1、山东、湖北部分重点中学 2018 年第二次联考(理)数学试题（理工农医类）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （原创，容易）已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于( ) z(1)3izizA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【考点】复数运算及几何意义.2 （原创，容易）已知全集 ， ，则2|560,12UxZxAxZ,35B（ ）UABA B C D,353, ,343,45【答案】B3.（原创，容易）在等差数列 中， ，则 （ ）na7=1S246aA B C D2468【答案】C【考点】等差数列
2、性质.4.（原创，容易）如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A B C D 8+4324+3423【答案】A【解析】三视图还原为三棱 锥，如左下图所示，ABCD则三棱锥 的表面积为 ABCDS21342()843【考点】三视图还原及三棱锥的表面积.5.（原创，中档）已知 ,则 的大小为（ ）1.0.612,logabc,abcA B. C. D.bcabc【答案】D【解析】 ,1.0.6122,3,log30abc51.0.6352,2ab【考点】指数函数对数函数的性质.6.（原创，中档）若函数 图象的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐
3、标不变,再向左平移()sin)3fx得到函数 的图象，则有（ ）6()gxA B C Dcos()six()cos()3gx()sin)3gx【答案】A【解析】： .2 6sin(2)sin()si()cos3 2yxyxyxx 左 移横 坐 标 变 为 倍【考点】正余弦型函数的图象变换.7.（原创，中档）已知命题 若 ，则 ，命题 若 ，则 ，则:pacba:q,ab21b有（ ）A 为真 B. 为真 C. 为真 D. 为真pqppq【答案】D【解析】 为假， ， 为真. 则 为真，故选 D2,ab 221bb【考点】向量数量积与模、不等式及简易逻辑.8.（原创，中档）若 ，则 （ ）cos
4、3sin()4siA B C D 1321【答案】C【解析】22(cosin)3si2(cosin)3si2或 (舍 ),故选 C24in3iii考点：三角函数恒等变形9.（原创，中档）如图所示，扇形 的半径为 ，圆心角AOB2 为，若扇形 绕 旋转一周，则图中阴影部分绕90AOB OA旋转一周所得几何体的体积为（ ）A B C D3583163【答案】C【解析】扇形 绕 旋转一周所得几何体的体积为球体积的 ，则 ， 绕AOB12316VrAOB旋转一周所得几何体的体积为 ，阴影部分旋转所得几何体的体积为 ，故选 C318r8【考点】旋转体体积、割与补.10 （原创，中档）函数 的图象大致为（
5、 ）2()41xfA BC D【答案】A【解析】 为奇函数，排除 B；22()()()41xxf fxffx；排除 D； ，排除 C；故选 A()0xfx121(=()()34ffff） ，【考点】函数性质及图象.11.（原创，中档）已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为 1，第二行为 3，5，第三行为 7，9，11，第四行为 13，15，17，19，如图所示，在宝塔 形数表中位于第 行，第 列的数记为 ，比如ij,ija 3242549,1,3， ， ，aa，若 ，则 （ ）,201ijaiA B C D64657172【答案】D【解析】奇数数列 ，2107109nan按
6、照蛇形排列，第 1 行到第 行末共有 个奇数,则第 1 行到第 行末共有 个奇i ()22i 490数；第 1 行到第 行末共有 个奇数；则 2017 位于第 45 行；而第 行是从右到左依次递增，且共45355有 个奇数；故 位于第 45 行，从右到左第 19 列，则 ，故选 D207 4,272ijij【考点】等差数列与归纳推理.12.（原创，难）已知函数 ，给出下列命题：函数 的最小正周期为()2cos()fxx()fx；函数 关于 对称；函数 关于 对称；函数 的值域为2()fx4f3,04，则其中正确的命题个数为（ ）46,9A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D【解析】
7、 的周期显然为 ；()cos()4fxx2；2)sin42f x； ，故正确.()cs(cs()ixxx()()4fxfx33o)os2cof x； ，故正确. ()2cs(cs()in4xxx33()()4fxfx，2in)inf 设 ，则 ，2cos(cos)xtxt,23yt，故正确2minmax64630,39yttyy【考点】三角恒等变形、函数周期性、对称性及值域.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.（原创，容易）若 ，若 ，则 (,2)(1,)axb()()abx【答案】 1【解析】 2()()bx【考点】向量坐标运算及向量垂直.14.（原创，容易）已知实数 满足
8、 ，则 的最小值为 ,xy1024yx2zxy【答案】 5【解析】由题意可得可行域为如图所示（含边界）， 122zxyxz，则在点 处取得最小值(1,2)A5【考点】基本型的线性规划15.（原创，中档）已知在数列 的前 项之和为 ，若nanS 1112,nna，则 10S【答案】 78【解析】 111112, 2nnnnaa231()()()()n a .231n.112n.2910 078S【考点】等差等比数列及均值不等式16.（原创，难）四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面 是以 为斜边的等SABCDAB2SAD腰直角三角形，若 ，则四棱锥 的体积取值范围为 24SCD【答案】 43
9、8,【解析】如图所示，四棱锥 中，可得：SAB ;ADSABD平面 平面 平面 ，过 作 于 ，则SABCDSOABO平面 ，故 ，在 中，CD1433SABCDABV 2，设 ，则有， ,又 ，则2cos24SC12cos,23，四棱锥 的体积取值范围为 2sin,SO38,【考点】线面垂直、面面垂直、解三角不等式及体积范围.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分 12 分）（原创，容易）已知单调的等比数列 的前 项的和为 ，若 ，且 是 的等差中项.nanS394a65,()求数列 的通项公式；na()若数列 满足 ，且 前
10、项的和为 ，求 .nb321lognnanbnT1231nT【答案】() ；()na4（18 ）解： () 或 （舍） ；3 分2465603qq5 分313193qSa6 分na() ；7 分213lognnb8 分5(2)T10 分11(2)nn123111()()()()2324352nTTn 12 分123()nn【考点】等比数列基本量运算、数列求和18 （本题满分 12 分）（原创，中档）设函数 3()2sin()cos2fxx() 求 的单调增区间；()fx() 已知 的内角分别为 ，若 ，且 能够盖住的最大圆面积为 ，求ABC,ABC3()2fABC的最小值.【答案】() ；()
11、5,12kkZ6（18 ）解： () 3 分313sin()cossin2cosfxxxx4 分sin235 分52,112kxkkxkZ的单调增区间为 6 分()fx5,1Z() 由余弦定理可知： 7 分22abc由题意可知： 的内切圆半径为 8 分ABC的内角 的对边分别为 ，则 9 分, , 23bca10 分22(3)bcbc或 （舍）11 分44()81bc43，16,2ABCc当且仅当 时， 的最小值为 .12 分bABC6令也可以这样转化： 9 分312rabc代入 ；10 分223()bc或 （舍） ；11 分44(812bcbc43，16,)2ABC当且仅当 时， 的最小值为
12、 .12 分bcABC6【考点】三角函数式化简、正余弦型函数性质、解三角形及均值不等式求最值.19（本题满分 12 分）（原创，中档）如图，三棱台 中， 侧面 与侧面 是全等的梯形，若1AB1AB1CA,且 .111,ABAC24（）若 ， ，证明： 平面 ；2DEDE1（）若二面角 为 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值. 1CAB31AB1CB19.（）证明：连接 ，梯形 ， ,1,C2易知： 2 分；1,2D又 ，则 4 分；2AEB1平面 ， 平面 ，1C1E1BC可得： 平面 6 分；D1（）侧面 是梯形， ，1A1A, ,CB则 为二面角 的平面角， 7 分；B1BAC3均为
13、正三角形，在平面 内，过点 作 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不,A妨设 ，则1112,AC,故点 ，4C(0,)(40),9 分；1(23,),B设平面 的法向量为 ，则有：A1(,)mxyz10 分；11030(,30)mB 设平面 的法向量为 ，则有：C2(,)nxyz11 分；21030(1,32)nm ，1cos,4n故平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 12 分；1AB1CB14【考点】线面平行证明及二面角计算.20. （本题满分 12 分）设函数 2()2)3xfxeaxb（原创，中档） （）若 在 处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为 ，()fx0 240xy求
14、实数 的值；,ab（原创，难） （）若 是 的极小值点，求实数 的取值范围.1x()f a（）解： ；2 分；()22feax由题意可知： ；3 分；0；4 分；()fa易得切点坐标为 ，则有 ；5 分；(,2)(0)21fb（）由（）可得： ；6 分； 2()x xxeaea （1）当 时， ， ；0a()eaf,1()0f； 是 的极小值点， 适合题意；7 分； (,)()xfx1x0（2）当 时， 或 ，且 ；e0f2lnal； ； ；(,ln)()xax(ln,)()afx(1,)()0fx是 的极小值点， 适合题意；9 分； 1f e（2）当 时， 或 ，且 ；e1()0fx2lxl
15、na； ； ；(,)x(,ln)()0af(,)()0xfx是 的极大值点， 不适合题意；11 分1f e综上，实数 的取值范围为 ；12 分； a【考点】函数切线及函数极值.21. （本题满分 12 分）已知函数 ()ln1)fxax（原创，中档） （）若 在 上是减函数，求实数 的取值范围.(f,a（原创，难） （）若 的最大值为 ，求实数 的值.)x2（） 在 恒成立1 分；()ln20fxa1,)在 恒成立2 分；21a,)设 ，则 ，由 得： 3 分；2ln(),1)xg21ln()xgx1()0gx在 上为增函数 ， 有最小值 . ；4 分；x1,(g2a（）注意到 ，又 的最大值
16、为 ，则()2f()fx21)0f；6 分0a下面证明： 时， ，即 ,()f()ln)210fxx；7 分1ln23x设 ；8 分(),(0,)hx9 分22 211()xx 在 上为增函数；(0,)(0()hx,在 上为减函数；10 分1)xhx1)有最大值 ；11 分()0hx)ln2)10fxx 适合题意；12 分2a【考点】导函数单调性、函数最值及不等式证明.选做题（请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）22 （本小题满分 10 分） 【选修 44：坐标系与参数方程】（原创，容易）已知直线 的参数方程为 以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建l xtya为 参 数 x立极坐标系, 圆 的极坐标方程为 .C4cos（）求直线 与圆 的普通方程；l（）若直线 分圆 所得的弧长之比为 ，求实数 的值3:1a解：（）由题意知： 3 分，2224cos4cos40xy；5 分0xtyaxyya（） ；6 分，22240()4
