1、江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校 2018 届高三 12 月联考数学试题第卷（共 60 分）一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上）1. 已知集合 ，则 _【答案】【解析】 则故答案为2. 已知命题 ，则 的否定为_【答案】【解析】根据特称命题的否定为全称命题所以命题 ，则 的否定为3. 函数 的定义域为 _【答案】【解析】 函数 的定义域为故答案为4. 函数 的零点在区间 ，则 _【答案】0【解析】 在 上单调递增，且 所以函数 的零点在 之间，所以故答案为 05. 已知 ，若 是 的充分不必要条件，则实数的取值范围是_【答案】【解析】 则 或 ，若 是
2、 的充分不必要条件则 ，所以故答案为6. 数列 为等比数列， 且 成等差数列，则公差 _【答案】3【解析】 成等差数列，所以 设等比数列a n的公比为 q，则故答案为 37. 已知实数 满足 ，则 的最小值为_【答案】【解析】联立 得交点 A ，联立 得交点 B ， 联立 得交点 C即可行域是由 ABC 三点围成的三角形及其内部，令表示点 与 连线的斜率，故最小值为 故答案为8. 经过点 且圆心是直线 与直线 的交点的圆的标准方程为_【答案】【解析】直线 与直线 的交点为 即圆心为 ，因为圆经过点 所以半径为 2，故圆的标准方程为故答案为9. 如图，棱长均为 2 的正四棱锥的体积为_【答案】【
3、解析】在正四棱锥中，顶点 S 在底面上的投影为中心 O，即 底面 ABCD，在底面正方形 ABCD 中，边长为 2，所以 OA= ，在直角三角形 SOA 中 所以 故答案为10. 将函数 的图像向右平移 个单位长度后，所得函数为奇函数，则_【答案】【解析】将函数 的图像向右平移 个单位长度后，所得函数为奇函数，所以 因为 所以故答案为11. 在矩形 中， ，点 为 的中点，点 在边 上，若 ，则 的值为_【答案】2.【解析】以 A 为坐标原点， AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A 设 则 所以故答案为 212. 已知函数 在 上的值域为 ，则实数的取值范围是_【答案】【解析】函数 f（
4、x）=x|x-2|= ， 上递增，在 上递减，在 上递增，且过点，所以当 时， 解得 或 解得 ，又 在 上的值域为 ，所以 故答案为13. 已知函数 ，若 ，则 的最小值为_【答案】【解析】因为函数 在 上单调递增，且为奇函数，又 即所以 ，又 = 又当 时取等号.故答案为 .点睛：本题考查了函数的奇偶性，单调性的应用，考查了基本不等式的应用，把分式进行合理变形是关键.14. 若函数 在 上存在唯一的 满足 , 那么称函数 是 上的“单值函数”.已知函数 是 上的“单值函数” ，当实数取最小值时，函数 在 上恰好有两点零点，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】由题意可知，在区间0，a存在唯
5、一的 x（0xa），满足 f（x）=x3-x2+m，f（x）=3x2-2x，方程 3x2-2x=a2-a 在区间0， a有且只有一个解令 g（x）=3x2-2x-a2+a，（0xa），=0 或 g（0）g（a）0，即为 3a2-3a+1=0 或（a-a 2）（2a2-a）0 即 a或 a1，解得 a1，当实数 a 取最小值 1 时，函数 f（x）在0 ，1上恰有两个零点，即为 x3-x2+m=0，即-m=x 3-x2，令 h（x）=x3-x2，h（x）=3x2-2x，当 0x 时， h（x）递减，当 x1 时，h（x）递增，可得 h（x）的最小值为 h =- , h（0）=0，h（1）=0，则
6、 h（x）的最大值为 0,则- -m0 解得 0m故答案为点睛：本题主要考查了导数的运用：求单调性和极值、最值，考查新定义的理解和运用，考查转化思想和构造函数法，以及二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量 ，若（1）求 的值；（2）若 ，求角 的大小.【答案】 （1） ;（2） .【解析】试题分析：（1）向量 ，若 则 即， 即可求得 的值（2） 且 ，所以 ，又 ，所以 所以 代入各值可得解.试题解析：（1） ， ， ， （显然 ，否则 与 矛盾.） ， ， .（2） 且 ， ，又
7、， . .16. 如图，已知三棱柱 中， 平面 ， ， 分别是棱 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 .【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由 平面 ， 平面 证明 AA1CN，由 ， 是棱 的中点，证得 CNAB，即可证明 CN平面 ABB1A1；（2）设 AB1 的中点为 P，连接 NP、MP，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，从而 ,四边形 是平行四边形，得 ,利用线面平行的判定，可得 CN平面 AMB1试题解析：（1）三棱柱 中， 平面 ， 平面 ， ， ， 是棱 的中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面 .（2）取 的中点 ，连结 . 分别是
8、棱 的中点， 且 ，三棱柱 中， 是棱 的中点，且 ， ，且 ， .四边形 是平行四边形， . 平面 ， 平面 ， 平面 .17. 如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池 及其矩形附属设施 ，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化.其中半圆的圆心为 ，半径为 ，矩形的一边 在直径上，点在圆周上， 在边 上，且 ，设 .（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为 ，求 的表达式 ；（2）当 为何值时，能符合园林局的要求？【答案】 （1）试题解析：（1）由题意， ，且 为等边三角形，所以， ，（2）要符合园林局的要求，只要 最小，由（1 知，令 ，即 ，解得 或 （舍去） ，令当
9、 时， ， 是单调减函数，当 时， ， 是单调增函数，所以当 时，取得最小值.答：当满足 时，符合园林局要求 .18. 已知圆 与 轴负半轴相交于点 ，与 轴正半轴相交于点 .（1）若过点 的直线被圆 截得的弦长为 ，求直线的方程；（2）若在以 为圆心半径为的圆上存在点 ，使得 ( 为坐标原点)，求的取值范围；（3）设 是圆 上的两个动点，点 关于原点的对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，如果直线 与 轴分别交于 和 ，问 是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】 （1）直线的方程为 或 ；（2） ；（3） 为定值 1.【解析】试题分析：（1）由题意分类讨论直线的斜率是否存在
10、，根据垂径定理，弦心距，弦长及半径的勾股关系解得 k 即可求得直线方程；(2) 设点 的坐标为 ，由题得点 的坐标为 ，点 的坐标为由 可得 ，化简可得 又点 在圆 上，所以转化为点 p 轨迹与圆 B 有交点即可得解（3） ，则 ，直线 的方程为，令 ，则 ， 同理可得 利用是圆 上的两个动点即可得定值.试题解析：（1） 若直线的斜率不存在，则的方程为： ，符合题意.若直线的斜率存在，设的方程为： ，即点 到直线的距离直线被圆 截得的弦长为 ， ，此时的方程为：所求直线的方程为 或（2）设点 的坐标为 ，由题得点 的坐标为 ，点 的坐标为由 可得 ，化简可得 点 在圆 上， ， 所求的取值范围
11、是 .（3） ，则直线 的方程为令 ，则 同理可得 为定值 1.19. 已知函数 .（1）若 ，函数 的图像与函数 的图像相切，求的值；（2）若 ， ，函数 满足对任意 ，都有 恒成立，求的取值范围；（3）若 ，函数 ,且 有两个极值点 ，其中 ，求 的最小值.【答案】 （1） ；（2） ；（3） .【解析】试题分析：（1）若 ，函数 的图像与 的图像相切，设切点为 ,则切线方程为 ，所以 解得即可(2)根据 在 递增.不妨设，原不等式 ，即 .设，则原不等式 在 上递减即 在 上恒成立,采用变量分离,求新函数的最值即可得解(3) 函数 , ，由题意知 是 的两根，根据 ，,构造新函数 进行求
12、导即可求最小值.试题解析：（1）若 ，函数 的图像与 的图像相切，设切点为 ,则切线方程为，所以 得 .所以 . （2）当 时， ， ，所以 在 递增.不妨设 ，原不等式 ，即 .设 ，则原不等式 在 上递减即 在 上恒成立.所以 在 上恒成立.设 ，在 上递减，所以 ，所以 ，又 ，所以 .（3）若 ，函数 ，由题意知 是 的两根， ， ，令 ，当 时， ， 在 上单调递减， 的最小值为即 的最小值为 .点睛：本题考查了利用导数几何意义处理切线问题，考查了利用导数解决不等式恒成立问题，变量分离是常用方法，考查了利用导数研究函数极值点问题，利用韦达定理实现变量统一，构造新函数即可得解.20. 已知数列 的满足 ，前 项的和为 ，且 .（1）求 的值；
