1、2018 届吉林省梅河口市第五中学高三上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1已知函数 的值域为集合 ，不等式 的解集为集合 ，则xyeA260xB( )ABA. B. C. D. |03x|23x|0 x【答案】C【解析】函数 的值域为集合 ，不等式 的解集为集合xyeA0y26，则 。B|23x|2Bx故答案为：C。2已知复数 满足 ，且 ，则 （ ）z1iaizaA. B. C. D. 3【答案】B【解析】复数 满足 ， ， ， z1iai1aizi2z23.za故答案为：B。3下列命题中，真命题的是（ ）A. B. 20,1xx1,lgxxC. D. 对 恒成立aa20,1aR【答案
2、】D【解析】对于 A，当 时不成立；1x对于 B，当 时， ,而 ，不成立；,lgx对于 C，当 时不成立；a对于 D， 对 恒成立，正确.2220, 1xaR故选 D.4设向量 ，若 ，则 （ ）3,6,1,abcabcxA. B. C. D. 273【答案】D【解析】向量 ， 。则3,26,10,2abcx124ababc， ，有 7201280.3abcxx故答案为 D。5 已知 ，求证 ，用反证法证明时，可假设 ； 3pq2pq2pq设 为实数， ，求证 与 中至少有一个不小于 ，有a2fxa1ff 1反证法证明时可假设 ，且 ，以下说法正确的是（ ）12A. 与的假设都错误 B. 与
3、的假设都正确C. 的假设正确，的假设错误 D. 的假设错误，的假设正确【答案】C【解析】用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定，所以 的假命题2pq应为 ，故的假设正确； 与 中至少有一个不小于 的否定为2pq1f2f 1与 中都小于 ，故的假设错误；故选 C.1ff16定义在 上的奇函数 的一个零点所在区间为（ ）R24sinxfaxA. B. C. D. ,0a,3,3a【答案】C【解析】函数 为奇函数，24sinxfax ，fx即 ,24sinsixax整理得 在 上恒成立，120xR , ，4sinxf 1 120,24sin0,ff,3si8sif 函数 的零点在区间 内。选 C
4、。fx1,7用数学归纳法证明“ ”，则当 时，应633*2,2nN 1nk当在 时对应的等式的两边加上（ ）nkA. B. C. D. 33311k 31k36312k【答案】A【解析】当 时，等式左端 ，nk312k当 时，等式左端1，增加了 项33332 1k （ ） （ ） （ ） （ ） 21k故选 A8已知 对一切 都成立，215 12nabc*nN则 的值为（ ）,abcA. ， ， B. ， ， 3c3a2C. ， ， D. ， ， 22b3c【答案】C【解析】由题意知，当 时，分别有1,n解得： ， ， ，故选 C.213458abc2a3bc9设变量 满足约束条件 则 的取值
5、范围为（ ）,xy0,1 3,2xyzxyA. B. C. D. 2,6,0,6【答案】D【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由 得 ，zxyz平移直线 ，结合图形可得，当直线经过可行域内的点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 取得最大值。由 ，解得 ，所以点 A 的坐标为（3，-3 ） 。3 0xy3 xy 。max36z 的取值范围为 。选 D。y,10在一次体育兴趣小组的聚会中，要安排 人的座位，使他们在如图所示的 个椅66子中就坐，且相邻座位（如 与 与 ）上的人要有共同的体育兴趣爱好，现已知12,3这 人的体育兴趣爱好如下表所示，且小林坐在 号位置上，则 号
6、位置上坐的是（ 6 14）A. 小方 B. 小张 C. 小周 D. 小马【答案】A【解析】依据题意可得从 号依次为小林、小马、小李、小方、小周、小张，则16号位置上坐的是小方，故选 A.411设 ，定义运算: ，则（ ）,0,ablog,abA. B. 2484824824C. D. 【答案】B【解析】 中， A24log， 28log33， ， ，故 错误；4l 32log332l4logA中， ， ， ， C48l32l8l34log， ，故 错误；24log2log8C中， ， ，故 错误；D3824log83D故答案选 B点睛：本题是一道新定义运算的题目，在解题过程中按照题目给的条件进
7、行计算，然后再比较大小，本题难度不大，但是在计算过程中要注意结果12当 时， 恒成立，则 的取值范围为（ ）0xln1xeaaA. B. C. D. ,1,e1,e,0【答案】A【解析】 1xaln令 xeFl021xeax只需 ，0F即 210xeaxa2xex当 时， 01a则 的取值范围为 ,故选 A二、填空题13设 , 为虚数单位，且 ,则 _xRi1xRi【答案】1【解析】由 11 1222xixi ixxiiRi得 ，即 ，故答案为 .10214已知 ，若 ，则 的最小值为 _,mn21n37m【答案】96【解析】m 0，n0， 2m=12n，即 2m+2n=1则 =2（m+n）（
8、 ）=2（30+ ） 327327m327n93026.nm当且仅当 n=3m= 时取等号8故答案为：96.点睛：这个题目考查了基本不等式求最值的应用，解决二元问题的方法有，不等式的应用，变量集中法，二元化一元的方法，等等。在应用不等式时要注意，均值不等式要满足这一正，二定，三相等，三个条件时才能用于求最值。15若函数 的图象相邻的两个对称中心为sin0,2fx，将 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，得到51,0,6f 12的图象，则 _gxgx【答案】 sin26【解析】由题意得 ，所以 。15T2T ，2 ，sinfx又点 在函数图象上，1,06所以 ，sin()0f又 ，2 ， 。
9、6sin6fx将 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，所得图象对应的解析式为fx 12，即 。sin(2)6ysin(2)6gx答案： 16设 为数列 的前 项和， ，且 ，记nSna1132nna123a为数列 的前 项和，则 _nT1nnT【答案】 32【解析】由 2anan1=32n1（n2） ，得 1324na ，124nna由 2anan1=32n1（n2） ，且 3a1=2a2，可得 2a2a1=6，即 2a1=6，得 a1=3数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，n24则 1124nn 121nnna +（2+22+23+2n）= =22n21n11.nnS12nn，根据
10、等比数列求和公式： 11223nnnna3nnT故答案为： 。12nn点睛：这个题目考查的是数列通项的求法，和数列前 n 项和的求法；数列求通项的常用方法有：构造新数列的法，归纳推理得到通项；求通项常用的方法有，裂项求和，错位相减，分组求和等方法。三、解答题17已知函数 2.1fx（1）若 ，求 的最小值，并指出此时 的值；1,fxx（2）求不等式 的解集.2f【答案】(1) 的最小值为 ，此时 ;(2) 不等式的解集为 .x0x1,0【解析】试题分析：（1）根据表达式的特点得到 ，利用均值2fx不等式求得最值；（2）分式不等式转化为整式不等式求解即可。解析：（1） ， 2242,11fxxf
11、x当且仅当 即 时，取等号，20故 的最小值为 ，此时 ，fxx（2）由 得 ，故所求不等式的解集为2fx0,1xx1,018已知复数 .aziR（1）若 ，求 ；R（2）若 在复平面内对应的点位于第一象限，求 的取值范围.a【答案】 （1） ；（2） .z0,5【解析】试题分析：(1)由题意计算可得 ,若 ，则 ， .aizR5a2z(2)结合(1)的计算结果得到关于实数 a 的不等式，求解不等式可得 的取值a范围为 .0,5试题解析：（1） ,若 ，则 ， ， .255aiazizR50a52z（2）若 在复平面内对应的点位于第一象限，则 且 ，2解得 ，即 的取值范围为 .0a0,519
12、 （ 1）用分析法证明：当 ， 时， ；xy2xy（2）证明：对任意 ， ， ， 这 个值至少有一个不R13213小于 .0【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：(1)对不等式移项变形，两边为正后，即证平方后的不等式成立。（2）假设命题的结论不成立，由假设的不等式同向相加推出与己知事实矛盾。试题解析;（1）要证不等式成立，只需证 成立，2xyx即证： 成立，22xyx即证： 成立，y即证： 成立，20xy因为 所以 ，所以原不等式成立.,20xy（2）假设 这 3 个值没有一个不小于 0，13,1x即 20x x则 ， （）12而 .21330xx这与（）矛盾，所以假设不成立，
13、即原命题成立.【点睛】分析法是“执果索因” ，是寻找命题成立的充分条件，如果条件成立的话，则命题成立。反证法是，假设命题的结论不成立，即反面成立，再根据假设及条件及己知公式定理，推出与条件或定理公理或已知事实矛盾的结论，即假设不成立，原命题成立。20设 为数列 的前 项和， ，数列 满足 .nSna2nSnb231,2nab（1 ）求 及 ；b（2 ）记 表示 的个位数字，如 ，求数列 的前 20 项和.n6174nab【答案】 （1） ， ； （2 ）2nanb09【解析】试题分析：（1）根据 ，可求数列的通项；（2）根据 的前 51naSnb项可知数列 是有周期性的，故可以求出前 5 项的
14、和，再乘以 5 即可.nab解：（1）当 时， ，212nnS由于 也满足 ，则 .1Sa， ， ，是首项为 3，公差为 2 的等差数列， 235ba1nb1b.n（2 ） ， 的前 5 项依次为 1，3,5,7,9.na， 的前 5 项依次为 3,5,7,9，1.1nbb易知，数列 与 的周期均为 5，n的前 20 项和为nab1114379 .1 8204 423579 21在 中， 是边 的中点，记ABCsinsin,BCDBCsin.ABDt（1）求 的大小；（2）当 取最大值时，求 的值.ttaA【答案】 （1） ；（2）.33.【解析】试题分析：（1）根据两角和差公式得到原式等价于
15、 ，因为sin2cosiBA正弦值不为 0，故得到 ，即 。（2）根据中线的性质得到1cos2A3，平方得到边之间的关系，有不等式的性质得到12ADBC，进而得到 t 的最值，此时三角形为正三角形，可以直接得到abcb角的正切值。解析：（1）因为 ，sinsinABC所以 ，即 ，sisinBAB整理得 ，si2cosi又 ，所以 ，即n0B1A.3（2），令 ，2siDt BC,cACbBa因为 ,所以 ，1A2214在 中， ，BC22abcb所以 ，当且仅当 时取等号，此时， 2223Dcat bc为正 ，所以当 取最大值时， ABttn.ACD点睛：这个题目主要考查正弦定理和余弦定理（即和题目中中线的向量的应用得到的式子相同）在解三角形中的应用，解三角形中常用的方法有正弦定理，余弦定理，其中知道一边和对角用正弦，知道两边和夹角用余弦，知道两角和一边用正弦。22已知函数 ， .lnfx1Fxffx（1 ）当 时，比较 与 的大小；*nN132i3n（2 ）设 ，若函数 在 上的最小值21axfxgeegx0,为 ，求 的值.21ae【答案】 （1） ；（2）132niF31nae【解析】试题分析：（1）先计算出 的值，然后构造新函数1iF
