1、湖南省五市十校教研教改共同体 2018 届高三 12 月联考数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 20Mx， 1Nxy，则 MN（ ）A 1x B 12x C 2x D 0x2.已知 i是虚数单位，复数 z满足 iz，则 z的虚部是（ ）A1 B i C 1 D i3.已知实数 ,xy满足 xya，则下列关系式恒成立的是（ ）A 1 B sinxy C 22lg1lxy D 3xy4.世界数学名题“ 3x问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以 2，如果它
2、是奇数，我们就把它乘 3 再加上 1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为 1.现根据此问题设计一个程序框图如图所示.执行该程序框图，输入的 5N，则输出 i（ ）A3 B5 C6 D75.已知 nS是等比数列 na的前 项和， 396S、 、 成等差数列，若 83a，则 25a为（ ）A3 B6 C. 8 D96.若实数 ,xy满足不等式组10xya，若目标函数 2zaxy的最大值为 1，则实数 a的值是（ ）A 21 B1 C. 2+1 D37.图一是美丽的“勾股树” ，它是一个直角三角形分别以
3、它的每一边向外作正方形而得到.图二是第 1 代“勾股树” ，重复图二的作法，得到图三为第 2 代“勾股树” ，以此类推，已知最大的正方形面积为 1，则第 n代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A n B 2n C. 1n D 1n8.设双曲线 2:10,xyCab的右焦点为 ,0Fc，点 MN、 在双曲线 C上， O是坐标原点，若四边行为平行四边形，且四边形 OFMN的面积为 b，则双曲线 C的离心率为（ ）A 3 B2 C. 2 D 239.将余弦函数 cosfx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍（横坐标不变） ，再将所得到的图象向右平移 2个单位长度，得到函数 gx的图象.若关于
4、 x的方程 fxgm在 0,内有两个不同的解，则实数 m的取值范围为（ ）A 1, B 1,2 C.2, D 1,210. 已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A 4 B 5 C. 6 D 811. 定义在实数集 R上的函数 fx，满足 44fxffx，当 0,2时， 31xf，则函数 2log1gxf的零点个数为（ ）A31 B32 C. 63 D6412. 在 C中， 39A， 2ACB，点 P是 ABC所在平面内一点，则当22P取得最小值时， P（ ）A 24 B 62 C. 9
5、2 D24第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 41x的展开式中 3x的系数为 14已知 mn、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面.若 /,，则 ；如果 ,/n，则 n；若 ,m，且 /，则 /m；若 n、 不平行，则 与 n不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是 15过抛物线 2:0Cypx的焦点 F的直线 l与抛物线交于 MN、 两点（其中 点在第一象限） ，若3MNF，则直线 l的斜率为 16设数列 na的前 项积是 nT，且 *112,2nnTn， 13a.若 1nnba，则数列nb的前 项和 S为 三、解答题 （本大题共 6
6、 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量 sin,31,cosaxbx，且函数 fxab.（1）若 b，求 t2的值；（2）在 ABC中， 且 0fB，求 AC面积的最大值.18.如图，四边形 D与 EF均为菱形， 60DBF，且 AFC.（1）求证： AC平面 BDEF；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.19. “一带一路”近年来成为了百姓耳熟能详的热门词汇，对于旅游业来说， “一带一路”战略的提出，让“丝路之旅”超越了旅游产品、旅游线路的简单范畴，赋予了旅游促进跨区域融合的新理念. 而其带来的设施互通、经济合作、人员往来、文化交融更是将为相关区
7、域旅游发展带来巨大的发展机遇.为此，旅游企业们积极拓展相关线路；各地旅游主管部门也在大力打造丝路特色旅游品牌和服务.某市旅游局为了解游客的情况，以便制定相应的策略. 在某月中随机抽取甲、乙两个景点 10 天的游客数，统计得到茎叶图如下：（1）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据，以每天游客人数频率作为概率.今从这段时期内任取 4 天，记其中游客数超过 130 人的天数为 ，求概率 2P ；（2）现从上图 20 天的数据中任取 2 天的数据（甲、乙两景点中各取 1 天） ，记其中游客数不低于 125 且不高于 135 人的天数为 ，求 的分布列和数学期望.20.已知椭圆 2:
8、10xyCab的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆 C的长轴长为直径的圆与直线 0相切.（1）求椭圆 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不平行于 x轴的动直线与椭圆 C相交于 AB、 两点，探究在 x轴上是否存在定点 E，使得 EAB为定值？若存在，试求出定值和点 E的坐标；若不存在，请说明理由.21. 已知函数 ln,xfeaxaR.（1）当 a时，求函数 f的图象在 0处的切线方程；（2）若函数 fx在定义域上为单调增函数.求 a最大整数值； 证明：2341lnlnlnne.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4:坐标系与参数方
9、程在平面直角坐标系中，直线 l经过点 0,1P，倾斜角为 6.在以原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C的方程为 4sin.（1）写出直线 l的参数方程和曲线 C的直角坐标方程；（2）设直线 与曲线 相交于 AB、 两点，求 1PAB的值.23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 1fx.（1）求不等式 2fx的解集 A；（2）证明：对于任意的 ab、 ，都有 fabffb成立.试卷答案一、选择题1-5: AADCB 6-10: BDCAB 11、12：BD二、填空题13. 4 14. 15. 2 16. 12n三、解答题17. （1）由题意知， sin3cos0fxabx， t
10、an3x， 2ttan1.（2）由题意知， sin3cos2in3fxbxx ， 2sin03fB，又 B， 3.在 AC中， 2214acaca. 1sin3BS，当且仅当 2c时“ ”成立，故 的面积的最大值为 . 18. （1）设 AC与 D相交于点 O，连接 F，四边形 B为菱形， AB，且 为 AC中点， F， F,又 O， 平面 E.（2）连接 D，四边形 B为菱形，且 60DBF， BF为等边三角形， 为 B中点， FO，又 ACO， 平面 ACD. ,A两两垂直，建立空间直角坐标系 xyz，如图所示，设 2AB，四边形 ABCD为菱形， 60AB， 2,3DAC. DF为等边三
11、角形， 3OF. 3,0,1,0,， ,3,3,10ACCB.设平面 BF的法向量为 ,nxyz，则 0Fnxzy，取 1x，得 ,31.设直线 A与平面 C所成角为 ，则 0sinco,5AFn.19. （1）由题意知，景点甲的每一天的游客数超过 130 人的概率为 42105.任取 4 天，即是进行了 4 次独立重复试验，其中有 次发生， 则随机变量 服从二项分布 24,5B:， 201PP043214 43513556CC.（2）从图中看出，景点甲的数据中符合条件的只有 1 天，景点乙的数据中符合条件的有 4 天，所以在景点甲中被选出的概率为 10，在景点乙中被选出的概率为 25.由题意
12、知 的所有可能的取值为 0、1、2，则 9327015P； 391+50P；2. 的分布列为 2710525E.20. （1）由题意知， 220bca，解得21abc，则椭圆 C的方程为 1xy.（2）当直线的斜率存在时，设直线 10ykx,联立 21xyk，得 2224,80kxk，224,11ABABxxk.假设 轴上存在定点 0,E，使得 EAB为定值， 200,ABABABExyxyxxy2001ABBABk222001ABABkxkxk22004k.要使 EAB为定值，则 EAB的值与 k无关， 220041xx，解得 054x，此时 716为定值，定点为 5,.当直线的斜率不存在时
13、，也满足条件.21. （1）当 a时， ln1xfex， 01f，又 ln1xfe， 0f，则所求切线方程为 yx，即 1y.（2）由题意知，/(x) =，一 ln(x + a)若函数 fx在定义域上为单调增函数，则/ 0fx恒成立.先证明 1e.设 1xge，则 1ge，则函数 gx在 ,0上单调递减，在 0,上单调递增， ，即 1xe.同理可证 lnx， 2lnx, 1ln2xex.当 2a时， 0f恒成立.当 3时， 1lnfa，即 ln0xfea不恒成立. 综上所述， a的最大整数值为 2. 由知， l2xe，令 1tx，1lnlnttt， 1lntte.由此可知，当 1t时， 0l2
14、e.当 t时，213l，当 3t时，324lne， ，当 tn时， 1lnne.累加得23012141lllnne .又 01211nn eeee，234lnlnln1ne.22.（1）直线 l的参数方程为30cos621inxtty( 为参数）. 4sin， 24sin， 24xy，即 224yx，故曲线 C的直角坐标方程为 2y.（2）将 l的参数方程代入曲线 C的直角坐标方程，得 230t，显然 0, 21,3ltt, 12PAB，212114PABttt， 3PAB.23.（1） 21fx， 120x.当 x时，不等式可化为 ，解得 1x， x；当 12,不等式可化为 120x，解得 ， 无解；当 x时，不等式可化为 ，解得 1x， .综上所述， 1Ax或 .（2） 11fafbababa，要证 fff成立，只需证 ，即证 221ab，即证 2210ab,即证 210ab.由（1）知， 1Ax或 ， A、 ， ,， 20ab成立.综上所述，对于任意的 abA、 都有 fabffb成立.
