1、2018 届甘肃省高台县第一中学高三上学期第五次模拟（12 月）数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2|540Mx， ,123N，则集合 MN中元素的个数为（ ）A1 B2 C3 D4 2.设 i为虚数单位，复数 z满足 i，则复数 z的共轭复数等于（ ）A B 1iC 1iD 1i 3.已知向量 (,)a， (2,)bx，若 ab与 平行，则实数 x的值是（ ）A 2B 0C D 2 4.已知 1()xf，则“ 12”是“ 12()fx”成立的（ ）A充分而不必要
2、条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 134B 14C 132D 12 6.若 x， y满足约束条件0,2,xy则 zxy的最大值为（ ）A 32B 1C 1D 3 7.甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则他们有多少种不同的坐法？（ ）A10 B16 C20 D24 8.若 x表示不超过 x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出 S的值为（ ）A3 B5 C7 D10 9.将函数 23sin()4yx图象上所有点的横坐标缩短为原来的 13，纵坐标不变，再向右平移
3、8个单位长度，得到函数 g的图象，则下列说法正确的是（ ）A函数 ()x的一条对称轴是 xB函数 ()gx的一个对称中心是 (,0)2C函数 的一条对称轴是 2D函数 的一个对称中心是 8 10. 1F， 2是双曲线 C： 1xyab（ 0a， b）的左、右焦点，过 1F的直线与 C的左、右两支分别交于点 A， B，若 2F为等边三角形，则双曲线 C的离心率为（ ）A 4B 7C 23D 3 11.已知函数 3log,0,()|4|xf若函数 ()2hxfmx有三个不同的零点，则实数 m的取值范围是（ ）A 1(,)2B 1(,)(,)2C ,)D 12.设函数 (yfx在区间 (,)ab上的
4、导函数为 ()fx， f在区间 (,)ab上的导函数为 ()fx，若在区间 (,)ab上 (0fx恒成立，则称函数 ()fx在区间 (,)ab上为“凸函数” 已知432126fm，若对任意的实数 m满足 |2时，函数 ()fx在区间 (,)ab上为“凸函数” ，则 的最大值为（ ）A B C D 1 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知随机变量 X服从正态分布 2(,)N，且 (02).3PX，则 (4)PX 14.已知等差数列 na的前 项和为 nS， 、 A、 B三点共线，且 32016OaAB，则 2018S 15.在 ABC中，角
5、 ， ， C所对的边分别为 a， b， c，且 2，1cos4， 3sin2iB，则 c 16.已知三棱锥 S外接球的直径 6S，且 3ABC，则三棱锥 SABC的体积为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数 2()3fx，数列 na中 0，满足 1()nnaf（ *N） ，且 2587a（1）求数列 na的通项；（2）若数列 b的前 项和为 nS，且 nb，求 nS18.在 ABC中， ， ， c分别是角 A， B， C的对边，且满足 2cosabBC（1）求角 的大小；（2）设函数 23()2sincosinsfxxx，
6、求函数 ()fx在区间 0,2上的值域19.甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发 50 个红包，每个红包金额为 x元，1,5x已知在每轮游戏中所产生的 50 个红包金额的频率分布直方图如图所示（1）求 a的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；（2）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在 1,2)的红包个数为 X，求 的分布列和期望20.如甲图所示，在矩形 ABCD中， 4， 2A， E是 CD的中点，将 AE沿 D折起到1DAE位置，使平面 1E平面 ，得到乙图所示的四棱锥 1B（1）求证： BE平面 1DA；（2）求二面
7、角 C的余弦值21.设函数 2()ln()fxax， R（1）讨论函数 的单调性；（2）若函数 ()fx有两个极值点 1x， 2，且 12x，求证： 22()1)fxxe请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系 xOy中，以 为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， P点极坐标为 (3,)4，曲线 C的极坐标方程为 2cos()4（ 为参数） （1）写出点 P的直角坐标及曲线 C的直角坐标方程；（2）若 Q为曲线 上的动点，求 PQ的中点 M到直线 l： 2cos4in2的距离的最小值23.选修 4-5
8、：不等式选讲已知函数 ()|2|fxax（1）当 3时，求不等式 ()7f的解集；（2）若 ()|4|fx的解集包含 0,，求 a的取值范围高台一中 2017 年秋学期高三年级第五次检测数学试题（理科）答案一、选择题1-5:CAD 6-10:BC 11、12： AC二、填空题13.0.2 14.109 15.4 16. 92三、解答题17.解：（1）由已知 12()3nnafa，即 123n，所以数列 na是公比为 3q的等比数列，又 2587a，即 4187q，即 251()，的 21()，又 0n，得 32，故 13nnna（2）由（1）知， 2()nb，10212 ()33nnnS 10
9、2()()(1)3nn1()(1)23n2193()n18.解：（1） cosabBC， ()cosabCB， 2sincoiinA， s()sA 是 B的内角， i0， 2cos1， 3C（2）由（1）可知 3， 2()sin2(1sin)fxx13sicos2xin()3由 0,， 33， i()1，函数 ()fx的值域为 ,1219.解：（1）由题可得 (0.8.3)1a， 0.3a，众数为 2.5（2）由频率分布直方图可得，红包金额在 ,2的概率为 5，则 1(,)5XB， X的取值为 0，1,2,3，346()()512PC， 12348()()PXC， 21234()()5PC，3
10、 X的分布列为：0 1 2 3P64125482515125 83() 1EX（或 3()EX） 20.（1）证明：如图，取 AE中点 F，连接 D，在 1A中， 1DE， DF，又平面 1平面 BC， 1平面 BCE， BE平面 A， 1DFE， 1DF在 中，易得 2， 2, 4A, ，又 1， BE平面 DA（2）由题意，取 中点 G，以 E为坐标原点，分别以 EG， C为 x， y轴正方向建立空间直角坐标系 xyz，如图所示，则 (0,)， (,20)C， 1(,2)D， (,0)B，由（1）知(,0)EB是平面 1AD的法向量，设平面 的法向量为 mxyz，则1,(2,),20,mC
11、xyzyxz令 1，则 2， 0， (,0)，设二面角 1EC的平面角为 ，则 (,),)23|cos|,| |20|(EBm ，由图可知，二面角 1ADC的余弦值为 321.解：（1）函数 ()fx的定义域为 (1,)，2()2aafx，令 2gxa，则 48a当 1时， 0， ()gx，从而 ()0f，故函数 ()fx在 1,)上单调递增；当 2a时， ， 的两个根为 12ax， 2a，当 0时， 12x，此时，当 (,)函数 ()fx单调递减；当(,)ax函数 ()fx单调递增当 102时， 12，此时函数 ()fx在区间 12(,)a， 12(,)a单调递增；当 (,)aax函数 ()
12、f单调递减综上：当 12时，函数 (fx在 1,上单调递增；当 0a时，函数 )f在区间 2,)a， 12(,)a单调递增；在区间1212(,)a函数 ()fx单调递减；当 0a时， (,)x函数 ()f单调递减；当 12(,)ax函数 ()fx单调递增（2）当函数 ()fx有两个极值点时， 102a， 12ax(,0)，且 2()ga，即 ，2222 2ln(1)()ln(1)fxxxx， 2(,0)，22()l， 2,0，令 ()(1)lnhxx， 1(,)，()2ln(1)hx，令 ()0hx， 1(,)2e，函数单调递增；令 ()0， (,)e，函数单调递减；所以 max12()()1
13、h， 2fe， 21(,0)x， 22fxe22.解：（1）点 P的直角坐标为 32(,)由 2cos()4，得 2cosin，将 xy， sx， iy代入，可得曲线 C的直角坐标方程为 22()()1（2）直线 l： 2cos4in的直角坐标方程为 420xy，设点 Q的直角坐标为 2(,si)，则 cosin(,)M，那么 M到直线 l的距离 2cossin|2()4()2|5cos2in|5sin()2d， 510（当且仅当 sin()1时取等号） ，所以 M到直线 l： 2cos4i2的距离的最小值为 01223.解：（1）当 3a时，21,3,()5,xf当 x时，由 ()7fx，得 217x，解得 4x；当 32时， 无解；当 x时，由 ()fx，得 x，解得 3x所以 ()7f的解集为 ,43,)（2） |x等价于 |2|xax，当 0,时， |等价于 a，由条件得 a且 2，即 0，故满足条件的 的取值范围为 ,
