1、2018 届吉林省东北师范大学附属中学高三上学期第一次摸底考试数学（理）试题（解析版）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分。共 3 页，考试时间120 分钟。第卷一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）1. 设集合 ， ，则 中元素的个数为A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合 A 表示以 为圆心， 为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合 B 表示直线 上所有的点组成的集合，又圆 与直线 相交于两点 ， ，则 中有 2 个元素.故选 B.【名
2、师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2. A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，选 A.3. 下列各组函数中，表示同一函数的是A. B. C. D. 【答案】A【解析】B 中定义域不同，一个为 R，一个 ；C 中定义域不同，一个为 ，一个 R；C 中定义域不同，一个为 ，一个 ；所以选 D.4. 已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是A. B. C. D. 【答案】C【解析】
3、由题意得 ，选 C.5. 教育局派出 4 名调研员到 3 个学校，调研该校高三复习备考情况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为A. 144 B. 72 C. 36 D. 48【答案】C考点：排列组合.6. 已知命题 ，命题 ，面积下列判断正确的是A. 是假命题 B. 是真命题C. 是真命题 D. 是真命题【答案】C【解析】当 时， （当且仅当 ，即 时取等号） ，故 为真命题；令 ，得 ，故 为假命题， 为真命题；所以 是真命题.考点：基本不等式、命题的真假.7. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，则【答案】D【解析】因为奇函数 在区间 上是增函数，所以 在区间
4、上是增函数，因为奇函数 满足 ，所以 ,即周期为 8，因此 ,选 D.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的奇偶性与对称性得周期，根据函数的周期性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行D.C.D.8. 如图给出了一个算法程序框图，该算法程序框图的功能是A. 求， ，三数的最大数B. 求， ，三数的最小数C. 将， ，按从小到大排列D. 将， ，按从大到小排列【答案】B【解析】试题分析：若 ，则赋值为 ，比较 与大小，若 ，则赋值为，输出，即 三数的最小数；若 ，则赋值为 ，比较 与大小，若 ，则输出 ，即 三数的最小数；若 ，则比较
5、与大小，若，则赋值为，输出，即 三数的最小数；若 ，则比较与大小，若 ，则输出，即 三数的最小数；因此选 B.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 设 ，H ，则A. B. 10 C. 20 D. 100【答案】A【解析】试题分析： ， ，又 m0， ,故选 A.考点：指数与对数的运算.10. 函数 的图象大致是A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意知：函数
6、的定义域为 .当 时， ；当 时， ；当时， ；故选 D.考点：对数函数的图像和性质.11. 设随机变量 ， ，若 ，则 的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】，选 B.12. 已知函数 ，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 在 上单调递增，所以 ，选 A.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究
7、，就不要使用分离参数法.第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共计 20 分）13. 的二项展开式中， 的系数与 的系数之差为_ 。【答案】0【解析】二项展开式的通项为 ， 的系数为 ， 的系数为 ，所以的系数与 的系数之差为 014. 函数 的值域为 _。【答案】【解析】 ，即值域为15. 函数 在 上的最大值和最小值之和为，则的值为_。【答案】【解析】由题意得函数 为单调函数，所以16. 若函数 的图象关于直线 对称，则 的最大值为_。【答案】16【解析】由
8、 得所以当 时，取最大值点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用 或 求单调区间；第二步：解得两个根 ；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为 的不动点，已知函数。（）当 时，求 的不动点；（）若对任意实数 ，函数 恒有两个相异的不动点，求的取值范围。【答案】 （）-1，3；（）【解析】试题分析：（）解方程 解得不动点；（） 恒有两个相异实根，即判别式恒大于零，再根据二次函数图像知判别式小于零，解得的取值范围
9、试题解析：（）当 时， ，由题意可知 ，得 ，故当 时， 的不动点为-1 ，3.（）因为 恒有两个不动点，所以 ，即 恒有两个相异实根，所以 恒成立，于是设 ，所以 恒成立，所以 ，解得 ，故当 。恒有两个相异的不动点时，的取值范围是 。18. 某校为选拔参加CCTV-1 中国谜语大会的队员，在校内组织灯谜竞赛。规定：第一阶段知识测试成绩不小于 160 分的学生进入第二阶段比赛。现有 200 名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成频率分布直方图（如下图所示） 。（）估算这 200 名学生测试成绩的中位数，并求出进入第二阶段比赛的学生人数；（）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛，现甲、乙
10、两队在比赛中均已获得 120 分，进入最后抢答阶段。抢答规则：抢到的队需猜 3 条谜语，猜对 1 条得 20 分，猜错一条扣 20 分。根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为 ，乙队猜对前两条谜语的概率均为 ，猜对第 3 条的概率为 。若这两队抢到答题的机会均等，你作为场外观众想支持这两队中的优胜队，你会把支持票投给哪一队？并说明理由。【答案】 （）成绩中位数为 143.6.，学生人数为 18 人； （）支持票投给甲队【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图求中位数，中位数左边和右边的长方形的面积和是相等的；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率
11、分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：（1）设测试成绩的中位数为 ，由频率分布直方图得，解得： 2 分测试成绩中位数为 进入第二阶段的学生人数为 200（000300015）2018 人 4 分（2）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为、 ，则 ， 5 分 6 分最后抢答阶段甲队得分的期望为 ， 8 分 ， ， ， ， 10 分最后抢答阶段乙队得分的期望为 12 分 ，支持票投给甲队 13
12、分考点：1、利用频率分布直方图求中位数；2、离散型随机变量的数学期望.19. 如图，已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， ，且， ， 是 的中点。（）求证： ；（）求二面角 的余弦值。【答案】 （）证明见解析；（）【解析】试题分析：（）利用空间向量证明面面垂直，只需利用两平面法向量垂直，先根据题意建立坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，根据法向量数量积为零得证（）利用空间向量求二面角，先根据题意建立坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，根据法向量数量积求夹角，再根据二面角夹角与向量夹角关系得二面角 的余弦值试题解析：证明：（）以 为坐标原点 长为单位长度，如图，建立空间
13、直角坐标系，则各点为 ， ， ， ， ，则 ， ，故 ，所以 ，由题设知，且 与 是平面 内的两条相交直线，由此得 ,又 在平面 内,故平面。（）在 上取一点 ，则存在 ，使 ，连接 ， ，所以 ， ， 。要使 ，只要 ，即，解得 。可知当 时， 点坐标为 ，能使 ，此时， ，所以 。由 ， ， ，所以，故所求二面角的余弦值为 。20. 已知椭圆 和直线 ，椭圆的离心率 ，直线与坐标原点的距离为 。（）求椭圆的方程；（）已知定点 ，若直线 与椭圆相交于 、 两点，试判断是否存在 值，使以 为直径的圆过定点 ？若存在求出这个 的值，若不存在，说明理由。【答案】 （） ；（）试题解析：（）由直线
14、， ，即 又由 ，得 ，即 ，又 ， 将代入得，即 ， ， ， ，所求椭圆方程是 ；（）当直线 的斜率不存在时，直线 方程为 ，则直线 与椭圆的交点为 ，又 ， ，即以 为直径的圆过点 ；当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ， ， ，由 ，得 ，由 ，得 或 ， ， ，以 为直径的圆过点 ， ，即 ，由 ， ，得 ， ， ，解得 ，即 ；综上所述，当以 为直径的圆过定点 时，直线 的方程为 或 .21. 设函数 ，曲线 在点 处的切线与直线 垂直（其中为自然对数的底数） 。（）若 在区间 上存在极值，求实数 的取值范围；（）求证：当 时，不等式 。【答案】 （） ；（）证明见解析；【解析】试题分析：（1）首先利用切线的斜率建立方程，求出 ；利用导数求得函数的极值点，极值点介于 之间，由此求得 的取值范围；（2）先用分析法，将原不等式等价变形为，利用导数求出左边函数的最小值和右边函数的最大值即可证得原不等式成立.试题解析：（1） 因为 ，所以又据题意，得 ，所以 ，所以所以 ，所以 当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数.所以函数 仅当 时，取得极值又函数 在区间 上存在极值，所以 ，所以 .故实数 的取值范围是（2）当 时， ，即为 .令 ，则 .再令 ，则 .又因为 ，所以 .所以 在 上是增函数.又因为 .
