1、山西省实验中学 2018 届高三上学期第二次月考数学（文）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合， ， （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 故选 A2. 已知是虚数单位，化简 为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，故选 C。3. 三个内角 所对的边为 ，已知 且 ，则角 等于（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】由正弦定理可得： ，则 ，又 ，所以 ，故选 A。4. 若两个非零向量 满足 ，则向量与 夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D
2、. 【答案】D【解析】因为 ，则 ，得 ，所以 ；根据条件得到图象，不妨设 ， ，则 ，则 ，故选 D。5. 设变量 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）A. 14 B. 10 C. 6 D. 4【答案】D【解析】则 过点 时，取最小值， ，故选 D。6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. 16 D. 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由长方体切掉半个圆柱，则 ，故选 A。7. 函数 的零点是 和 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，得 ，即 ，则 ，所以 ，故选 C。8. 设有一个正方形网
3、格(线条宽度忽略不计，部分网格如图)，其中每个最小正方形的边长都等于 .现用目前流通的直径是 的元硬币投掷到此网格上，则硬币完全落入网格内（与格线没有公共点）的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】一个小正方形内的完全落入的区域为 ，一个小正方形面积 ，所以概率为 ，故选 A。9. 函数 在 的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，为偶函数，则 B、D 错误；又当 时， ，当 时，得 ，则则极值点 ，故选 C。点睛：复杂函数的图象选择问题，首先利用对称性排除错误选项，如本题中得到为偶函数，排除 B、D 选项，在 A、C 选项中，由图可知，虽然两个图象在第
4、一象限都是先增后减，但两个图象的极值点位置不同， 则我们采取求导来判断极值点的位置，进一步找出正确图象。10. 过抛物线 焦点 的直线 交抛物线于 两点，且 ，则此抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 设抛物线准线交 轴于 ，分别过 作准线的垂线，垂足为 ，直线交准线于 ，如图所示：则 ，即 ，解得 ，又 ，即 ，解得 ，抛物线方程为 故选 B11. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题：若 ，则 ； 若 ，则 ； ，则 ；若 ，则 .其中正确的命题个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】存在反例 ，所以错误； 正确；存在反
5、例 ，所以错误；直线 可能相交或异面，所以错误。所以正确的是，个数为 1，故选 B。点睛：空间的点、线、面位置关系的判断题型，可以通过现实中的动手操作来寻找是否存在反例情况来判断。比如中，直线 可以在满足 的情况下上下移动，得到反例情况 ，所以错误。12. 若函数 在 上的图象与直线 恰有两个交点.则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可知， 在 存在两个最大值，则 ，所以 ，故选 A。点睛：三角函数的图象问题利用图象辅助解题，由题意可知，在 存在两个最大值，则在图象上得到第二个最大值 和第三个最大值 ，因为在 恰有两个最大值，则得到 ，解得答案。第卷（共 90
6、 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知双曲线 的渐近线过圆 的圆心，则 _【答案】4【解析】由题可知， ，圆心为 ，14. 执行如图所示的程序框图，则输出的 _【答案】-11【解析】模拟执行程序，可得 ，顺序执行语句， ；满足条件 执行循环体， ；满足条件 执行循环体， 满足条件 执行循环体， 满足条件 执行循环体， 满足条件 执行循环体， 满足条件 执行循环体， 满足条件 执行循环体， 满足条件 执行循环体， 满足条件 执行循环体， 不满足条件 ，退出循环，输出 1故答案为 1115. 已知 ，则 _【答案】【解析】 ，则 ，得 ， ，则 ，又 ，则
7、 ，则 。16. 某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本.进行 5 次试验，收集到的数据如表：由最小二乘法得到回归方程 ，则 _【答案】68【解析】 ，所以 ，得 。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和为 ，且 ， .（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：由已知可得由已知得 ，从而 ，由此能证明数列是等比数列，从而求出 （2）由已知得 ，由此利用错位相减法求出数列 的前 项和试题解析：（1） -得即数列
8、 是以 为首项， 为公比的等比数列（2）由 ， 左右两边乘于 2 得 -得【点睛】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前 项和的求法，解题时要注意构造法和错位相减法的合理运用18. 某校高一、高二、高三人数分别是 400 人、350 人、350 人.为调査该校学习情况，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本 .已知从高一的同学中抽取的同学有 8 人（1）求样本容量 的值和高二抽取的同学的人数（2）若从高二抽取的同学中选出 2 人参加某活动，已知高二被抽取的同学中有 2 名女生，求至少有 1 名女同学被选中的概率.【答案】(1) ,高二抽取的同学 人;(2) 至少有
9、 1 名女同学被选中的概率 .【解析】试题分析：（1）分层抽样就是满足比例关系即可，得到样本容量人数 ，则高二人数 7 人；（2）2 女 5 男，抽 2 人参加，至少 1 名女生的概率，本题利用穷举法得到总的种数为 21 种，符合要求的种数有 11 种，则概率为 。试题解析：（1）由题意可得 ，解得 ，从高二抽取的同学 人（2）由（1）知，从高二抽取的同学为 7 人，其中 2 位女生记为 ，4 位男生记为 ,则从这 7 位同学中任选 2 人，不同的结果有,共 21 种，从这 7 位同学中任选 2 人，有女生的有：共 11 种 故至少有 1 名女同学被选中的概率 .19. 如图所示， 为 的直径
10、，点 在 上（不与 重合)， 平面 ，点 分别为线段的中点 . 为线段 上(除点 外）的一个动点.（1）求证： 平面 ；（2）求证： .【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）根据线面平行的判定定理可知 ，所以 平面 ；（2）根据线面垂直的性质定理可知，要证明 ，只需 平面 ，可由线面垂直的判定定理证明，得证。试题解析：（1）证明： 是 的中点， 是 的中点， 平面点 不与点 重合， 平面 ， 平面 .（2）证明： 平面 , 平面 , ,又 是 的直径， ,又 , 平面 , 平面 , .20. 设点 的坐标分别为 ，直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 .（1）求点 的轨迹
11、 的方程；（2）直线 与曲线 相交于 两点， 若 是否存在实数 ，使得 的面积为 ?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。【答案】 （1） 的轨迹方程 为 ；（2）不存在实数 ，使得 的面积为 .【解析】试题分析：（1）根据题意，得 ，整理得 的轨迹 为 ；（2）联立，化为： ， ，得到韦达定理 ，求出弦长，再求出 到直线的距离 ，写出面积方程 ，解出 ，但此时直线方程过 、，这两点由（1）知是取不到的，所以不存在。试题解析：（1）设点 的坐标为 ，因为点 的坐标是 ，所以直线 的斜率同理，直线 的斜率所以 化简得点 的轨迹方程 为 （2）设 联立 ，化为： ， ， 点 到直线的距离 ，解得： ，解得 ，因为当 时直线过点 ，当 时直线过点 ，因此不存在实数 ，使得 的面积为 .21. 已知函数 .（1）求 的单调性；（2）设 ，若关于 的方程 有解，求 的取值范围.【答案】 （1） 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；（2） .
