1、2018 届辽宁省鞍山市第一中学高三上学期第二次模拟考试（期中） 数学（理）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合 20AxN的真子集个数为（ ）A1 B2 C3 D42若 a为实数，且 1ai，则 a（ ）A-4 B-3 C3 D43下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的 ,ab分别为 14,18，则输出的 a为（ ）A0 B2 C4 D144一个四面体的三视图如下图所示，则该四面体的表面积是（ ）A 13 B 12 C 23 D 25
2、已知命题“ Rx，使 10xa”是假命题，则实数 a的取值范围是（ ）A , B ,3 C , D 3,16已知 2sin，则 2cos4（ ）A 1 B 13 C D 237设向量 ,abr满足 0r， 6abr，则 abr（ ）A1 B2 C3 D58设 ,xy满足约束条件201xy，则 3zxy的最大值为（ ）A-3 B4 C2 D59由曲线 1xy与直线 yx， 3所围成的封闭图形面积为（ ）A 2ln3 B ln C2 D 4ln310设 2og5a， 45b， 0.5c，则 ,abc大小关系为（ ）A c B a C D cab11等差数列 n满足 1， 20167， 20167，
3、则使前 n项和 0nS成立的最大正整数 是（ ）A2016 B2017 C4032 D403312若存在正数 x，使 21xa成立，则实数 a的取值范围是（ ）A , B , C 0, D 1,第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13等差数列 na的公差为 2，若 48,a成等比数列，则数列 na的前 项 nS 14直线 3ykx被圆 23y截得的弦长为 23，则直线的倾斜角为 15函数 log41a（ 0且 1）的图象恒过定点 A，若点 在直线 10mxy上，其中 ,mn均大于 0，则 2n的最小值为 16在锐角 ABC中， ,bc分别是角 ,A
4、BC所对的边， BC的面积 2S，且满足cos1osab，则 aba的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知函数 3sin2fxxsinsi4x.（1）求函数 f的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数 fx在区间 ,12上的最值.18已知函数 21fxx.（1）求不等式 的解集；（2）若关于 x的不等式 2afx有解，求实数 a的取值范围.19证明： 不是有理数.20已知数列 na的前 项和为 nS，且 142na， 1.（1） 12nb，求证数列 b是等比数列；（2）设 c，求证数列 nc是等差数列；（3）求数列 n
5、a的通项公式及前 项和 nS.21如图，已知多面体 EABCDF的底面 是边长为 2 的正方形， EA底面 BCD， FEA ，且 12FD.（1）记线段 的中点为 K，在平面 内过点 K作一条直线与平面 平行，要求保留作图痕迹，并写出该直线与 所成角的余弦值，但不要求证明和解答过程.（2）求直线 EB与平面 CF所成角的正弦值.22设函数 2lnafxx（1）当 0,， 0f恒成立，求实数 a的取值范围.（2）设 gxx在 21,e上有两个极值点 12,x.（A）求实数 a的取值范围；（B）求证： 12lnaex.2017-2018 学年高三（18 届）二模数学理科试卷答案一、选择题1-5:
6、CDBCB 6-10:AABDB 11、12：CD二、填空题13 1n 14 6或 5 15 526 16 82,三、解答题17解：（1） 3sin2sin4fxxxsisin6xx， 2T，由 262xkZ得 23kxZ.函数 f的最小正周期为 ，对称轴方程为 23kx.（2） ,12x， 5,63x.因为 sinf在区间 ,12上单调递增，在区间 ,32上单调递减，所以，当 3x时， fx取最大值 1.又 122ff，当 x时， fx取最小值 3.18解：（1）当 1时，无解；当 2x时， 23x；当 时， 4.综上， ,3x.（2）函数 f的最小值为 32，23a，所以 1,3a.19假
7、设 为有理数那么存在两个互质的正整数 ,pq，使得： 2pq，于是 2pq，两边平方得 2由 是偶数，可得 p是偶数.而只有偶数的平方才是偶数，所以 也是偶数.因此可设 2s， 是正整数，代入上式，得： 24sq，即 2s.所以 q也是偶数，这样 ,pq都是偶数，不互质，这与假设 ,p互质矛盾.因此 不是有理数.20解：（1）由题意， 142nSa， 142nnSa相减，得 2114nnSa214nnaa, 21 b， *1nbN， q，又由题设，得 246，即 25a， 1213ba， n首项为 3，公比为 2 的等比数列，其通项公式为 n（2） 11nba，所以， 14nc数列 nc是首项
8、为 2，公差为 34的等差数列， 3.（3） 14nnS.21解：（1）取线段 CD的中点，连结 KQ，直线 即为所求.余弦值为 05，如图所示：（2）以 A点为原点， B所在直线为 x轴， AD所在的直线为 y轴， AE所在直线为 z轴建立空间直角坐标系，如图.由已知可得 0,， ,02E， ,0， 2,C， 0,21F， 2,ECur， ,Bur， ,1Fur设平面 ECF的法向量为 ,nxyzr，得 20,xyz，取 1y，得平面 的一个法向量为 1,r，设直线 EB与平面 F所成的角的正弦值为 36.22解：（1） 2ln0axx，且 ， ln02ax.令 l2Ux，则 12aUx.当
9、 a时， ， 在 ,上为单调递增函数， 1x时， 10x，不合题意.当 02a时， 2,a时， 0Ux， x在 21,a上为单调递增函数， 1,x， 1x，不合题意.当 2a时， ,a， 0Ux， x在 2,1a上为单调递减函数. ,1x时， 1，不合题意.当 2a时， 0,x， 0x， x在 0,1上为单调递增函数.1,x， U， 在 1,上为单调递减函数. ，符合题意.综上， 2a.（2） 2lnagxx， 21,e.令 hx，则 hxa由已知 0在 21,e上有两个不等的实根.（A）当 2a时， 0x， 在 21,e上为单调递增函数，不合题意.当 时， h， 在 ,上为单调递减函数，不合题意.当 21ea时， 1,xa， 0hx， 2,ea， 0hx，所以， 0h， ， 2e，解得 21,.（B）由已知 1lnxa， 2ln0xa， 122l .不妨设 12x，则 120x，则 1212xa2121121lnlnxxx1212lnxx.令 lnG， 0.则2x， Gx在 ,1上为单调递增函数， 120x即 1122ln， 120ax， 12ax， 12ln，由（A） ea， ， ， 12lnx.
