1、2018 届江苏省常州市高三上学期武进区高中数学期中试卷（理） （解析版）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1. 已知 ， ，则 _.【答案】【解析】 即答案为2. 函数 的最小正周期为_.【答案】【解析】函数 的最小正周期为 3. 设 R，则“ ”是“ ”的_条件. （用 “充要” 、“充分不必要” 、“必要不充分” 或“既不充分也不必要条件”填空）【答案】必要不充分【解析】 故 是 必要不充分条件，故答案为：必要不充分4. 已知数列 中， ，对 都有 成立，则 的值为_.【答案】【解析】根据题意， ，则 ，则 ， ，由此分析可
2、得 ， 则 故答案为 【点睛】本题考查数列的递推公式，解题的关键是分析数列，发现数列变化的周期性规律5. 已知向量 ， ，且 ，则实数 的值为_.【答案】3【解析】根据题意，向量 若 ，则 解可得 ；故答案为：36. 的内角 、 、 的对边分别为、 、，若 ， ， ，则角 等于_.【答案】【解析】 由正弦定理 ，可得 则 即答案为 7. 等比数列 中， ，公比 ，其前 项的和为 ，则 _.【答案】31【解析】等比数列 中， ，公比 ， ， 解得 ， 故答案为 318. 已知锐角 的终边上一点 ，则锐角 _【答案】 或【解析】锐角 的终边上一点 ，则 锐角 故答案为 9. 函数 是定义在 R 上
3、的偶函数，且在 上是增函数，若 ，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】又由题设可知函数在区间 上是单调递减函数，故不等式 可化为 ，解之得 或 ，应填答案 。点睛：本题将函数的单调性、奇偶性、对称性有机整合在一起，旨在考查函数的单调性、奇偶性、对称性等基础知识及综合运用。求解时先依据对称性判定出函数在区间 上是单调递减函数，然后借助函数的单调性将不等式进行等价化归，通过解不等式使得问题获解。10. 已知 ，且 ，则 的值为_【答案】【解析】由题 ，且 ， ，两边平方可得 ，解得 ，联立，解得： ， 故答案为11. 设函数 ，则满足 的 x 的取值范围是_.【答案】【解析】函数 ，则满足当 时
4、， ， ，解得 不成立；当 ，即 时，解得 当 时， ，解得 综上， 的取值范围是 故答案为【点睛】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函分段函数性质的合理运用12. 已知 ， ， ，则 的最大值为_.【答案】【解析】由题， 而 即 ，当且仅当 ，即时取等号则 ，故答案为 13. 已知点 为矩形 所在平面上一点，若 ， ， ，则 _.【答案】【解析】 建立平面直角坐标系，如图所示；设由 ， ， ，得 ； ； .；-得， .；-得， ； 故答案为14. 已知数列 中， ，点列 在 内部，且 与 的面积比为 ，若对都存在数列 满足 ，则 的值为_.【答案】80【解析】 在 上取点 ，使得
5、，则 在线段 上， 三点共线，即 故答案为：80二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图为函数 图像的一部分，其中点 是图像的一个最高点，点 是与点 相邻的图像与 轴的一个交点. 求函数 的解析式； 若将函数 的图像沿 轴向右平移 个单位，再把所得图像上每一点的横坐标都变为原来的 （纵坐标不变） ，得到函数 的图像，求函数 的单调递增区间.【答案】(1) 【解析】试题分析：（1）由函数 的图象求出 和 的值，写出 的解析式；（2）根据函数图象平移法则，写出平移后的函数解析式，求出它的单调增区间试题解析：（1）由图像可知 ， 又 ，
6、 ， ， 又 点 是函数图像 的一个最高点，则 ， ， ， 故 由得， ，把函数 的图像沿 轴向右平移 个单位，得到 ，再把所得图像上每一点的横坐标都变为原来的 （纵坐标不变） ，得到 ， 由 得 ， 的单调增区间是 .16. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ，点 是平面直角坐标系 上一点，且（ ， ）， 若 ，且 ，试求实数 的值； 若点 在 三边围成的区域(含边界) 上，求 的最大值【答案】 (2) 【解析】试题分析：（1）直接利用向量的线性运算求出对应的值（2）利用线性规划问题求出对应的结果试题解析：由题设知： ， ， ， ， 又 ， ，得 ，所以，满足题意的实数 .(2)设 ，
7、， ， 令 ，由图知，当直线 过点 时，取得最大值 ，故 的最大值为 .17. 已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时， . 求 在 R 上的解析式；当 时，若 f (x)的值域为 ，求实数 m，n 的值【答案】(1) (2) ， .试题解析：(1) 当 时， ，故当 时，则 ， ，由于 是奇函数，则 ， 又 ， 故当 时， (2)当 时， ， ， 在 上单调递增， ， ， 为 的两个正实数根， ， ， 为 的两个正实数根， 又由题意可知： ， ， .18. 某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示） ，按设计要求扇环的周长为 36 米，其中大圆弧所在圆的半径为 14 米，设小圆弧所在圆的半径为
8、 米，圆心角为（弧度）. 求关于 的函数关系式； 已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的装饰费用为16 元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为 ，求 关于 的函数关系式，并求出 的最大值.【答案】 的最大值为【解析】试题分析：（1）根据扇形的周长公式进行求解即可（2）结合花坛的面积公式，结合费用之间的关系进行求解即可试题解析：由题可知 ， 所以 . 花坛的面积为 ，装饰总费用为 ， 所以花坛的面积与装饰总费用之比为 ， 令 ， ，则 ， 当且仅当 取等号，此时 ， ，故花坛的面积与装饰总费用之比为 ，且 的最大值为【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合扇形的周长和面积公式以及函数的性质是解决问题的关键19. 在数列 中， ， ， ，其中 求证：数列 为等差数列； 设 ， ，数列 的前 项和为 ，若当 且 为偶数时， 恒成立，求实数的取值范围； 设数列 的前 项的和为 ，试求数列 的最大值.【答案】见解析 试题解析：证明：， ，数列 是公差为 1 的等差数列； 由可知， ，故 .因为 ，
