1、第二章 网络的拓扑分析21第二章 网络的拓扑分析2.1 二端口网络参数的代数公式 无 独 立 源零 状 态1I 2I1UU 电路节点方程：， SnnIYT12,0SnI令 i+jij(1)det(ij划 去 的 第 行 第 列 ）电路方程的解答221222111IIUIInnnn nn端口方程 2122212122 1111 IZIIIZI nnn )()( nnZ2212121分成三类： ijn,2.2 不含多端元件网络的端口分析一 比耐 -柯西(Binet-Cauchy) 定理：设 和 分别为 和 阶矩阵FHnm,则)(m第二章 网络的拓扑分析22对 应 大 子 式 之 积和 HF)det
2、(大子式：最高阶子行列式 )(m设 ， ，则52143F10263213|6|1H6542|F75243|F3102|H103|H12 13 232 13 2)(7653)( Fdet二 关于关联矩阵的几个定理1 任何一个树的关联矩阵 的行列式都等于 。A10 111|)det(011 )()1(102Adett22011 )(11023Adett2 2233第二章 网络的拓扑分析23110)(1 )det(det kkk AA+k+1注：新增的节点只有一个支路与其相连2 关联矩阵 或 的秩为 n-1，即a)()()( 树 支 数tanrnkra13 连通图 G 的关联矩阵里对应回路的列是线性
3、不独立的。 101A1 2 3 4 5 3201rank1 2 34310rank1 2 4 5解释：回路中节点数等于支路数(m)，非零行m，每列只有两个非零元素，+1和-1，因此 rank()m，列线性不独立。4 连通图 G 的关联矩阵 A 的一个(n-1) (n-1)子矩阵是非奇异的充要条件是此子矩阵的列对应 G 的一个树，子矩阵的行列式为1 。充分性：若非奇异列线性独立不含回路，支路数为 n-1树；必要性：若为树子矩阵行列式为1非奇异。5 连通图 G 的树的个数为 det(AAT)。证明： 树 的 个 数（对 应 大 子 式 之 积和 )()det( 1TA 三 n 的计算 )()det
4、()t( 对 应 大 子 式 的 乘 积和 TeTn AYY1 AT 的非零大子式1（因为它对应树） 。2 AYe 的对应大子式( 1)相应树支导纳的乘积（因为 Ye 是对角矩阵） 。说明：第二章 网络的拓扑分析241Y23Y451 2341 23412345010A ,54321diagYeY004325YeY（对应树）43243432 010Y（对应树）53153351 0100 Y（含回路）12 23 30010YY所以 树 支 导 纳 之 积n例 1Y2345Y1 21 2341 3 2412345第二章 网络的拓扑分析25124 5 125 1 34 1 3 51 4 523423
5、524 5542532432541531431521421 YYYYn 验证： 树 支 导 纳 之 积4313152YYnn)det(四 “2树”的定义：图 G 的一个“2树”是一对包含 G 的全部节点，但无任何回路的不连通子图，但每个子图是连通的。举例：2(14,23) 2(13,24) 2(1,234) 2(123,4)2(1,2) 2(1,4)1 2341 231 23 1 23 1 23444 4G2树的表示：“ ”j,k 表示分属两部分的节点号。,kj 树五 jj ( 对角元素的代数余因子)的计算分析： 的 树 支 导 纳 之 积 设 对 应 的 图 为点 导 纳 矩 阵点 与 参
6、考 点 短 接 后 的 节列行的划 去1 11GGj YjYTjejnnj )(det )dt)et()A举例：第二章 网络的拓扑分析261234 51 2341,43 212345G G14313521 YYn树 支 导 纳 之 积)( 54325121 YYndet3 21 3 23 21 322 1 331 1 11523 233 234 3 23 3 241 25541114 4 4 44 4 4 4对 G1 的全部树补充节点后，成为 G 的全部 2树 (1,4)。所以 树 支 导 纳 之 积树 ),(02vjj其中 表示参考点。0v六 的计算ij )det()(det()( Tjei
7、jinjiij ji AYY11列行 第中 划 去 第从的非零大子式1 对应 j 与参考点相连后的图的树，即 2树( )TjA 0v,的非零大子式1 i 与参考点相连后的树支导纳之积，即 2树( )树ei i支导纳之积(1) 以上二式不一定取相同符号，可以证明乘积后的符号为 ；ji)(1(2) 两个大子式同时非零对求和才有作用。所以得 树 支 导 纳 之 积 树 ),(02vijij七 网络参数的拓扑公式引入记号： 、Vn 00, vijijvjj W、第二章 网络的拓扑分析27一端口输入阻抗： VWZn1,二端口开路阻抗矩阵n1,1 VWZn,22VWVZn2121 21,12,1,1,12
8、, (1) 与 存在相同 2树（因为下标只包含 3 个节点号） ，对应项相互抵12,消。(2)利用关系 。rqprqp,(3) 最后得 , 221,21, 1,1,WVZ例题：求二端口网络 Z 参数矩阵。1Y23Y451 23122312 34 5112010A8)det(TA(1) 求 V。全部树如下： 542532432541531431521421 YYYY 第二章 网络的拓扑分析2812 4125 1 341 3 5145234 23 52 45(2) 求 。 2树(1,1) 如下,1W2 4 2543 3 5 4554345241 YY,(3)求 。 2树 如下：,W),(2 4 3
9、 41 1 3 12 242341321,2 YY(4) 求 2,W、不含 2树 ，所以 。)(021,2树 为,142 421YW,计算结果 24534541YYZV2 YYZ42341312 第二章 网络的拓扑分析29练习：1 用网络的拓扑公式求图 1 电路的等效电阻 。iR2 用网络的拓扑公式求图 2 电路的开路阻抗矩阵 Z。1G2131G3241122iR1 2答案：1 21GRi2 , ,VZ4343 VGZ4212, 4241212 432431421321 G2.3 不定导纳矩阵一 不定导纳矩阵的定义 nnni yy 212112YTnnTn UI , 2121I、 iY称为不定
10、节点导纳矩阵。iY二 不定导纳矩阵的形成1 利用公式 TaeiAY举例：1G2345G1 231 231 234 51I2nI1nU2n第二章 网络的拓扑分析2101010aA ,54321GdiageY 5215214343)( )()(GTaeiY 54310000GgeY ggGGTaei 51514343)()(AY1233+-+-二 直接列写(1) 不含多端元件时的列写规则 ),(节 点 之 间 支 路 导 纳节 点 相 连 的 支 路 导 纳与 jiyjiij(2) 含多端元件时的列写规则(a) 列出不含多端元件时的不定导纳矩阵，记作 。iY(b) 将所有多端元件用 VCCS 来等
11、效，或将方程表达成电压是电流的函数。(c) 考虑 VCCS 对不定导纳矩阵的影响。ijklklu ijjlijjkijilijiki gygyYk+ l-i-j+klijg(用例 2 进一步解释)三 不定导纳矩阵的性质1 不定导纳矩阵的任一行元素之和或任一列元素之和都为零(零和特性)，即(1) ； (2) ),(niynji101),(nnij10113451 232gu第二章 网络的拓扑分析211证明： )(KCLIi由00niU ni(1)jI0nU(2)(1) 由 得niYI 0111 njinjiinjjii yyUyI(2) 由 及 KCL 得：njnjjijjyyII1 0111
12、nijnijjniji yyyI2 不定导纳矩阵中所有一阶余因式都相等。以例 2 的不定导纳矩阵为例。 gGgG515431511432 g5114312)()(5432332 GG)( )(4354311121 Gg证明如下：第二章 网络的拓扑分析212按第 j 行展开jnjji yy21|Y ),21(nj由零和性质， ，将其代入上式得：)(321 jnjjjy)()(| 112 jjnjjjjjjji ),(不论 取何值，上式皆成立，故有jk1jjk),2;,32(njk 上式说明不定导纳矩阵行列式任意行的所有一阶代数余子式相等。同理，可以证得任一列上的所有一阶代数余子式相等。故有性质
13、2。3 划掉不定导纳矩阵中的第 k 行第 k 列，得到以 k 为参考点的定导纳矩阵。 TeTaean AYAY)(练习：列出下图电路的不定导纳矩阵 1G234G3rii4iSi1 2 34答案： 4232432 431 410 00GrGrGi Y2.4 含多端元件网络的拓扑分析1 伴随有向图的定义 不定导纳矩阵的伴随有向图是具有 n 个节点的加权有向图，节点编号与网络 N 一一对应，如果 则从节点 i)1(0jiyij ,;到节点 j 之间有一条有向支路，该支路的权等于 。ij第二章 网络的拓扑分析213331220GiY注意：1 权的符号； 2 对角元素不直接对应。2 有向树的定义 有向图
14、 Gd 的一个子图，当且仅当满足下列两个条件时称为Gd 中以 r 为参考点( 或根) 的有向树，用 Tr 表示：(1) Tr 的每个支路对应的无向图仍是树；(2) Tr 中参考点 r 的射出边度数 (个数)为零，其余节点射出边度数为 1。有向树的例子：132 132 132 132T1 T2 T3非有向树的例子：1323 定理 的所有一阶代数余子式(余因式)由下式给出：iY 式 （ 定 ） 导 纳 矩 阵 行 列积为 参 考 点 的 树 支 导 纳 之以TriV在前例中有 23131232312 GGi 4 有向 2树 的定义 有向图 Gd 的一个子图，当且仅当满足下列两个条件时，ji,称为
15、Gd 的一个以 为参考点的有向 2树：(1) 去掉各支路的方向以后，它仍是一个 2树；(2) 中除参考点外每个节点仅有一个射出边，而参考点( )的射出边数为零。jiT, ji,表示法： ，a 、c 分别表示两部分的参考点。db,13212G3第二章 网络的拓扑分析2141 23 41 23 41 23 41 23 41 23 421,T21, ,12T3,21T5 定理 的二阶代数余子式(其中包括 的一阶代数余因式 )由下式给出：iYnY(删去 行和 列)kijTkijijW, , 树 支 导 纳 之 积树2 ki,j,6 网络参数的拓扑公式 2,21,21, 1,1, WVZ记忆规则：11
16、22 112211221122,2W ,例题 求开路阻抗矩阵 。Z 3321210GGgiY(1) 直接列写不定导纳矩阵 。iY(2) 画出伴随有向图如图 (a) ，以为参考点的有向树如图(b)(c)。 gG123 gG213 1g3G(a) (b) (c)若以其它节点为参考点，则有向树个数较多。例如以为参考点时共有 8 个有向树。若以为参考点也比较简单，共 2 个有向树。选择参考点的一般原则是“选射入边少的节点为参考点” 。1122341G2+u-g第二章 网络的拓扑分析215)( 132131231 VGgGV(3)求 。对应 2树 为,W,T 1 g3 gG23 2Gg 1ggGGgGW
17、 232122321 )()(, 31321 gGZ(4)求 。对应 2树 为,2,2TgG12g3G2gg1gG13131211313212, )()( gW 32321GgZ(5) 求 , 。2树 为：, ,1T。无 2树 ， 。)(, g1 ,21T021,W313212GZ(6) 求 ， 。2树 为,12W, ,T。无 2树 ， 。)(1,1g,12T021,g12Gg2第二章 网络的拓扑分析216323212)(GgZ练习：(1)求开路阻抗矩阵 Z。答案：3221)()(RRZ思考题(1) 能否用有向图分析不含多端元件的网络？(2) 为什么不能用无向图分析含多端元件的网络？2.5 找
18、出全部树的方法方法 1 搜索法 G1 21G12123452345345 345的 树中 含 支 路1的 树中 不 含 支 路41G2342534511支 路的 全 部 树 12341253415的 树中 含 支 路 1G23425 123 45678 910 1 12131415161718 19 2021223 24 25262G2G方法二 多项式法 用 ej 表示支路 j。任选一个树，例如(e 2,e3,e5)，称为基本树。定义基本割集多项式 ：P1=e1+e3,P2=e1+e4+e5,P3=e2+e4。规定运算：ej+ej=0,ejej=0，并且满足交换律与结合律：eiej=ejei,
19、 ei(ej+ek)=eiej+eiek0ej=0 0+ej=ej则 45324313213 1421 eeeP11R23u(1)12345P第二章 网络的拓扑分析219所剩 8 项就是对应该图的全部树。分析如下：1，P 中含有全部树的项，而且与基本割集的选择无关。(1) 532253 eee)()(P 中一定含有对应树 的项。53(2) 其它割集恒可由基本割集的线性组合来表示。例如323214Pe 3215325 Pe(3) 对应任何树的基本割集多项式之积都相等。例如， ，131254e4521e333242 PP)(， ，131e342e532e4115)(由(1)和(3)知 P 中含有全部树的项。2，P 中任一项，一定对应一个树。设 P 中有一项 不与树对应，则存在不含 的割集，其多项式记kjiekjie、作 ， 中一定不含 。假设不成立。xzyxkjie例如：不与树对应，则存在割集 ，531e、 8642e,不包含任何 。531、1 23 45P4P1 23 45 31 23 4567 8 P
