1、15-7 波函数 薛定谔方程,薛定谔（1887-1961）奥地利物理学家。建立了薛定谔方程，很好的解释了电子的行为，导致波动力学出现（1926年1月）。除波动力学外，当时已建立了海森堡的矩阵力学（当时被称为量子力学），薛定谔证明了这两种理论在数学上是完全等价的。薛定谔由于建立波动力学（现一般称为量子力学）而和狄拉克同获1933年诺贝尔物理学奖。,波函数,1、波函数（wave function）,平面简谐波函数： y = Acos( t-kx),复数表示：,概率波波函数：,2、波函数的统计解释,一维,三维,物质波是“概率波”，,它是怎样描述粒子在空间各处出现的概率呢？,量子力学假定：微观粒子的状
2、态用波函数表示。,玻恩对 的统计解释(1926) ：波函数 是描述粒子在空间概率分布的“概率振幅”。,其模方,代表 t 时刻，在坐标 附近单位体积中发现一个粒子的概率，,称为“概率密度”。,在t 时刻，在 附近dV内发现粒子的概率为：,在空间 发现粒子的概率为：,它无直接的,物理意义，,对单个粒子：,不同于经典波的波函数，,给出粒子概率密度分布；,对大量粒子：,给出粒子数的分布；,3、统计解释对波函数提出的要求,1）有限性：,在空间任何有限体积元V中找到,归一化：,在空间各点的概率总和必须为1。, 归一化因子,归一化条件：,根据波函数的统计解释，它应有以下性质：,若,则,2）单值性：,度在任意
3、时刻、任意位置都是确定的。,3）连续性：,波函数应单值，,从而保证概率密,波函数连续，保证概率密度连续。,波函数作出的统计解释，获得了1954年诺贝,由于进行了量子力学的基本研究，,特别是对,尔物理学奖。,波函数本身“测不到，看不见”，是一个很抽象的概念，但是它的模方给我们展示了粒子在空间分布的图像，即粒子坐标的取值情况。当测量粒子的某一力学量的取值时，只要给定描述粒子状态的波函数，按照量子力学给出的一套方法就可以预言一次测量可能测到哪个值，以及测到这个值的概率是多少。,对波恩的统计诠释是有争论的，爱因斯坦就反对统计诠释。他不相信“上帝玩掷骰子游戏”，认为用波函数对物理实在的描述是不完备的，还
4、有一个我们尚不了解的“隐参数”。虽然至今所有实验都证实统计诠释是正确的，但是这种关于量子力学根本问题的争论不但推动了量子力学的发展，而且还为量子信息论等新兴学科的诞生奠定了基础。,与自由粒子相联系的德布罗意波，是一个单色平面波。,4、自由粒子的波函数,沿+x传播的单色平面波，波函数：,复数形式可写成,微观粒子波函数一般是坐标和时间的复函数，因此采用复数形式的平面波表达式，只要把其中描述波动性的参量、k换成描述粒子性的参量E、p就可以了。,自由粒子：能量和动量都不变的粒子,其中,由德布罗意关系 ，得,自由粒子波函数：,（空间因子）,5、状态叠加原理,量子力学要求：,也是该体系的一个可能的状态。展
5、开系数Cn为任意复常数。,若叠加中各状态间的差异无穷小，,积分代替求和：,则应该用,薛定谔方程,一、自由粒子薛定谔方程,自由粒子波函数（一维）,对波函数的运算、变换或操作。,：算符 代表用 乘波函数,：对波函数取复共轭,：算符 代表对波函数关于 求导,：算符 代表对波函数关于 求导,例如,算符(operator),对于非相对论性自由粒子：,算符对应关系：,作用于波函数，,算符和力学量的对应关系：,一维运动自由粒子的薛定谔方程,设粒子在势场U(x,t)中运动，能量关系为,二、薛定谔方程,算符对应关系：,作用于波函数，得薛定谔方程。,三维：,引入拉普拉斯算符：,薛定谔方程：,是线性齐次微分方程，解
6、满足态叠加原理。,方程中含有虚数 i,它的解 是复函数，复数不能直接测量。而 的模方代表概率密度，可测量。,是量子力学的基本方程，描述非相对论性粒 子波函数随时间演化规律。,三、一维不含时薛定谔方程,除以 ，得,若势函数U(x)不显含时间 t，,代入薛定谔方程，,=E (常数),（1）,（2）,方程（1）的解为：,C 为积分常量,数学上：E 不论取何值，方程都有解。,物理上：E 只有取一些特定值，方程的解才能满足波函数的条件（单值、有限、连续）。,满足方程的特定的E 值，称为能量本征值。,E ：与 E 对应的本征波函数。,结论：定态粒子在空间的概率分布不随时间改变。,定态：,能量取确定值的状态
7、。,E ( x)：定态波函数,一维定态薛定谔方程,。,若粒子处于E，则粒子的能量为E。,15-8 一维定态问题,15-8-1 一维无限深势阱,求解步骤：1.写出具体问题中势函数U(x)的形式，代入一维定态薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。,代入一维定态薛定谔方程：,势函数为,一维有限深势阱,一维无限深势阱,得薛定谔方程：,2.求解波函数,粒子不能逸出势阱,令,方程解：,3.用归一化条件和标准化条件确定积分常数,方程解,边界条件：,边界条件：,得：,A不可能为零,归一化条件：,于是，波函数：,1)由于波函数标准条件和边界条件的约束，E 只取能某些特定值，即无限深势阱中粒子的能量是量子
8、化的。,激发态能级的能量：,4.讨论解的物理意义,基态能级的能量：,最小能量E1不为零,粒子不可能静止不动，满足不确定关系。,能级间隔,能量趋于连续，回到经典情况。,在 n 很大时，能量趋于连续，这就是经典物理的图象。,即本征值,概率密度：,（2）势阱中不同位置粒子出现的概率不相同。,波函数为驻波形式，势阱中不同位置粒子出现的概率不相同,峰值处较大。,两端为波节，,粒子不能逸出势阱。,能级越高，驻波波长越短，峰值增多，,相同，量子经典,归一化条件，曲线下面积相等。,15-8-2 一维势垒 隧道效应,隧道效应： 粒子能量小于势垒而穿透势垒的现象。,一、一维方势垒问题：,势函数,区（x0）薛定谔方
9、程为：,(xa) 区薛定谔方程为：, ( )区薛定谔方程为：（EV0时）,表示粒子在势垒右侧出现的概率密度。,表示粒子在势垒左侧出现的概率密度。,结论：粒子在势垒内部和外部都有出现的可能。,设,透射系数：粒子穿透势垒的概率。,二. 隧道效应,x = a,隧道效应,振幅为2(a) 。,波穿过后， 将以平面波的形式继续前进(3 )，,这称为势垒穿透或隧道效应。,1. 穿透系数,穿透系数会小6个数量级以上。,当 势垒宽度 a 约50nm 以上时，,穿透系数,此时隧道效应在,实际上已没有意义了，,量子概念过渡到了经典。,经典物理：,量子物理：,x = a 很小时，P 很大，使 E也很大 ，,2. 怎样
10、理解粒子通过势垒区?,粒子能量就有不确定量E 。, E +E U0,可以有：,粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。,只要势垒区宽度 x = a 不是无限大，,粒子有波动性，遵从不确定关系，,从能量守恒的角度看是不可能的。,以至,3. 扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy）,STM是一项技术上的重大发明，,原理：利用量子力学的隧道效应,表面的微观结构（不接触、不破坏样品）。,用于观察,扫描隧道显微镜,材料表面碳原子的排列结构,例. 能量为30eV的电子遇到一个高为40eV的势垒，试估算电子穿过势垒的概率。 势垒宽度为1.0nm； 势垒宽度为0.1n
11、m。,解,（1）,（2）,估算时可以忽略G。,几乎就不能穿透势垒！,电子穿透势垒的概率很大，接近于4%。,谐振子不仅是经典物理的重要模型， 而且也是量子物理的重要模型。,如：,黑体辐射、,分子振动，,若选线性谐振子平衡位置为坐标原点和势能,m 粒子的质量 k 谐振子劲度系数,谐振子的角频率,15-8-4 一维谐振子,零点，,则一维线性谐振子的势能可以表示为：,晶格点阵振动。,1.势能,2. 谐振子的定态薛定谔方程,3. 谐振子的能量,n = 0, 1, 2, ,解定态薛定谔方程得,有,能量特点：,(1)量子化，等间距：,符合不确定关系,(3)有选择定则：,(2)有零点能：,所以室温下分子可视为
12、刚性。,能级跃迁要满足,(4) 当n 时，,符合玻尔对应原理。,能量量子化能量连续,（宏观振子能量相应n 1025 ，E 10-33J ）,分子振动,E （10 2 10 1 eV） kT (室温)，,4. 谐振子的波函数,Hn是厄密（Hermite）多项式，,最高阶是,5. 概率密度,波函数,概率密度,线性谐振子 n =11 时的概率密度分布：,经典谐振子在原点速度最大，停留时间短，,振子在两端速度为零，,粒子出现的概率小；,出现的概率最大。,概率密度的特点：,(1) 概率在E U 区仍有分布, 隧道效应,例如基态位置概率分布在 x = 0 处最大，,(3) 当n 时，,经典振子在x = 0处概率最小。,符合玻尔对应原理。,量子概率分布,(2) n小时，概率分布与经典谐振子完全不同, 经典概率分布，,作业：15-13,15-17,15-20,薛定谔方程的讨论,1薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不是从 其他基本原理推导出来的。它的正确性只有通过与 实验结果相一致来得到证明。,2在薛定谔方程的建立中，应用了 ，,所以是非相对论的结果；同时方程不适合一切 m=0 的粒子，这是方程的局限性。,
