1、2018 届江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校高三上学期第一次学情监测数学试题一、填空题1已知全集 ，集合 ，则 =_1,02U1,0AUA【答案】【解析】由补集的定义可知： = .U22设复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 为_z3iiz【答案】2【解析】由题意可得： ，iz则： .321iiz3设向量 ，若 ，则实数 的值为_2,6,abm/abm【答案】3【解析】由向量平行的充要条件可得： ，求解关于实数 的方程可261得： .m4直线 为双曲线 的一条渐近线，则 的值为30xy20yxbb_【答案】【解析】由双曲线方程可得双曲线的渐近线满足： ，20yxb整理可得： ，即
2、： ，ybx0y则双曲线的一条渐近线为： ，x结合题意可得： .35 “ ”是“直线 与直线 垂直”的1a2120axy130axy_条件（从“充分不必要” ， “必要不充分” ， “充要” ， “既不充分又不必要”中选取一个填入）.【答案】充分不必要【解析】若两条直线垂直，则 ，解得： 或 ，2130aa0a15所以“ ” 是“直线 与直线 垂直”的15axy13xy充分不必要条件.6已知函数 是定义在 上的周期为 2 的奇函数，当 时， ，fR08xf则 _193f【答案】2【解析】试题分析：由题意 1319()()()823fff【考点】函数的奇偶性与周期性7若圆锥底面半径为 2，高为
3、，则其侧面积为_5【答案】 6【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长即底面的周长： 24lR扇形的半径为： ,53r据此可得，侧面积为： .16S8设 满足 ，则 的最大值为_,xy0 1xy3y【答案】2【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点 处取得最大值： 1,2A.132点睛：求线性目标函数 z axby( ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大 .9已知 ，且 ，则
4、的值是 _536， 3cos5sin【答案】 410【解析】 ，5,03632， ，结合同角三角函数基本关系有： ，则：24sin1cos3353334152.0sinicosin10设数列 的首项 ，且满足 与 ，则数列na12121nna21na的前 20 项和为_n【答案】2056【解析】考查数列的奇数项，结合递推关系有： ，2121nna且 ，则数列 构成首项为 公比为 的等比数列，12a21na2令： ，13547109,bbba则： ，1231923即： ，50aa而 ，24621351903a 据此可得：数列 的前 20 项和为 .n256点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法
5、，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项11已知 是以 为直径的圆上的两点，且 ,则 的值为,BDAC2,5ABDACB_【答案】21【解析】如图，连接 CD，CB；AC 为直径；CD AD，BCAB；则：2251.ADCCcosDAcosBAB12在平面直角坐标系 中，已知圆 和两点xOy22:161Cxy，且 ，若圆 上存在两个不同的点 ，使得,2,2AaBa,PQ，则实数 的取值范围为_ 90PQa【答
6、案】 1717a【解析】原问题等价于以 为圆心的圆与圆 有两个交点，,ABCAB 中点坐标为 ，以 为圆心的圆的半径 ，0, 221Ra且圆 的圆心为 ，半径为 ，C1,2621R两圆的圆心距为： ，45d结合 可得关于实数 的不等式组：aa，2215 求解关于实数 的不等式组可得实数 的取值范围为 .aa1717a点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法13已知 ，则 的最小值为 _,0,abc225bca【答案】4【解析】由均值不等式的结论有： ，222214455abcacbcabc即 ，当且仅当 时等号成立，22 2,5则 2222
7、 22554abcabcabc综上可得： 的最小值为 4.22cba点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正 各项均为正；二定 积或和为定值；三相等 等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误14已知函数 ，其中 为自然对数的底数，若不等式lnfxeaxbe恒成立，则 的最大值为_0fxb【答案】 1e【解析】由函数的解析式可得： ，1 0fxeax当 时， ，不合题意，舍去，0,xa0fx当 时，由 可得： ，eae当 时， 单调递增，10,xae0,fxf当 时， 单调递减，,ffx则当 时，函数取得最大值，即 ，1xae10fae即： ，1ln0bae整
8、理可得： ，l即 恒成立，ln1ln1,baea则原问题转化为求解 的最大值.lxeg求导可得： ，2lnexxe令 ，lH则 ，令 可得： ，xn1e0Hx1xe当 时， 单调递增，,e,当 时， 单调递减，1,x0,x当 时， 取得最大值： ，eH1Hee且： 时， ， ，x0x20据此可知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，g,e2,e即函数 的最大值为 ，xln12eg综上可得： 的最大值为 .ba二、解答题15已知 的内角 所对的边分别为 ，已知ABC, ,abc.sin3cosaBbAC（1 ）求角 的大小；（2 ）若 的面积为 ，求 .73,4,bac,【答案】 （1） （
9、2） .B 1c【解析】试题分析：(1)由题意结合正弦定理边化角，整理变形可得 ，则 .3tanB(2)由题意结合面积公式有 ，结合余弦定理可得 ,求解方程组有7ac8c.7 1ac试题解析：（1）由已知 ，3asinBbcosAinC结合正弦定理得 ，3iBsi所以 ，siAscisnAcoBsiA即 ，即 ，3nBinotan因为 ，所以 .0,（2）由 ，得 ，即 ，1,23ABCSacsin734ac7ac又 ，得 ，boB22所以 ，又 ， .7 8acac7 116如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 平面 ， PACDPABCD/PAD为锐角三角形，且 .PBAB（1 ）求证： 平
10、面 ；/ADPBC（2 ）平面 平面 .【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可证得 ，利用线面平行的判断定理则有/BCAD平面 ./ADPBC(2)过 作 于 ,由面面垂直的性质定理有 平面 ，则HAPHABCD.结合 ，可证得 平面 ，利用面面垂直的判断定B理有平面 平面 .试题解析：（1）因为 平面 ,/PD而 平面 ，平面 平面 ，BCBCAD所以 ，A又因为 平面 ； 平面 ,P所以 平面/D（2）过 作 于 ,H因为平面 平面 ,且平面 平面 ,所以 平面PBDBCABPHC因为 平面 ，所以 .ACH因为 ，所以 ,而 为锐角三角形，于是点
11、与 不重PA合，即 . 因为 平面 ,所以 平面 因为 平面 ,PBHBBCPB故平面 平面 .CA点睛：证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直” ，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键17园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为 米，圆心角为 (弧度）的扇形观r景水池，其中 为扇形 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.OAB要求总预算费用不超过 24 万元，水池造价为每平米 400 元，步道造价为每米 1000 元.（1 ）当 和
12、 分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；r（2）若要求步道长为 105 米，则可设计出的水池最大面积是多少.【答案】 （1）见解析（2）337.5 平方米【解析】试题分析：（1）步道长为扇形周长 ，利用弧长公式及扇形面积2r公式可得不等式 ，利用基本不等式将不等式2 4140010r转化为关于 的一元不等式，解得 的范围，确定最大值为 400.（2）由条件得SS，消 得 ，由 及215r5r5r，解出 ，根据二次函数最值取法得到当4400210r时， 最大rS37.试题解析：解：（1）由题意，弧长 为 ，扇形面积为 ，ABr21Sr由题意 ，即 ，2 44010210rr250即
13、，2rr所以 ，所以 ， ，则 ，22102tr0t2104tt所以当 时，面积 的最大值为 400.4r21Sr（2）即 ， 代入可得0511052rr或 ，210567rr45又 ，222105105416S r当 与 不符，2rr， 在 上单调，当 时， 最大 平方米，此时 .S45,45rS37.51318如图，已知椭圆 的左顶点 ，且点 在2:10xyEab2,0A,2椭圆上， 分别是椭圆的左、右焦点。过点 作斜率为 的直线交椭圆12F、 k于另一点 ，直线 交椭圆 于点 .EBC（1 ）求椭圆 的标准方程；E（2 ）若 为等腰三角形，求点 的坐标；12CFB（3 ）若 ，求 的值
14、.ABk【答案】 （1） （ 2） （3） 2143xy8,5612k【解析】试题分析：(1)由题意得到关于 的方程组，求解方程组可得椭圆 的标准方程： ,abc E；2143xy(2)由题意可得点 在 轴下方据此分类讨论有： ，联立直线Cx 0,3C的方程与椭圆方程可得 ；B83,5B(3)设直线 的方程 ，联立直线方程与椭圆方程，可得A:2Alykx利用几何关系 计算可得 ，利22861,34kBk1FCAB281,Ck用点 在椭圆上得到关于实数 k 的方程，解方程有： .C 6试题解析：（1）由题意得 ，解得22 194abc23 1abc椭圆 的标准方程： E23xy（2） 为等腰三角形，且 点 在 轴下方12CF0kCx若 ，则 ；10,若 ，则 ， ；122,3若 ，则 ， ；3FC1F0C 0,直线 的方程 ，由 得 或B31yx231 4yx0 3xy85 3xy 8,5B
