1、2018 届福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高三期中考试数学文（解析版）满分：150 分 考试时间：120 分钟命题者：林婉查 审核者：洪贵福、林婉查、孙经、吴锋远 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的。1. 已知 为虚数单位，则复数 Z=( )A. 1+ B. 1- C. -1+ D. -1-【答案】D【解析】由已知 故选 D2. 命题“ ”的否定是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：“ ， 成立” 的否定是：“ ， 成立”，故选 C考点：特称命题的否定3. 实数 的大小关系正确的是
2、( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数的性质，知 ， ， ，即 ， ， ，故选 C.4. 一个几何体的三视图如图，其正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为 2，母线为为 2，故圆锥的底面半径为 1，高为 ，代入圆锥体积公式即可得到答案由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又正视图是腰长为 2 的等腰三角形, r=1，h= ,所以,故选 D考点：由三视图求体积点评：
3、本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何量（底面半径，高等）的大小是解答的关键5. 已知 是公差为 1 的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由 得 ，解得 .考点：等差数列.6. 定义在 R 上的函数 满足 时， 则 ( )A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】由已知定义在 R 上的函数 满足，故 ，故选 C7. 已知点 A 的坐标为 ，将 OA 绕坐标原点 逆时针旋转 至 OB，则点 B 的纵坐标为( ).A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，即点 的纵坐标为考点：复数几何意义8.
4、 已知函数 的图像在点 处的切线方程是 ，若 ，则 = ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：函数 y=f（x）的图象在点（1，f（1） ）处的切线方程是 x-2y+1=0，f（ 1）=1，f（1）= ， ， ，则考点：利用导数研究曲线上某点切线方程9. 在平行四边形 中， ， ， ，点 在 边上，且 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ， ， ，故选 D10. 等比数列 中， ， ，函数 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为函数 ，则 故选 C考点：导数的运算.11. 已知 O 为坐标原点，A(1,2)，点 P 的坐
5、标(x， y)满足约束条件 , 则 z 的最大值为( )A. 2 B. 1 C. 1 D. 2【答案】D【解析】问题转化为求在约束条件 下 zx 2y 的最大值约束条件可分为 和两部分，可判断 zx2y 过点(0，1)时取到最大值 212. 已知球 O 的半径为 R，A，B，C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为，则球 0 的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】在 中， ，由正弦定理可得平面 截球所得圆的半径（即 的外接圆半径） ， 又球心到平面 的距离 球的 半径 ，故球 O 的表面积 故选 D【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已
6、知条件求出球的半径是解答本题的关键二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 函数 的定义域为 _.【答案】【解析】函数 的定义域需满足 解得 故函数 的定义域为14. 我国古代数学名著张邱健算经有“分钱问题”如下：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱。与讫，还敛聚与均分之，人得百钱，问人几何？” 意思是：“将钱分给若干人，第一人给 3 钱，第二人给 4 钱，第三人给 5 钱，以此类推，每人比前一人多给 1 钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得 100 钱，问有多少人？”则分钱问题中的人数为_【答案】195【解析】试题
7、分析：本题考查等差数列相关知识，设人数为 ，依题意有 ，解得 ，所以共有 人.考点：等差数列.15. 当 时，函数 的最小值为_【答案】4【解析】试题分析： 当且仅当 时等号成立故答案为；4考点：三角函数的最值16. 已知 是定义在 R 上的偶函数，其导函数 ，若 ，且， ，则不等式 的解集为_【答案】【解析】根据题意，设 ，其导数 又由 ，则 ，函数 在上 为减函数，又由 是定义在 R 上的偶函数，且 ，则有 ，则函数 的周期为 3；若 ，则有即 又由函数 为减函数，则有 ，即不等式 的解集为 ；故答案为 【点睛】本题考查函数的导数的应用，考查构造法以及抽象函数的性质的应用，其中构造函数 和
8、根据 是定义在 R 上的偶函数，且 求出函数的周期是解题的关键三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数 ，在 和 处取得极值.（1）求函数 的解析式；（2）求函数 在 上的最值.【答案】 （1） （2）函数 在 上的最大值为 13 和最小值为 【解析】试题分析：（1）由函数的极值与导数的关系，得 和 是方程 的两个实数根，利用根与系数的关系建立关于 的方程组，解之即可得到 的值；（2）求导，列表，按利用到时求函数在闭区间上的最值的一般步骤可求函数 在 上的最值.试题解析:（1） ， ， 在 和 处取得极值， ，即 ， 。 解得 ， （2） ，由 ，解得
9、 或 ，当 在 上变化时， 和 的变化如下：1 + 0 +单调递增 极大值 单调递减极小值单调递增 4 由表格可知当 时，函数 取得最小值 ，在 时，函数取得极大值同时也是最大值，故函数 在 上的最大值为 13 和最小值为 18. 已知等差数列 的各项均为正数， 且 成等比数列，（1）求 的通项公式（2）设 ，求 的前 项和【答案】 【解析】试题分析：（1）由于 成等比数列，所以 ，由此求出数列的公差，即得其通项公式；（2）把（1）的结果代入 可得 ，利用裂项法可求得其前 项和 试题解析：（1） 设公差为 ，由题意知 .成等比数列， .，即 ，解得 舍去）.（2） ,考点：等差数列额通项公式及
10、数列求和.19. 在 中，内角 A,B,C,所对应的边为 且 ,且 （1）求角 A 的大小（2）若 ， ， ，求 的面积【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式便可得到 ，而由条件得出 ，且 ，从而便可得出 ，这样便可求出 （2）可根据正弦定理求出 ，从而可判断出 ，这样便可得出 ，而由 即可求出 的值，从而由三角形的面积公式即可求出 的面积试题解析:（1） 因为所以 即 又因为 。得即 。所以 （2）因为 ，所以 由于 ，得 ，所以 故所以 的面积为 20. 如图，在多面体 中， 是等边三角形， 是等腰直角三角形， ，平面平面 ， 平面 ，点
11、为 的中点，连接 .(1) 求证： 平面 ；(2)若 ，求三棱锥 的体积.【答案】()见解析() 【解析】试题分析：（1）由平面 平面 可得 平面 ，又 平面 ,得出 .，从而得出 平面 ；（2）过 作 ，则可证 平面 于是 试题解析:(1)证明： 是等腰直角三角形， ，点 为 的中点， . 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 . 平面 , . 平面 , 平面 , 平面 . (2)由(1)知 平面 , 点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离. 过 作 ，垂足为点 ， 平面 , 平面 , . 平面 , 平面 , ， 平面 . ， 是等边三角形， ， ， . . 三棱锥 的体积为 .
12、21. 养正中学新校区内有一块以 O 为圆心，R（单位：米）为半径的半圆形荒地（如图） ，校总务处计划对其开发利用，其中弓形 BCD 区域（阴影部分）用于种植观赏植物，OBD 区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售。已知种植观赏植物的成本是每平方米 20 元，种植花卉的利润是每平方米 80 元，种植草皮的利润是每平方米 30 元。（1）设 （单位：弧度） ，用表示弓形 BCD 的面积（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地。如何设计 的大小才能使总利润最大？并求出该最大值【答案】 （1） （2）当扇形的圆心角为 时，总利润取得最大值为【解析】试题分析：（1）由 ，利用扇形及三角形面积公式即得；（2）由题意列出函数关系式，利用导数判断函数单调性求得最大值即可试题解析:（1）扇形 的面积（2）设总利润为 元，种植草皮利润为 元，种植花卉利润为 元，种植学校观赏植物成本为 元。则设 则，令 ，得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ，单调递增。
