真命题，故选 B.8. 已知不等式 (ax3)e x x0 有且只有一个正整数解，则实数 a 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】当 时，1、2 都是不等式 的解，不符合题意；当 时， 化为，设 ，则 ，所以函数 f(x)在 上是增函数，在 上是减函数， 所以当 x1时，函数 f(x)取得最
7、大值，因为不等式 有且只有一个正整数解，则 解得.故选 A.9. 已知直线 l 过抛物线 C： y24 x 的焦点， l 与 C 交于 A， B 两点，过点 A， B 分别作 C 的切线，交于点P，则点 P 的轨迹方程为( )A. x1 B. x2 C. y24( x1) D. y24( x2)【答案】A. . . . . .联立 ，得 ，由 ，得 ，即 ，即点 的轨迹为 .故选A.10. 已知函数 ，其中为自然对数的底数，若 有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】画出 与 的大致图象，如图，先求 时， 与 相切时的 a 值：设切点为 ，则 ,解得：，
8、，把 ，得 ;再求 时， 与 有唯一公共点 ，且在此点有公切线时的 a 值：，解得： ，而显然 是增函数，故 是唯一的解，此时 ，把 ，得 ，函数 的图象是由 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 a 个单位（或向下平移-a 个单位） ，由图象可知： 时， 仅在 上与 有两个公共点；把 代入 得 ，可知 时， 与 在区间 和 内各有一个交点综上，实数的取值范围是故选：C点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，
9、在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解11. 抛物线 的准线交 轴于点 ，过点 的直线交抛物线于 两点， 为抛物线的焦点，若，则直线 的斜率 为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】易知直线 的斜率存在，且不为零.设 ，即 ，带入 ，得由 得： ，设 ， ，由韦达定理得，由题知 ，得 ， ,把 ，带入整理，得故选：D12. 如图为正方体 ，动点 从 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到 ，运动过程种，点 与平面 的距离保持不变，运动的路程 与 之间满足函数关系 ，则此函数图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】取线段 中点为 N
10、，计算得： .同理，当 N 为线段 AC 或 C 的中点时，计算得 .符合 C 项的图象特征.故选：C二、填空题13. 已知函数 .若函数 有 个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】设 ，令 方程一定有一根， ，（1）若 ，即 时， 有两根，有两根， （舍去）， ， 有两根，函数 有 个零点， 合题意，可验证 ，方程有 个根，不合题意；当 ，即 时， 无解，只需有两个大于 的正根即可， 只需 ，解得，综上所述，实数的取值范围是 ，故答案为 .【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和性质、复合函数的性质、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重
11、要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.14. 已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，以 为圆心的圆与线段相交于点 ，且被直线 截得的弦长为 ，若 ，则 _【答案】1【解析】由题意， 在抛物线上，则 ，则 ， 由抛物线的性质可知， ，则 ， 被直线 截得的弦长为 ，则 ，由，在 中， ，即 ，代入整理得， 由，解得 ， ，故答案为 .15. 已知 是双曲线 的
12、左，右焦点，点 在双曲线的右支上，如果 ，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是_【答案】【解析】由双曲线的定义及题意可得 ，解得 又 ，所以 ，整理得 ， ， ， 又 ， ，故 双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是 答案：点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：先判断函数的单调性，然后利用函数的单调性求解；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从
13、而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围16. 在 中，角 的对边分别为 ，且满足条件 ， ，则的周长为_【答案】3【解析】 中，即又 ，即 ， ，则解得 ，代入 解得的周长为点睛：本题考查的是正弦定理和余弦定理，诱导公式及两角和的余弦公式，属于难题。以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理，余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是今年高考考查的一类热点问题，综合性较强，解答这类问题，两角和与差的正余弦公式，诱导公式及二倍角公式一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心。三、解答题17. 已知函数 ， .（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；（2）当 时，令函数 ，若函数 在区间 上有两个零点，求实数 的取值范围.【答案】 （1）切线方程为 ；（2）实数 的取值范围是 .【解析】 【试题分析】 （1）当 时，求出切点和斜率，利用直线方程点斜式可求得切线方程 .（2）先化简得到 .利用导数求得其最小值为 ，由此得到 在区间 上有两个零点的条件是，解这个不等式求得 的范围.【试题解析】（1）当 时， .当 时， ，所以点 为 ，又 ，因此 .因此所求切线方程为 .（2）当 时， ，则 .因为 ，所以当 时， ，
