1、3.5 离散时间 LTI 系统的响应 1. 迭代法 2. 经典时域分析方法 常用激励信号对应的特解形式 例 2 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件 y0=0, y1=-1, 输入信号 fk=2k uk，求系统的完全响应 yk。 2) 求非齐次方程 yk-5yk-1+6yk-2 =fk 的特解 ypk 经典法不足之处 若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。 二 卷积法 例 3：已知某线性时不变系统的动态方程式为: 系统的初始状态为 y-1=0，
2、 y-2= 1/2，求系统的零输入响应 yxk。 例 4 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为 y-1=0， y-2= 1/2，求系统的零输入响应yxk。 解 系统的特征方程为 例 5 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为 y-1=2， y-2= -1， y-3= 8，求系统的零输入响应 yxk。 2、 系统的零状态响应 定义：当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励 fk产生的响应，用 yf k表示。 求解系统的零状态响应 yf k方法： 1) 直接求解初始状态为零的差分方程。 2) 卷积法： 利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。 卷积法求解系统零状态响应 y
3、f k的思路 1) 将任意信号分解为冲激信号序列的线性组合 2) 求出冲激信号作用在系统上的响应冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，求出冲激信号序列作用在系统上的响应，即系统在任意信号 fk激励下的零状态响应 yfk 。 例 6 若描述某离散系统的差分方程为 * 2. 经典时域分析方法: 求解差分方程 3. 卷积法: 系统完全响应=零输入响应+零状态响应 求解齐次差分方程得到零输入响应 利用卷积和可求出零状态响应 系统响应求解方法: 1. 迭代法 已知 n 个初始条件y-1, y-2, y-2,?,y-n 和输入，由差分方程迭代出系统的输出。 例 1: 一阶线性常系数差分方程 yk-0.
4、5yk-1=uk,y-1=1，用递推法求解差分方程。 解：将差分方程写成： 代入初始条件，可求得 依此类推 缺点：很难得到闭合形式的解。 差分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解 yhk和特解 ypk组成: 齐次解的形式: (1) 特征根是不等实根 r1, r2, ?, rn (2) 特征根是等实根 r1=r2=?=rn (3) 特征根是成对共轭复根 ak (a 不是特征根) ak (a 是特征根) 特征根为 齐次解 yhk 解 (1)求齐次方程yk-5yk-1+6yk-2 = 0 的齐次解 yhk 特征方程为 解得 C1=-1，C2= 1 由输入 f k的形式，设方程的特解为 将特解带入原
5、差分方程即可求得常数 A=-2。 3) 求方程的全解 将初始条件代入： 讨论 1)：若输入信号 fk = sin?0 k uk，求系统的完全响应yk。 讨论 2)：若初始条件 y0=1, y1=1, 求系统的完全响应yk。 系统完全响应 =零输入响应+零状态响应 1. 系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的 初始状态单独作用而产生的输出响应。 数学模型: 求解方法： 根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式， 再由初始条件确定待定系数。 解 系统的特征方程为 特征根为 设系统的零输入响应 yxk为 解得 C1=1，C2=-2 代入初始条件： 特征根为 （两相等实根） 设系统的零输入响应为 解得 C1 =4, C2=4 代入初始条件： 解 系统的特征方程为 系统的特征根为 设系统的零输入响应为 解得 C1=1，C2=0 ，C5=5 由时不变特性 由均匀特性 由叠加特性 已知激励 求系统的零状态响应 yf k。 解：系统的零状态响应为 * 输入信号 特解
