1、2018届江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校高三上学期第一次学情监测数学试题（WORD 版）数 学 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 已知全集 ，集合 ，则 1,02U1,0AACU22设复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 为 2zii3z3 设向量 ， ，若 ，则实数 的值为 3(,6)a(,)bm/abm4直线 为双曲线 的一条渐近线，则 b 的值为 0xy21(0)yx 35 是“直线 与直线 垂直”的 条件.（从“充分1“a2()a(1)30axy不必要”， “必要不充分 ”， “充要 ”， “既不充分又不
2、必要”中选取一个填入） 充分不必要6 已知函数 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 时， ，则 的值为 ()fx 0()8xf19()3f-27 若圆锥底面半径为 ，高为 ，则其侧面积为 2568 设 满足 ，则 的最大值为 2,xy0|1xyyx39 已知 ，且 ，则 的值是 )65,3(cos()35sin431010 设数列 的首项 ，且满足 与 ，则数列 的前 20项和为 na12121nna21nana205611 已知 是以 为直径的圆上的两点，且 ， ，则 的值为 21,BDACAB5DACB12 在平面直角坐标系 中，已知圆 ： 和两点 ，且xOy22(1)(6)1xy
3、(,2)(,2)aa，若圆 上存在两个不同的点 ，使得 ，则实数 的取值范围为 1a,PQ90Q +71713 已知 ，则 的最小值为 4,(0,)abc22()5abc14 已知函数 ，其中 e 为自然对数的底数，若不等式 恒成立，则 的ln(e)+fxx ()0fxba最大值为 1二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）已知 的内角 所对的边分别为 ，已知ABC, ,abc.sin3cosaBb（1 ）求角 的大小 ；（2）若 的面积为 ，求 .73,4,b,【解】 （1）由已知 ,sin3
4、cosinaBbA结合正弦定理得 ，i3sC所以 ，sinsicsicosinsABABA即 ，即 ，因为 ，所以 .7 分3oBtan0,3（2 ）由 ，得 ，即 ，1si,23ACSac 734c7ac又 ，得 ，obB22所以 ，又 .14 分7 8ac7, 1ac16 （本小题满分 14 分）如图, 在四棱锥 中, 平面 平面 , 平面 , 为PACDPBACD/BPAB锐角三角形，且 .PBC求证：(1) 平面 ；/AD(2)平面 平面 .17 （本小题满分 14 分）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为 r米，圆心角为 （弧度）的扇形观景水池，其中 O 为扇形 AOB 的圆心，
5、同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道 .要求总预算费用不超过 24 万元，水池造价为每平米 400 元，步道造价为每米 1000 元.（1）当 r和 分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积；（2 ）若要求步道长为 105 米，则可设计出的水池最大面积是多少. 18 （本小题满分 16 分）如图，已知椭圆 的左顶点 ，且点 在椭2:1(0)xyEab(2,0)A3(1,)2圆上， 、 分别是椭圆的左、右焦点。过点 作斜率为 的直线交椭圆 于另一点 ，直线1F2 AkEB交椭圆 于点 .2BEC（1 ）求椭圆 的标准方程；（2 ）若 为等腰三角形，求点 的坐标；12B（3 ）若 ，求
6、 的值 .FAk解：（1）由题意得 ，解得22194abc231ab椭圆 的标准方程： 4 分E2143xy（2 ） 为等腰三角形，且 点 在 轴下方12CF0kCx1若 ，则 ；(0,)2若 ，则 ， ；122(,3)3若 ，则 ，F1F直线 的方程 ，(0,3)CBC(1)yx由 得 或 （不讨论扣 2 分）9 分214yx0385y3(,)5B（3 ）设直线 的方程 ，AB:(2)ABlkx由 得2()14ykx2(34)16102ABkx 2834Bkx11 分21()34ykk2261,k若 则 ， ， 与 不垂直；1=2， B（ ， ） (,-)C,1(-0)F， 134CFk，
7、1AB， ， ，k， (,0)F224BFk1C直线 的方程 ，直线 的方程：22:()1lyx11:(1)CFlyxk由 解得 13 分24()1kyx28ky2(,8)k又点 在椭圆上得 ，即 ，即C22(1)()143k22(41)(90k214k， 16 分0k619 （本小题满分 16 分）已知数列 满足： ；,nab13nna*N（1 ）若 ， ，求 的值；nb230a1a（2 ）设 ， ， ，求证：数列 从第二项起成等比数列；1nn243nb（3 ）若数列 成等差数列，且 ，试判断数列 是否成等差数列？并证明结论.nb125bana解析：（1）当 时，可得 ，又 ，1,23;23
8、0从而可得 ；3 分14a（2 ）由 ， ，可得 ， ，12112=7ba7412ba又因为 ， ，3nnba1n所以 ，即 ， ，6 分112b1243nb*N又 ，所以 ， 且2407b=3n*N所以数列 从第二项起成等比数列；9 分n（3 ）由 可得 ，即 ；1235ba1235a210a由 可得 ， ，nn+nn+23nb又因为数列 成等差数列，从而 ，即 ，b2121+=0nnb从而 ，212321=()()()nnnnaaa即 1+a所以 ，故 ，12132()=0nnaa 21nnaa所以数列 成等差数列.16 分20 （本小题满分 16 分）已知函数 ， ，其中 为自然对数的底
9、数， .exf)( axg2)(eRa（1 ）求证： ；0（2 ）若存在 ，使 ，求 的取值范围；Rx)(00xf（3 ）若对任意的 ， 恒成立，求 的最小值.)1,(gfa解：（1）令 ，得 ，且当 时， ；当 时， ，所以函数0)(exf 1xx0)(xf10)(xf在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 在 处取得最小值.因为 ，)(xf,),()1(f所以 .3 分0（2 ）设 ，题设等价于函数 有零点时的 的取值范围.axeFx2)( )(xFa当 时，由 ， ，所以 有零点.a03)(0)1(ae)(x当 时，02e若 ，由 ，得 ；x)2()(xexF若 ，由（1）知， ，所以
10、 无零点.01a)(F当 时， ，又存在 ， ，所以2ea1)0( 2aex 0)2(1)0axex有零点.)(xF综上， 的取值范围是 或 .9分2ea0（3）由题意， ，因为 ，所以 .xx)1( 112xea设 ，其值域为 ，)(2)(exGA由于 ，所以 .012)( xex 2)(exG又 ，所以 在 上为减函数，所以 ，记区间0)12( exGx )(,eGx1)(，则 .Be,(A设函数 ，mxH,)(一方面， ；01e另一方面， ，1)2()1(2)1(2)( mxexxx x存在 ，125em0420)5memeH所以 ，使 ，即 ，所以 .),(1x)(1xxG)(1AB由
11、，知， ，BA从而 ，即 的最小值为 .16分2ea2e2018届高三“五校联考”试卷数学 （附加题）21 【 选做题 】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系中，已知直线 经过点 ，倾斜角为 ，设 与圆 相交于 两点，求l(1,)P6l24xy,AB点 到 两点的距离之积.P,B【解析】直线 的参数方程为 ，即 ；4 分l1cos,6in,xty31,2(),xty为 参 数将 代入 ，31,2,xty24x得 ，即 ，
12、则 ，22311tt23120tt12t则点 到两 点的距离之积为 2.10分P,ABC选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在极坐标系中，直线 和圆 C 的极坐标方程为 ( )和 .若直线 与圆 Cl cos()6aR4sinl有且只有一个公共点，求 a 的值.【解析】将直线 的极坐标方程化为直角坐标方程得 ； 2 分l 320xy将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程得 .4 分22x()因为直线与圆有且只有一个公共点，所以 ，即 8 分dr=ar|解得 或 . 10 分=3a1【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应
13、写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）如图，在四棱锥 中， 为等边三角形，平面AEFCBA AEF平面 ， ， ， ，/42EFa 60BC， 为 的中点 .O（1 ）求二面角 的正弦值；（2 ）若 平面 ，求 的值.BEACa【解】因为 是等边三角形， 为 的中点，所以 ，AEFOEFAOEF又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，CBACBA所以 平面 ，O又 平面 ，所以 ，BEFE取 的中点 ，连结 ，CG由题设知四边形 是等腰梯形，所以 ，BOGF由 平面 ，又 平面 ，所以 ， 2 分AOEFECBA建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，(,0)
14、a(,3)a(2,),0a(,03)a，2,0BE设平面 的法向量为 ，A(,)nxyz则 即0,nBE30,(2)(2).a令 ，则 ， ，于是 ，1zx1y(3,1)n又平面 的一个法向量为 ，设二面角 为 ，AF0,)pFAEB所以 ， ，5cosnp， 25sin1cos所以二面角的正弦值为 ；6 分25（2 ）因为 平面 ，所以 ，即 ，BEAOCBEC=0O因为 ， ，所以 ，(2,3(),0a(2,3),a 22()3()BECa由 及 ，解得 .10 分04a23 (本小题满分 10 分)已知抛物线 的焦点为 ，直线过点 .24yxF(,0)M（1）若点 到直线的距离为 ，求直
15、线的斜率；F3（2）设 为抛物线上两点，且 不与 轴垂直，若线段 的垂直平分线恰过点 ，求证：线段,ABABxABM中点的横坐标为定值.解：（1）由已知， 不合题意 .设直线的方程为 ，4x (4)ykx由已知，抛物线 的焦点坐标为 ， 1 分C(1,0)因为点 到直线的距离为 ，所以 ， 2分F323解得 ，所以直线的斜率为 . 4分2k2（2）设线段 中点的坐标为 ， ，AB0(,)Nxy),(),(21yxBA因为 不垂直于 轴，则直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， M04A04xy直线 的方程为 ， 5 分004()yx联立方程 002,4,yx消去 得 ， 7 分x2000(1)(4)yx所以 ， 8 分204x因为 为 中点，所以 ，即 ， 9分NAB120y04yx所以 .即线段 中点的横坐标为定值 . 10分0x
