1、 1 江苏省 丹阳市2017 届高三 数学下学期期初考 试试题 一、填 空题 ： （本大题共14 小题，每小题5 分，计70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸 的指定位置上） 1. 设 全集UR ，集 合 1,0,1,2,3 A ， | 2 B x x ，则 U A C B 2. 复数 z (a i)(1+i) （aR ，i 为虚 数单 位） 在复平 面内 对应 的点 在实 轴上， 则a 3. 设 向量 ) 3 , 2 ( ), 2 , 1 ( b a ，若 向量 b a 与向 量 ) 7 , 4 ( c 共线， 则实 数 = 4. 某 校为 了解 高三 同学 暑 假期间 学习 情况
2、 ，抽 查 了 100 名同 学， 统计 他们 每 天平均 学习 时间,绘成 频率分 布直 方图 （如 图） 则这 100 名 同学 中学 习时 间在 68 小 时内 的人 数为 5. 如 图是 一个 算法 的流 程 图， 若 输入 的 x 的值为1 ，则 输出的 S 的值 为 第4 题 第 5 题 6. 已知 5 瓶饮 料中 有且 仅 有 2 瓶 是果 汁类 饮料 从 这5 瓶 饮料 中随 机 取2 瓶 ， 则 所取2 瓶 中至 少有 一瓶是 果汁 类饮 料 的概率 为 7. 如 图 ， 在 正 三 棱 柱 1 1 1 C B A ABC 中， D 为棱 1 AA 的 中 点 若 4 1 A
3、A ， 2 AB ， 则 四 棱 锥 D ACC B 1 的体积 为 8. 已知 圆 22 : ( 1) ( 3) 9 C x y 上存在 两点 , PQ 关于 直线 40 x my 对称， 那么 m 9. 设 , 为两 个不 重合 的平 面 ， , mn 为两 条不 重合 的直 线， 给出下 列的 四个 命题 ： （1 ）若 , m n m ，则 / n ； （2 ）若 , nm 与 相交且 不垂 直 ，则 n 与 m 不垂 直 （3）若 , , , , m n n m 则 n （4）若 / , , / , m n n 则 m 其中， 所有 真命 题的 序号 是 第 7 题 A 1B 1C
4、1D A C B 0.04 0.05 0.12 0.14 小 时 频 率/ 组 距 10 8 6 4 2 12 x 2 10. 将25 个数 排成 五行 五 列： 11 12 13 14 15 21 22 23 24 25 31 32 33 34 35 41 42 43 44 45 51 52 53 54 55 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a已知第 一行 成等 差数 列， 而每一 列都 成等 比数 列， 且五个 公比 全相 等. 若 24 4 a , 41 2 a , 43 10 a , 则 11 55 aa 的值 为 11.
5、 已 知函 数 2 ( ) log f x x ，若实 数 , ( ) a b a b 满足 ( ) ( ) f a f b ，则 b a 2017 的范 围 是 12. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ) 2 , 1 ( ), 0 , 0 ( B A 两 点 绕 定 点 P 顺 时 针 方 向 旋 转 角 后 ， 分 别 到 ) 2 , 5 ( ), 4 , 4 ( B A 两点， 则 cos 的值为 13. 2 1 , F F 是椭圆 ) 0 ( 1 2 2 2 2 b a b y a x 的两 个焦 点， P 为椭圆 上一 点， 如果 2 1 F PF 的面 积为3 ， , 3
6、tan , 3 1 tan 1 2 2 1 F PF F PF 则 a 14. 已知 2 1 , , ( ) 21 n nf x f x f x f x f x f f x x 个 则 ) 2 1 ( 10 f = 二、解答题 （ 本大 题共 6 小题， 计 90 分.解 答应 写 出必要 的文 字说 明， 证明 过程或 演算 步骤 ，请 把 答案写 在答 题纸 的指 定区 域内 ） 15 （ 本小 题满 分14 分） 在ABC 中 ，角A，B ，C 的对边 分别 为a ，b ，c 设向量 ( , ) m a c ， (cos ,cos ) n C A （1）若mn ， 3 ca ，求 角A
7、； （2）若 3 sin m n b B ， 4 cos 5 A ，求 cosC 的值 16. （ 本小 题满 分 14 分） 如图所 示， 四棱 锥P-ABCD 的底面 为直 角梯 形， , , 2 . AB AD CD AD CD AB .点E 是PC 的中 点。 （I） 求证 ：BE 平 面PAD ； （II） 已知 平 面PCD 底 面 ABCD，且 PC=DC。在棱PD 上是否 存在 点F ，使CFPA? 请说 明理 由。 C A B D P E 3 17 （ 本小 题满 分15 分） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中，A ，B 分 别 是 椭 圆 G: 2 2
8、 1 4 x y 的左、右 顶 点， 2, , 0 P t t t R 且 为直线 2 x 上的 一个 动点 ，过 点 P 任意 作一 条直 线l 与椭 圆 G 交于 C ，D，直 线 PO 分别 与直 线AC ，AD 交于 E ，F. （1 ） 当 直线 l 恰好 经过 椭 圆 G 的 右焦 点和 上顶 点时 ， 求t 的值 ； （2） 记直 线AC ，AD 的斜 率分别 为 12 , kk. 若 1 t ，求证 ： 12 11 kk 为定值 ； 求证 ：四 边 形AFBE 为 平 行四边 形. 18( 本小 题满 分15 分) 如图所 示， 直立 在地 面上 的两根 钢 管AB 和CD 1
9、0 3 AB m， 33 CD m，现 用钢 丝绳 对这 两根 钢 管进行 加固 ，有 两种 方 法： （1） 如图 （1） 设两 根钢 管相 距 1m ，在 AB 上 取一 点 E，以 C 为支 点将 钢丝 绳拉直 并固 定在 地面 的 F 处 ，形 成一 个直 线型 的加固 （图 中虚 线所 示） 则 BE 多长 时所 用钢 丝绳 最 短？ （2） 如图 （2） 设两 根钢 管相距33 m，在 AB 上取 一 点E，以C 为 支点 将钢 丝绳 拉 直并固 定在 地 面的F 处， 再将 钢丝 绳依 次拉直 固定 在 D 处、B 处和 E 处 ，形 成一 个三 角形 型的加 固（ 图中 虚线
10、所 示） 则BE 多长 时所 用钢 丝绳最 短？ 19. ( 本小 题满 分16 分) A E D C B F A E D C B F 图1 图 2 （第 17 题图 ） x y O P F E D C B A 4 已知数列 n a 满足 1 1 a ， ) 0 ( 2 r r a ，且 1 n n a a 是公比为 ) 0 ( q q 的 等 比 数 列 ， 设 ) ( * 2 1 2 N n a a b n n n ， （1） 求使 ) ( * 3 2 2 1 1 N n a a a a a a n n n n n n 成立 的 q 的取值 范 围； （2） 求数 列 n b 的前 n 项
11、和 n S ； （3） 试证 明： 当 2 q 时，对 任 意正整 数 2 n ， n S 不可 能是 数列 n b 中的某 一项. 20. ( 本小 题满 分16 分) 已知函 数 x x g x x x f ln ) ( , ) ( 2 （1 ）求 函数 ) (x xg y 的单 调区 间； （2 ）若 1 , 2 1 t ，求 ) ( t x xg f y 在 , 1 e x 上的最 小值（ 结果 用t 表示） ； （3）设 ) ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( 2 1 ) ( ) ( 2 x g a x a x x f x h ，若 3 , e a ， ) ( 2 , 1 , 2 1
12、 2 1 x x x x 都有 2 1 2 1 2 1 | ) ( ) ( | x x m x x x h x h 恒成立 ，求 实 数 m 的取 值范 围。 答案 1. 1,0 ，1 2. 1 3. 2 4. 30 5.73 6.7 107. 23 5 8. 1 9. （3）（ 4 ） 10. -11 11. ) , 2018 ( 12. 3 5 13. 10 14. 1 3 1 1024 15. 解： （1 ）mn ， cos cos a A c C 由 正弦定 理， 得 sin cos sin cos A A C C 化简， 得 sin 2 sin 2 AC 2 分 , (0, ) AC
13、 p ，22 AC 或 C A 2 2 ， 从而AC （舍） 或 2 C A 2 B 4 分 在Rt ABC 中， 3 tan 3 a A c ， 6 A 6 分 （2） 3 cos m n b B ， cos cos 3 sin a C c A b B 由正弦 定理 ，得 2 sin cos sin cos 3sin A C C A B ，从 而 2 sin( ) 3sin A C B C B A ， sin( ) sin A C B 从而 1 sin 3 B 8 分 4 cos 0 5 A ， ) , 0 ( A ， 3 sin 5 A 10 分 sin sin AB ，ab ，从而AB
14、，B 为锐 角 ， 22 cos 3 B 12 分 cos cos( ) cos cos sin sin C A B A B A B = 4 2 2 3 1 3 8 2 5 3 5 3 15 14 分 16. 6 17. 解 （1 ）由 题意 ：上 顶 点 0,1 C ，右 焦点 3,0 E ，所 以 : 3 1 l y x ， 令 2 x ，得 23 1 3 t . （2 ） 直线 1 :2 AC y k x 与 2 2 1 4 x y 联立， 得 2 11 22 11 2 8 4 , 1 4 1 4 kk C kk ， 同理得 2 22 22 22 2 8 4 , 1 4 1 4 kk D
15、 kk , 由 , C D P 三点 共线 得 CP DP kk , 即 12 22 12 22 12 22 12 44 1 4 1 4 2 8 2 8 22 1 4 1 4 kk tt kk kk kk ，化 简得 1 2 1 2 4k k t k k ， 1 t 时， 12 11 4 kk （定 值） 要证 四边 形AFBE 为平 行 四边形 ，即 只需 证E ，F 的 中点即 点O ， 由 1 , 2 2 t yx y k x 得 1 1 4 2 E k x tk ，同 理 2 2 4 2 F k x tk ， 将 12 12 4kk t kk 分别 代入 得 12 1 1 2 1 2
16、4 2 E kk k x t k k k ， 12 2 2 1 2 2 4 2 F kk k x t k k k ， 所以 0 EF xx , 0 2 E F E F t y y x x . 即四边 形AFBE 为平 行四 边 形. 18. （1 ） 设钢 丝绳 长为ym ， CFD ，则 33 1 33 1 tan cos sin cos y （其中 0 0 ， 0 tan 7 ） 3 分 22 3 3 cos sin sin cos y 当 tan 3 时， 即 3 4 BE 时， min 8 y 6 分 （2） 设钢 丝绳 长为ym， CFD ，则 3 3 3 3 1 cos sin s
17、in cos y （其中 0 0 ， 0 12 3 3 3 tan 3 33 ） 9 分 7 22 3 3cos 3 3 3 3 sin 1 sin cos cos sin sin cos sin cos y 令 0 y 得 sin cos ，当 4 时，即 3 6 BE 时 min 6 3 2 2 y 12 分 答：按 方法 （1）， 3 4 BE 米时， 钢丝绳 最短 ； 按方法 （2）， 3 6 BE 米时， 钢丝 绳最短. 14 分 19.（1 ）依 题意 得 1 1 n n n q q q ，即 0 1 2 q q ， 2 1 5 0 q . （2） ) 0 ( 2 1 2 1 2
18、1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 q q a a q a a a q a a a a a a a a a a a a a a a b b n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ， 且 0 1 2 1 1 r a a b ， 数列 n b 是以 r 1 为首项 ， q 为公 比的等 比数 列 ， 1 1 , 1 ) 1 )( 1 ( ), 1 ( q q q q r r n S n n . （3） 当 2 q 时， q q r S n n 1 ) 1 )( 1 ( ，
19、) 1 ( ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 )( 1 ( 1 q q q q r q r q q r a S n n n n n n 0 ) 2 ( 1 1 1 q q q r n ， 1 n n a S ， 又 n n a a a S 2 1 ， * , 0 N n a n ， n n a S ， 故 当 2 q 时，对 任意 正整 数 2 n ， n S 不可能 是数 列 n b 中的某 一项. 8 20. 高三数学附加卷（18,13,14 班）2017.2 21 （本 小题 满 分10 分） 设矩阵 12 M xy ， 24 11 N ，若 02 5 13 MN ，求矩 阵M
20、 的特征 值 22 （ 本小题 满 分10 分） 9 在平面 直角 坐标 系 xOy 中 ，已知 直线l 的参 数方 程为 ： 1 22 xt yt (t 为 参数) 以坐 标原 点为 极点，x 轴 正半 轴为 极轴 建立极 坐标 系， 圆 C 的极 坐标方 程 为 2cos 直线l 与圆相 交 于 A，B 两点， 求线 段 AB 的 长 23 （本 小题 满 分10 分） 在某学 校组 织的 一次 蓝球 定 点投 蓝训 练中 ， 规 定每 人最多 投3 次； 在A 处每 投进一 球 得 3 分 ， 在 B 处 每投 进一 球 得 2 分； 如果前 两次 得分 之和 超 过 3 分 即停 止投
21、 篮， 否则 投 三次。 某同 学 在 A 处的 命中率 1 q 为 0.25 ，在 B 处的 命中率 为 2 q .该同 学选 择先 在 A 处投 一球 ，以 后都在 B 处投， 用 表示 该同学 投篮 训练 结束 后所 得的总 分， 其分 布列 为 求 2 q 的值 ； 求随机 变量 的数 学期 量 E ； 试比较 该同 学选 择都 在B 处投篮 得分 超过3 分 与选 择上述 方式 投篮 得分 超过3 分的 概率 的大 小 。 24 （本 小题 满 分10 分） 已知数列 n a 和 n b 的通项公式分别为 3 19 n an ， 2 n n b . 将 n a 与 n b 中的公共项
22、 按照 从小到 大的 顺序 排列 构成 一个新 数列 记为 n c . (1) 试 写出 1 c ， 2 c ， 3 c ， 4 c 的值， 并 由此归 纳数 列 n c 的通项 公式 ； (2) 证 明你 在（1 ）所 猜想 的结论. 答案： 21.解： 4, 3 xy ； 5 分 矩阵M 的特 征值 为 1 或5. 10 分 22.解 ：直 线l 的普通 方程 为 ： 2 4 0 xy ； 2 分 圆C 的 普通 方程 为 ： 22 ( 1) 1 xy ； 4 分 圆心C 到直 线l 的距离 为： 22 | 2 4 | 2 5 12 d ； 7 分 所以 AB= 22 4 2 5 2 2
23、1 55 rd . 10 分 23. （1 ）设 该 同 学 在 A 处 投 中 为 事 件 A, 在 B 处 投 中 为 事 件 B, 则 事 件 A,B 相互独立, 且 0 2 3 4 5 p 0 03 1 p 2 p 3 p 4 p 10 P(A)=0.25, ( ) 0.75 PA , P(B)= q 2 , 2 ( ) 1 P B q . 根据分布列知: =0 时 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.75(1 ) P ABB P A P B P B q =0.03, 所以 2 1 0.2 q ， q 2 =0.8. （2）当 =2 时, P1= ) ( ) ( ) ( B B
24、 A P B B A P B B A B B A P ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B P B P A P B P B P A P =0.75 q 2 ( 2 1 q )2=1.5 q 2 ( 2 1 q )=0.24 当 =3 时, P2 = 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.25(1 ) P ABB P A P B P B q =0.01, 当 =4 时, P3= 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.75 P ABB P A P B P B q =0.48, 当 =5 时, P4= ( ) ( ) ( ) P ABB AB P ABB P AB 2 2
25、2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.25 (1 ) 0.25 P A P B P B P A P B q q q =0.24 所以随 机变 量 的分布 列为 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变 量 的数学 期望 0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24 3.63 E （3） 该同 学选 择都 在B 处 投篮得 分超 过 3 分的 概率 为() P BBB BBB BB ( ) ( ) ( ) P BBB P BBB P BB 22 2 2 2 2(1 ) 0.896 q q q ; 该同学 选择 （1 ）中
26、方式 投 篮得分 超 过 3 分 的概 率 为0.48+0.24=0.72. 由此看 来该 同学 选择 都 在B 处投 篮得 分超 过3 分的 概率大. 24. 已知 数列 n a 和 n b 的通项 公 式分别 为 3 19 n an ， 2 n n b .将 n a 与 n b 中的 公共 项按照 从小到 大的 顺序 排列 构成 一个新 数列 记为 n c . (1) 试 写出 1 c ， 2 c ， 3 c ， 4 c 的值， 并 由此归 纳数 列 n c 的通项 公式 ； (2) 证 明你 在（1 ）所 猜想 的结论. 11 5 3 5 17 2 cba ， 7 4 7 48 2 c b a ， 由其 中的规 律不 难发 现： 21 2 n n c ; （2 ） 根据 题中 条件 有 nm ab ，
