1、衡阳市八中 2018 届高三第三次月考试题数学（文科）分值：150 分 时量：120 分钟一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设全集 ，集合 ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】则集合 故答案选2. 在一个文艺比赛中，10 名专业人士和 10 名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分.下面是两个评判组对同一选手的打分：小组 A: 42 45 48 46 52 47 49 51 47 45小组 B：55 36 70 66 49 46 68 42 62 47根据打分判断“小组 A 与小
2、组 B 哪一个更像由专业人士组成？” ，应选用的统计量是（ ）A. 平均数 B. 残差 C. 标准差 D. 相关指数【答案】C【解析】由于专业裁判给分更符合专业规则，相似度高，度量每一组成员的相似性（即数据波动小）应用标准差，故选 C3. 已知复数 在复平面内对应的点分别为 和 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，复数 在复平面内对应的点分别为 和故答案选4. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 22 毫米，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，
3、现向硬币内随机投掷 100 粒芝麻，已知恰有 30 粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知圆形金质纪念币的直径为 ，得半径则圆形金质纪念币的面积为所以估计军旗的面积大约是故答案选5. 数列 中， “ ”是“ 为等比数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当 为等比数列时，满足 ，当 时，不满足 时的情况，故 是 为等比数列的必要不充分条件。故答案选6. 如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点若 M，O，N 将椭圆长轴四等
4、分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B【解析】 是双曲线的两顶点， 将椭圆长轴四等分椭圆的长轴长是双曲线实轴长的 倍双曲线与椭圆有公共焦点，的离心率的比值是故答案选7. 设向量 与 垂直，则 等于( )A. B. C. 0 D. 1【答案】C【解析】故答案选8. 为得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）A. 向右平移 个单位 B. 向左平移 个单位C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位【答案】C【解析】根据左加右减的原则看出将函数 的图象经过向右平移 个单位长度，可以得到函数的图象。故答案选点睛：三角函数的图象在平移的过程中遵循左加右减，
5、但是当未知数前有系数时，根据图象平移的法则需要提取系数，然后再作变换。9. 已知 为奇函数，函数 与 的图象关于直线 对称，若 ，则 （ ）A. -2 B. 2 C. -1 D. 1【答案】D【解析】 函数 与 的图象关于直线 对称，为奇函数，故答案选10. 在 中， ，则 的值为 （ ）A. B. C. 或 D. 【答案】A【解析】 ，又故答案选11. 如图， 为正方体，下面结论： 平面 ； ； 平面 ；直线 与 所成的角为 45其中正确结论的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】 中，由正方体的性质得 ，所以 平面 ，故 正确；中，由正方体的性质得 ，而 是
6、在底面 内的射影，由三垂线定理知， ，故正确中由正方体的性质得 ，由 知， ， ，同理可证，故 平面 内的两条相交直线，所以 平面 ，故 正确；中异面直线 与 所成的角就是直线 与 所成的角，故 为异面直线 与 所成的角，在等腰直角 中， ，故直线 与 所成的角为 45，故 正确；故答案选12. 已知函数 若函数 的图象关于直线 对称，且在区间 上具有单调性，则 的取值集合为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 化简得:的图象关于直线 对称则 在区间 上具有单调性，当在 上是单调递增时，得，解得由 知，当 时， ，满足 式；当 时， ，满足 式；当 时， ，满足 式；得 的取
7、值集合为故答案选点睛：本题需要运用和与差的公式和辅助角公式来进行化简，根据题目给出的条件，可以求得 然后建立两者之间的数量关系，再依据单调性建立不等式，最后求得结果。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 若 ，则 _.【答案】【解析】故答案为14. 等差数列 中，已知 ，且公差 ，则其前 项和取最小值时的 的值为_.【答案】8【解析】，则即，由二次函数的对称轴为 可知，当 时， 取最小值。故答案为15. 若实数 x，y 满足 则 的最小值是_.【答案】1【解析】由约束条件 ，作出可行域如图：令 ，则 ，由图可知，当直线 过 时，有最小值为的最小值是故答案为点睛：简
8、单的线性规划问题，首先要先依据约束条件画出可行域，然后再求最优解，最后取得结果，本题中要求幂的问题，可以先换元，求得 的最优解，从而求得最终结果。16. 已知三棱锥 ，在底面 中， ， ， 面 ， ，则此三棱锥的外接球的表面积为_. 【答案】【解析】如图： 为球心， 为底面 截面圆的圆心， 面在底面 中， ， ，根据正弦定理得出： ，即面根据等腰三角形得故答案为点睛：本题有一定难度，需要空间想象，首先要找出圆心所在的位置，然后借助正弦定理和等腰三角形的性质来求解球的半径，要做好立体图与平面图的转换以及各知识点的运用。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721
9、 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17. 已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ，且 ， 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析： 根据条件可知 ，即 ， 和的关系，求出 和 的值，即可求出数列 的通项公式；求得数列 的通项公式，采用乘以公比“错位相减法” ，即可求出数列 的前 项和解析：（1）由题得 ，设等差数列 的公差为 ，则 ， 化简得 . ，得 ， ，即（2）由题意可知， ，-，得 ， .18. 如图，已知四棱锥 中，底面 为菱形，
10、且 ， 是边长为的正三角形，且平面 平面 ，点 是 的中点.（1）证明： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）连结 交 于 ，连结 ，由中位线定理可得 ，根据线面平行的判定定理可得 平面 ；（2）取 中点 ，连结 ，则 平面 ，由 ，即可求出三棱锥 的体积.试题解析：（）连结 交 于 ，连结 ，因为 为菱形， ，所以 ，由直线 不在平面 内， 平面 ，所以 平面 .（）取 的中点 ，连接 ，则 ，且 .因为平面 平面 ，所以 平面 .所以 ，又 是 中点，所以 .所以 .【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的性质、线面垂直的判定、
11、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的.19. 某省的一个气象站观测点在连续 4 天里记录的 指数 与当天的空气水平可见度 （单位： ）的情况如表 1：7000.5 3.5 6.5 9.5该省某市 2017 年 9 月 指数频数分布如表 2：频数3 6 12 6 3（1）设 ，根据表 1 的数据，求出 关于 的线性回归方程；（2）小李在该市开了一家洗车店，经统计，洗车店平均每天的收入与 指数有相关关系，如表 3：日均收入（元）根据表 3 估计小李的洗车店 9 月份平均每天的收入（附参考公式： ，其中 ， ）【答案】 （1） （2）2400【解析】试题分析： 根据表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；根据表 数据，计算洗车店该月份平均每天的收入值即可。解析:（1） ， ， ，
