1、1na2n(n3)经 检 验 当 n1 时 也 符 合 该 式 an(n2)222n 3n4 n3n n(n3) a na，n3n 4 2(n1)2(n1)3解析：由已知得 a n+1a nn2，于是有 a na(a na n-1)(a n-1a n-2)( an-2a n-3)( aa)(n1)n( n1)3 a na( n 2)(n1)3(n2)( n1)nn1 (n2) 经检验当 n1 时也符合该式 a nnn1(n1)(n2)( n1)22n4解析：由已知得 a na n-12n，于是有 a na(a na n-1)(a n-1a n-2)( an-2a n-3)( aa)2n2(n1
2、)2( n2)22数列之累加法与累乘法 老师专用1. 累 加 法 设 数 列 an中 ， a2，a n+1a nn2， 则 通 项 an 2. 设 数 列 an中，a3，a na n-12n， 则 通 项 an 3. (2010 辽 宁 卷 T16) 已 知 数 列 an满 足 a33，a n+1a n2n， 则 an 的 最 小 值 为 4. (2011 四 川 卷 T8) 数列a n的 首 项 为 3， bn为 等 差 数 列 且 bna n+1a n (n N*) 若 b 2， b10 12， 则 a8 5. (2015 江 苏 卷 T11)累 加 法 裂 项 相 消 法 设 数 列 a
3、n满 足 a1， 且 an+1a nn1 (nN *)， 则 数 列 1 n为 2 n 21所以 an 的最小值21 53533n 6 2 5 ，当 n6 时 ， an53433n 5 5 ；5 和 6*/当 n5 时， anx2 33，当且仅当 x 33时取得最小值最接近 33的两个整数是x /*若 x0，xR， 由 基 本 不 等 式 可 得 33n1，n n33 a nan( n1) 33n(n1) ，则 an 解析：aa 2，aa 4，a 4a6，a na n-12(n1) ，以 上 各 式 左 右 两 边 分 别 相 加 ， 得 ana2462(n1) n(n1)，b10b解析：设b
4、n的 公 差 为 d， 则 d 103 2， bnb(n3) d2(n4)， 即 an+1a n2(n4) 则 a a 6，aa 4，a 4a2，a na n-12(n5) ， 累加得到 a na(6) (4) (2)2( n5)(n8)(n1)， 故 a n3(n8)( n1)，a 832 n ，满 足 ( 前 10 项 的 和 为 6. 数列a n满 足 a 1， 且 对 任 意 的 m, n N*， 都 有 am+n am an mn， 则 1 1 1 1 a a a a20127. 已 知 数 列 an中 ， ap，aq， 且 an+22a n+1a nd， 求 数 列 an的 通 项
5、 公 式 8. 已知 数列a n中 ，a5，满 足 an(1 1 )an-1，求 数 列 an的 通项 公式 9. 已知 数列a n中 ，a 1 an+1 1 2 )an，求 数 列a n的 通项 公式 3 3 3n11 1110 112 2 310na1 20 1 1 1 1 1 前 10 项 的和 为 S 2(1 )2(1 ) 故数列 1 n n11 2( )，an n(n1)2 1则1 ，2n(n1)n n-1na a ( aa )(aa) ( a a )123n解析： 由 a 1， 且 an+1a nn1 ( nN*) 得，2012 2013 20132 2 3a2012a a an
6、n11 1 4024 12( )， 2(1 ) an n(n1)1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ，22， 故 ana2 (n2)(n 1) n(n1)(n2)(n 1)累 加 得 到 ana234n解析：令 m1，则有 a n+1aa nn，即 a n+1a nn1，所 以 aa 2，aa 3，a 4a4，a na n-1n，d)2n2经 检 验 当 n1 时 也 符 合 该 式 anp( n1)(qp2d)p( n1)(qp d) (n2)2n2n22 a na( n 1)(qpn2(n1)( qp d)，2n2(n1)( qp) (n1) d解析：原式可化为(a n+2a n+1)
7、(a n+1a n)d令 bna n+1a n， 则 bn+1b nd， 所 以 数 列 bn是 以 baa qp 为 首 项 ， 以 d 为 公 差 的 等 差 数 列 b nb( n 1)dqp (n1) d即 a n+1 anqp(n1)d于是有 a na(a na n-1)(a n-1a n-2)( an-2a n-3)( aa)qp( n2) dqp(n3) d qp(n4)d qp0d5 (n1)2nn1 a a 2n n1 n2 24 3 n1n1 n n1 3 2 aaan an-1 an-2a an-1an-2an-3于是有 an，n1 n1 nan-1解析： 原 式 可 化
8、 为 an 1310. 在 数 列 an与b n中 ， a 1， b 4， 数 列 an的 前 n 项 和 Sn 满 足 nSn+1 (n 3)Sn 0， 2an+1 为 bn 与 bn+1 的 等 比 中 项 ， nN* 求 a, b 的值； 求数列a n与b n的通项公式 23n 2(n1)n (n1)n 1 3n(n 1)n2 1 a na 3n-12 1 (n1) n(n1)n3n-1 21 3n-1 1 2 15 4 3 3n1 n2 n3 n4n1 n n1 n2 3(1 )n-1aaan an an-1 an-2 1 n2nn2an 3n 3 ， 于 是 有 a an-1an-2
9、an-3解析：原式可化为 an+1266(n2)(n 1)n (n1) n(n1) (n1)n则 当 n2 时，a nS nS n-1，6 于 是 有 Sn-166 (n1)n(n1)(n2)(n 1)n (n2)(n1)n S nS6321(n2)(n 1)n (n2)(n1)nn1 n2 n3 n46 5 4 n2 n1 n n1 3 2 1S S SSn-1 Sn-2 Sn-3SS SS4 Sn Sn-1 Sn-2于是有 Sn n3nn+1Sn nn+1 S 由 原式 可得 nS (n3)S ，9b(2a) 2a为 b与 b的 等 比 中 项 ， b解析： 令 n1 可得 S4S4， a
10、Sa3/* 令 n2 可 得 2S5S20， S10，a SS6*/ 4综 上 ， 恒 有 bn(n1)(2n1) (2n2)b2n+1(2n1)(2n2) (2n1)(2n2) 再由式可得：b 2n b 2n+1b (n1)(2 n2) (2n1)1 b2n+1(n1) ，得： b以上各式连乘可)2nb2n-16b5b 2 b 4bn n1 2n2b2n+1 8 b7 6b5b 4n3两式相 除得 bn+2( )，于 是有 ( )， ( )， ( )， (由 已 知 bnbn+1(2a n+1)(n1)(n2) ，则 b n+1bn+2 (n2)(n3)，2(n1)n经 检 验 当 n1 时 也 符 合 上 式 ， an
