1、2018 届山东省莱芜市高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 = ,选 C.2. 下列命题中的假命题是（ ）A. ， B. C. ， D. ，【答案】D【解析】 ， ; ; ， ; ， ,所以 D 为假命题,选 D.3. 下列函数中，既是奇函数又是区间 上的减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 不是奇函数; 既是奇函数又是区间 上的减函数; 是奇函数又是
2、区间上的增函数; 不是奇函数,所以选 B.4. 数列 为等差数列， 是其前 项的和，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ,选 A.5. 已知向量， 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ,所以 ,选 D.6. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位【答案】A【解析】 ,所以向左平移 个单位 ,选 A.7. 的内角 、 、 的对边分别为、 、 ，若、 、成等比数列，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由、 、成等
3、比数列，得 ,所以 ,选 B.8. 函数 的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 得 ,舍去 A; 当 时 ,舍去 B; 当 时 ,舍去 D;选 C.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧： （1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势； 由函数的奇偶性，判断图象的对称性； 由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题9. 我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法
4、，其方法前两步分为：第一步：构造数列 ， ， ， ， .第二步：将数列的各项乘以 ，得数列（记为） ， ， ， .则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ,所以 ,选 B.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .10. 函数 零点的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】当 时, 当 时, 与 有两个交点,因此一共有三个零点,选
5、C.11. 在平行四边形 中， ，边 ， ，若 、 分别是边 、 上的点，且满足，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 ,选 D.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式 ；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.12. 函数 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，当 时， ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 为偶函数, 为奇函数,所以 ,即周期为 4点睛：利用函数零点的情况求参
6、数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的值为_.【答案】【解析】 14. 计算： _.【答案】【解析】 点睛： 三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角” ，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦” ；(3)三看“结构特征” ，分析
7、结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等15. 已知曲线 ： 与曲线 ： ，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数的值为_.【答案】【解析】设交点为 ，则切线斜率为 16. 若对任意的 ，均有 成立，则称函数 为函数 和函数 在区间 上的“中间函数”.已知函数 ， ， ，且 是 和 在区间 上的“中间函数” ，则实数 的取值范围是 _.【答案】【解析】 在区间 上恒成立，所以点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
8、三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数 .（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；（2）求 在 上的最小值.【答案】(1)最小正周期为 ；单调递增区间为 ， .(2) .【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式降幂，再利用两角差余弦公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求周期与单调区间（2）根据自变量范围确定正弦函数取值范围，再根据正弦函数图像确定最小值试题解析：（1），所以函数 的最小正周期为 .由 ， ，得 ， ，所以函数 的单调递增区间为 ， .（2）因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 在
9、上的最小值为 .18. 在数列 中，已知 ， ， ，为常数. （1）证明： ， ， 成等差数列；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）根据递推关系求 ， ，再验证 成立即可（2）先构造等差数列，再根据等差数列通项公式得 ，由等比数列定义得数列 为等比数列，最后根据等比数列求和公式求数列 的前 项和 .试题解析：（1）因为 ， ，所以 ，同理， ， ，又因为 ， ，所以 ，故 ， ， 成等差数列.（2）由 ，得 ，令 ，则 ， ，所以 是以 为首项，公差为的等差数列，所以 ，即 ， ，两式相加，得： ，所以 ，当 ， ，当 ， .19. 已
10、知 的内角 、 、 的对边分别为、 、 ， .（1）若 ，求 的值；（2）求 的取值范围.【答案】(1) ；(2) .试题解析：（1）由余弦定理及题设可知： ，得 ，由正弦定理 ，得 .（2）由题意可知 .因为 ，所以 ，故 ，所以 的取值范围是 .20. 已知函数 （， ）.（1）若 的图象在点 处的切线方程为 ，求 在区间 上的最大值和最小值；（2）若 在区间 上不是单调函数，求的取值范围.【答案】(1)最大值为 8，最小值为 ；(2) .【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得 ，求导函数解得 ；再根据 ，得 .再根据导函数求得零点，列表可得导函数符号，确定函数单调性，最后得到最值（2）
11、由题意得导函数在上存在零点，所以 的两根满足 或 ，解得的取值范围.试题解析：（1） 在 上， ，点 在 的图象上， ，又 ， ， ，解得 ， . ， ，由 可知 和 是 的极值点. ， ， ， ， 在区间 上的最大值为 8，最小值为 .（2）因为函数 在区间 上不是单调函数，所以函数 在 上存在零点.而 的两根为 ， ，若 ， 都在 上，则 解集为空集，这种情况不存在；若有一个根在区间 上，则 或 ， .21. 在等差数列 中， ，其前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数， ，且 ，.（1）求数列 和 的通项公式；（2）令 ，设数列 的前 项和为 ，求 （ ）的最大值与最小值.【答案】(1)
12、 ， ；(2) 的最大值是 ，最小值是 .【解析】试题分析：（1）由条件列关于公差与公比的方程组，解得 ， ，再根据等差与等比数列通项公式求通项公式（2）化简可得 ，再根据等比数列求和公式得 ，结合函数 单调性，可确定其最值试题解析：（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，则解得 ， ，所以 ， .（2）由（1）得 ，故 ，当 为奇数时， ， 随 的增大而减小，所以 ；当 为偶数时， ， 随 的增大而增大，所以 ，令 ， ，则 ，故 在 时是增函数.故当 为奇数时， ；当 为偶数时， ，综上所述， 的最大值是 ，最小值是 .22. 已知函数 .（1）若函数 在其定义域内为增函数，求
13、实数的取值范围；（3）设函数 ，若在 上至少存在一点 ，使得 成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）由题意得导函数在其定义域内恒非负，再根据二次方程恒成立条件得实数的取值范围；（2）将不等式有解问题，利用参变分离法转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值，即得实数的取值范围.试题解析：（1） ， ，因为函数 在其定义域内为增函数，所以 ， 恒成立，当 时，显然不成立；当 时， ，要满足 ， 时恒成立，则 ， .（2）设函数 ， ，则原问题转化为在 上至少存在一点 ，使得 ，即 . 时， ， ， ， ， ，则 ，不符合条件； 时， ，由 ，可知 ，则 在 单调递增， ，整理得 .综上所述， .点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
