1、2018 届河北省定州中学（高补班）下学期开学考试数学试题一、单选题1抛物线 2:Cypx的准线交 轴于点 M，过点 的直线交抛物线于 NQ、 两点， F为抛物线的焦点，若 90NFQ，则直线 N的斜率 (0)k为（ ）A. 2 B. C. 12 D. 2如图为正方体 1ABCD，动点 M从 1B点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到 1，运动过程种，点 与平面 1AC的距离保持不变，运动的路程 x与 1lMACD之间满足函数关系 lfx，则此函数图象大致是（ ）A. B. C. D. 3对 *nN，设 nx是关于 的方程 320nx的实数根， 1nnax， 2,3 （符号x表示
2、不超过 的最大整数）.则 187a （ ）A. 1010 B. 1012 C. 2018 D. 20204定义在 R上的奇函数 fx满足：当 0时， 2fxfxf（其中 fx为 f的导函数）.则 fx在 上零点的个数为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 15已知 0，顺次连接函数 sinyx与 cosyx的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（ ）A. B. 62 C. 43 D. 6已知 201720168fxxx ，下列程序框图设计的是求 0fx的值，在“”中应填的执行语句是（ ）A. 2018ni B. 2017ni C. 2018ni D. 2017ni7已知 42xaxa
3、 34xax，则 2a（ ）A. 18 B. 24 C. 36 D. 568设曲线 xfe（ 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 1l，总存在曲线32cosgxa上某点处的切线 2l，使得 12l，则实数 a的取值范围是（ ）A. 1, B. , C. ,3 D. ,39设双曲线2:1(0,)xyCab的左、右焦点分别为 12,F， 12c，过 2F作 x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 A，已知 3,2aQc， 2A，点 P是双曲线 C右支上的动点，且1123|PFQ恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. 0, B. 7,6 C. 10,2 D. 10,210已知关于 x的不等
4、式 cosmx在 ,上恒成立，则实数 m的取值范围为（ ）A. 3, B. 3, C. 2, D. 2,11已知双曲线2:(0,)xyCab的右支与抛物线 24xy交于 ,AB两点， F是抛物线的焦点，O是坐标原点，且 4AFBO，则双曲线的离心率为（ ）A. 62 B. 3 C. 2 D. 312定义：如果函数 yfx在区间 ,ab上存在 12,x 12()axb，满足 1fbafx，2fbafx，则称函数 yf是在区间 ,上的一个双中值函数，已知函数3265f是区间 0,t上的双中值函数，则实数 t的取值范围是 （ ）A. , B. , C. 23,5 D. 61,5二、填空题13已知函数
5、 fx满足 2ffx，且当 1,2时 lnfx.若在区间 14， 内，函数2gxa有三个不同零点，则 a的范围为_ 14如图所示，平面四边形 ABCD的对角线交点位于四边形的内部， 1AB， 2C， ACD， ，当 变化时，对角线 BD的最大值为_ 15三棱锥 SABC的各顶点都在同一球面上，若 3AB， 5C， 7B，侧面 SAB为正三角形，且与底面 垂直，则此球的表面积等于_ 16奇函数 fx是 R上单调函数， 31gxfafx有唯一零点，则 a的取值集合为_三、解答题17已知点 31,2P在椭圆2:1(0)xyCab上， 2F为椭圆 C的右焦点， 12,A分别为椭圆C的左，右两个顶点.若
6、过点 4,0B且斜率不为 0 的直线 l与椭圆 C交于 ,MN两点，且线段12,MA的斜率之积为 3.（1 ）求椭圆 的方程；（2 ）已知直线 1与 2AN相交于点 G，证明： 2,PF三点共线.18已知函数 2lnfxmxR.(1)若函数 在 0,上是减函数，求实数 的取值范围；(2)若函数 fx在 上存在两个极值点 12,x，且 12x，证明： 12lnx.参考答案DCADB ADDBC 11 A12 A13 ( ln21)84e，14 315 0516 |4 a或17 （ 1）213xy；（2）见解析（1）点 ,P在椭圆2:1xyCab，294ab设 1,Mxy，由线段 12,AM的斜率
7、之积为 34得，211xaxa122xbba，234b，由解得， 2a， 3b.所以椭圆 C的方程为214xy.（2）由（1）可得 2PF轴，要证 2,GPF三点共线，只需证 2GFx轴，即证 1G.由2 43ykx消去 y 整理得 222346410kxk，直线 l与椭圆 C交于 ,MN两点， 22 2=()46140kkk 设 1,Mxy， 2,Nxy，则 12234k， 21643k（*） ，因为直线 11:AMylx， 22:ANylx，即证： 213x，即证 24k 214kx.即证 121060x.将（*）代入上式可得223160344kk，整理得 2221600k.此式明显成立，
8、故原命题得证.所以 2,GPF三点共线.18 (1) 1me；(2)证明见解析.(1)由函数 fx在 0,上是减函数，知 0fx恒成立，2lnlnf fxm.由 0fx恒成立可知 l0恒成立，则 maxln，设 ln，则 21nx，由 0,xe， 0e知，函数 在 上递增，在 ,上递减， max1e， 1me.(2)由(1)知 lnfxm.由函数 f在 0,上存在两个极值点 12,x，且 12x，知 120 lnxm，则 12lnxm且 12lnx，联立得 1212lnlnxx，即11221212 lnlnlnxx，设 120,xt，则 12lln1ttx，要证 1ln，只需证 l2tt，只需证 2ln1t，只需证 21ln0t.构造函数 1lntgt，则 224 1tgtt.故 2l1tt在 0,t上递增， 0tg，即 21ln0tgt，所以 12lnx.
