1、2018 届湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试数学（理）试题第 I 卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 已知复数 ，则下列命题中正确的个数为2z1i=- 的虚部为 在复平面上对应点在第一象限zizA1 B2 C3 D4 2下列函数为偶函数且在(0，) 上为增函数的是A B20()cos)xftd=23()fx=+C D21f+ )xfe-3 已知集合 ，集合 ，则集合 且 为lgxy21yxABxA B 2,1,C D 214下列说法正确的是A “ ，若 ，则 且 ”是真命题,xyR“0xy+1x
2、y-B在同一坐标系中，函数 与 的图象关于 轴对称()f()fxyC命题“ ，使得 ”的否定是“ ，都有 ”$23D ， “ ”是“ ”的充分不必要条件aR15 如图，在 中， ， 是 上的一点，ABV3NC=urPBN若 ，则实数 的值为 29Pm=+urmA B C1 D31136九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1 匹= 尺，一丈= 尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅40长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第 5 题图第一天织 尺，一月织了七匹
3、三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有 天，记该女子一个月中的第5 31天所织布的尺数为 ，则 的值为nna1329312480aA B C D293065 157若 ，则 的值为13tan,(,)t24sin(2)4A B C D0510258 某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位： ）满足函数关系 （yx bkxey为自然对数的底数， 为常数） ，若该食品在 0 的保鲜时间是 小时，在 的保鲜71.2e,kb 19C时间是 小时，则该食品在 的保鲜时间是( ) 小时43A B C D 22439已知函数 的部分图像如所示，为了得到 的图像需将()sin)(0,)fx()yf
4、x=的图像cos2y=A向右平移 个单位长度 3B向左平移 个单位长度 C向右平移 个单位长度 6D向左平移 个单位长度10 已知定义在 上的偶函数 ，满足 ，且 时，R)(xf )(4(xff2,0，则方程 在区间 上根的个数是()sin2sifx0lg)1A B C D18191911在 和 中， 是 的中点， ，若CVEF63ABEFCA=， ，则 与 的夹角的余弦值为2B+=urruurA B C D 13341-12设函数 （其中 为自然对数的底数）恰有两个极值点 ，则下列()()xxfea-e 12,x2()第 II 卷二、填空题（每题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上）1
5、3函数 的单调递增区间是_ 2lg(3)yx14 已知向量 ， ，且 ，则 6,a(1,bmab215已知数列 的通项公式为 ，当 n 21904n=-+-1234a+35a取得最大值时， 的值为_12a+L16 若函数 yfx满足 bxaff)()(（其中 ） ，则称函数 )(xfy为“中心20b对称函数” ，称点 ),(b为函数 的“中心点” 现有如下命题：函数 是“中心对称函数” ；sin1f若“中心对称函数” yfx在 上的“中心点”为 ,af，则函数 Fxfaf是R上的奇函数；R函数 326fx是“中心对称函数” ，且它的 “中心点”一定为 1,2；函数 cos)(是“ 中心对称函数
6、” ，且它的“中心点”一定为 (,)其中正确的命题是_ _ （写出所有正确命题的序号）三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17 （本小题满分 10 分）已知向量 ， ，函数 (,cos()ainx(2cos,)bx=r ()1fxab=+r（）求 的对称中心；)f（）求函数 (在区间 上的最大值和最小值，并求出相应 的值0,18 （本小题满分 12 分)已知函数 ( )(fx4log(1)xkR（）当 时，若方程 0 有解，求实数 的取值范围；2k=-fmm（）试讨论 的奇偶性()fx19(本小题满分 12 分)已知数列 ， ， 为数列 的
7、前 项和，且满足 ， ，nabnSna214ab2nSa（ ） 21()nb*N（）求数列 的通项公式；n（）试问 能否为等差数列，请说明理由；b（III）若数列 的通项公式为 ，令 为 的前 项的和，求 nc,24nnabc为 奇 数， 为 偶 数 nTc2nT20 （本小题满分 12 分)已知函数 （ ， 为自然对数的底数） -xfeaRe（）讨论函数 的单调性；（）若 ，函数 在 上为增函数，求实数 的取值范12xgxmf,m围21 (本小题满分 12 分)如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地 ，其中ABO3,km=,Bk物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖 ，其中 都在边 上（ 不
8、与90AOB=o MNA,MN重合， 在 之间） ，且 ,M,N30MN=o（）若 在距离 点 处，求点 之间的距离；A2km,（）为节省投入资金，三角形人工湖 的面积要尽可能小试确定 的位置，使 的面OV积最小，并求出最小面积第 21 题图 22 （本小题满分 12 分）已知数列 满足 na1nt(,3,)tNtnt， 为 常 数（）设 ， ，证明： ；112nii nSa=+L*(1)lnnSt+（）证明： （ 为自然对数底数） ；nae（）设 ， ，试比较与 与 的大小关系，并说1231()()()tttttnk nTa *NnT1明理由1 C 2 D 3 D 4 B 5 A 6 B 7
9、 C 8 C 9 A 10 B 11 B 12 C 第 II 卷二、填空题：每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上13 或 (3,1-(,)-14 415 9n=16 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 解：（I）因为 = 2sincos()2cos1xx()1fxab+r2i1= in= 4 分s()4p-所以 的对称中心为 5 分()fx,0()28kZ（II）由（I）得， f= sincosx= in24x， 7 分因为 0,2x，所以 3,4，所以当 4时，即 8x时， ()fx的最大值是 2； 第 6 题图当 24x时，即
10、 0x时， ()fx的最小值是 1 10 分18 （本小题满分 12 分)解：（）由 ， m(fx4log(1)x2m4log2x41l()2x ， 6 分12x+（）依题意得定义域为 ,关于原点对称 R ， ，()f=4log()xk()fx-=4log(1)xk令 ，得 ，即 ，f-41lx2klx2 对一切 恒成立2xkR 时 ，此时函数 是偶函数9 分1=-()ff-()f ，函数 不是奇函数，0441()loglog2fk()fx综上，当 时，函数 是偶函数；当 时，函数 是非奇非偶函数 12k-()fx2k-()f12 分19、(本小题满分 12 分)解：（）当 时， ，1n112
11、Sa当 时，由 ，得： ，则 ，1n12nna12na综上， 是公比为 2，首项为 2 的等比数列， ；3 分na（） 是等差数列，理由如下：b ， ， ，214a21()nnb1nb综上， 是公差为 1，首项为 1 的等差数列，且 ；7 分nb 2n（）令 21nnpc2221()()(41)(4)nn n 0121323474(5)()nnnT - ，得：所以01212 164344(4)3(1)4nnn nnT 12 分719n20 （本小题满分 12 分)解：（）函数 的定义域为 ， fxRxfea当 时， ， 在 上为增函数；0a0fx当 时，由 得 ，fln当 时， ，函数 在 上
12、为减函数，,lnxfxfx,lna当 时， ，函数 在 上为增函数 4 分a0（）当 时， ，12xxgxme 在 上为增函数； 在 上恒成立，即x2,10xgme2,在 上恒成立， 6 分1xem,令 ， ，则 ，1xhe2,21xxeeh21x令 ， 在 上恒成立，xL10xLe2,即 在 上为增函数，即 ，2e,240Lxe ，即 在 上为增函数， ，0hx1xeh2,21h ，所以实数 的取值范围是 12 分21emm21,e21 (本小题满分 12 分)解：（）在 中，因为 ，所以 ，ABOV390OBA=o， ， 60OAB=o在 中，由余弦定理得： ，M22cs7MM+-所以 ，
13、7=所以 ，2227cosOAM+-=在 中，NV，sinsi()sin(90)NAO+o27csAOM=在 中，由 ，得 ； 6 分Oin30i=o 7142=（）解法 1：设 ，,60AMqo在 中，由 ，得 ，VsinsiOAB=32sin(60)Mq=+o在 中，由 ，得 ，ONiiN3i(9)2cs所以 11sn22MSO=V 3sin(60)1os 76i(0)co 278ico8 4sin23s4 7,068i(6)当 ，即 时， 的最小值为 260915OMNSV27(3)4-所以应设计 ，可使OMN 的面积最小，最小面积是 km212 分AOM=o解法 2：设 AMx，0 x
14、3在 OAM 中，由余弦定理得 OM2AO 2AM 22AOAM cosAx 23 x9 ，所以 OM ，所以 cosAOM ，x2 3x 9OA2 OM2 AM22OAOM在OAN 中，sin ONAsin( AAON) sin(AOM90)cos AOM ，由 ，得 ON ，ONsin OAB OAsin ONA所以 SOMN OMONsinMON ，0x3，12 12 x2 3x 9 12令 6xt ，则 x6 t，3 t6 ，则：SOMN (t9 ) (2 9 ) 当且仅当 t ，即 t3 ，x6 327t 27t 3时等号成立，S OMN 的最小值为 ，3所以 M 的位置为距离 A
15、点 63 km 处，可使OMN 的面积最小，最小面积是 km2322 （本小题满分 12 分）解：（）即证： ，121ln()()()()tatta即证： ，ln23设 ， ，()ln()gx1(xgx当 时， ， 在 上单调递增，00),)当 时， ， 在 上单调递减，1x(x(10 （当且仅当 时等号成立） ，()ln)ggx即 时，有 ，0xl(1x ，13412nllnl()23 4 分12(1)lntaa（用数学归纳法给分）（）由（）知：当 且 时，有 ，x0ln(1)x即当 且 时，有 ，01l因为 ，所以 ，ntatlnna即 8 分1e（） ，理由如下： 1231()=()()1ntttttk nT+L解法一：由（）知： ttttaa 312111()()()()naattt teee-+Laattt t=+，21()ttnte22211()tttttee设 ，因为 ，1teq3142t
