1、2018 届安徽省蚌埠市第一中学高三上学期期中考试 数学文考试时间 120 分钟 试卷分值 100 分 命题人徐杰一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1已知集合 ， ，则 =（ ）N|24Axx1|24xBABA. B. C. D. |x1,0,0,12已知 为虚数单位，若复数 在复平面内对应的点在第四象限，则 的取值范围为（ ）i itztA. B. C. D. 1,3下列函数中，与函数 的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）3yxA. B. C. D. yxtan1yxexy4已知双曲线 ： 与双曲线 ： ，给出下列
2、说法，其中错误的是（ ）1C2432C2143A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同 D. 它们的离心率相等5.在区间 中随机取一个实数 ，则事件“直线 与圆 相交”发生的概率为2,kykx2(3)1y（ ）A B C. D1141686若倾斜角为 的直线 与曲线 相切于点 ，则 的值为（ ）l4yx1,2cosinA. B. 1 C. D. 23577已知命题 是简单命题，则“ 是假命题”是“ 是真命题”的（ ）,pqppqA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要8执行如图所示的程序框图，则输出的 值为（ ）SA. 1009 B
3、. -1009 C. -1007 D. 1008.9已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 1631212314310已知函数 的部分图象如图所示，则函数sin(0,)fxAx图象的一个对称中心可能为（ ）cosgxA. B. C. D. 5,021,061,021,0611.等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于CxCxy2,AB两点， ；则 的实轴长为（ ）43AB()2()D12若函数 在 单调递增，则 a 的取值范围是1sin2i3fx-xa,（A） （B） （C） （D）,1,31,3二、填空题（每题 5 分，满分 20
4、分，将答案填在答题纸上）13已知 ， ，若向量 与 共线，则 _1,a2,b2ab8,6ca14.设 满足约束条件 ，记 的最小值为 ，则函数 的图像恒过定,xy021xy3zxyk()2xkfe点15.在 ABC 中，内角 ， B， C所对的边分别是 a， b， c，已知 ， 2AB ，则 cos16四面体 D的四个顶点都在球 O的表面上， 2AB， 1CD， 60， A平面，则球 O的表面积为_三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （12 分）已知函数 （ ） ，数列 的前 项和为 ，点 在 图象21fxmx0nanS,nfx上，且 的最小值为 .fx8（1）求数列 的
5、通项公式；na（2）数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .b12nnanbnT1n18 （12 分）如图，点 在以 为直径的圆 上， 垂直与圆 所在平面， 为 的垂心.CABOPAOGAOC（1）求证：平面 平面 ；OPG（2）若 ，点 在线段 上，且 ，求三棱锥 的体积.2AQ2QPQ19 （12 分）2017 高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为 100 分） ，并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了 50 名学生的成绩，按照成绩为 ， ， 分成了 5 组，制成了如50,6,709,
6、10图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于 50 分）.（1）求频率分布直方图中的 的值，并估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据x用该组区间的中点值代表） ；（2）若高三年级共有 2000 名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于 70 分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于 70 分的三组学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有 1 人被抽到的概率.20. （12 分）已知点 P是圆 21:8Fxy上任意一点，点 2F与点 1关于原点对称，线段 2PF的垂直平分线分别与 1， 2交于
7、 M， N两点.（1）求点 的轨迹 C的方程；（2）过点 的动直线 l与点 的轨迹 C交于 A， B两点，在 y轴上是否存在定点 Q，使以 AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.21. （12 分）已知函数 ()1fxn（）求函数 ()f的单调区间和极值； （）若 对任意的 3,5m恒成立，求实数 k的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （10 分）选修 4-4: 坐标系与参数方程已知直线 l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C的极坐标方程为 22cos3in
8、1，且曲线 C的左焦点 F在直线 l上(1) 若直线 l与曲线 交于 AB、两点，求 |FAB的值；(2) 求曲线 的内接矩形的周长的最大值23 （10 分）选修 4-5: 不等式选讲已知函数 |21|fxx(1)求不等式 的解集；(2) 若关于 x的不等式 有解，求 a的取值范围一、选择题1 D2 B3 D4 D5.B6 D7 A8 B9 C10 C11.12 C二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 214. (,1)15.16三、解答题17已知函数 （ ） ，数列 的前 项和为 ，点 在 图象上，且21fxmx0nanS,nfx的最小值为 .fx8（1）求数列
9、 的通项公式；na（2）数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .b12nnanbnT1n【答案】 （1） .（2）见解析.na【解析】试题分析：（1）根据二次函数的最值可求得 的值，从而可得 ，进而可得结果；m21nS（2）由（1）知 ，裂项相消法求和，放缩法即可证明.12nnb12nn试题解析：（1） ，fxm故 的最小值为 .fx218又 ，所以 ，即 .0m2nS所以当 时， ；2n1na当 时， 也适合上式，1所以数列 的通项公式为 .nn（2）证明：由（1）知 ，12nb12nn所以 ，1137n nnT 1n所以 .18如图，点 在以 为直径的圆 上， 垂直与圆 所在平面，
10、 为 的垂心.CABOPAOGAOC（1）求证：平面 平面 ；PGC（2）若 ，点 在线段 上，且 ，求三棱锥 的体积.2Q2QPQ【答案】 （1）见解析;（2） .327【解析】试题分析：（1）延长 交 于点 ，先证明 ，再证明 平面 ，即OGACM/OBCOMPAC平面 ；（2）由（1）知 平面 ，所以 就是点 到平面 的距离，再证明OGPACPG，从而利用棱锥的体积公式可得结果.36M试题解析：（1）如图，延长 交 于点 .因为 为 的重心，所以 为 的中点.AC因为 为 的中点，所以 .OAB/OMB因为 是圆 的直径，所以 ，所以 .OA因为 平面 ， 平面 ，所以 .PCPM又 平
11、面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，即 平面 .G又 平面 ，所以平面 平面 .GC（2）解：由（1）知 平面 ，OMPAC所以 就是点 到平面 的距离.G由已知可得， ，1A所以 为正三角形，C所以 .又点 为 的重心，32所以 .16GMO故点 到平面 的距离为 .PQC3所以 .13PQGCPPQCVSA123PACGMS219362719 2017 高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为 100 分） ，并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了 50 名学生的成绩，按照成绩为 ， ， ， 分成了
12、 5 组，制成了如图所示的频50,6,70,10率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于 50 分）.（1）求频率分布直方图中的 的值，并估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据x用该组区间的中点值代表） ；（2）若高三年级共有 2000 名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于 70 分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于 70 分的三组学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有 1 人被抽到的概率.【答案】 （1） ，平均数是 74，中位数是 ；（2）1200；（3） 0.2x171920【解析】试
13、题分析：（1）根据个矩形面积和为 可得第 4 组的频率为 ，从而可得结果；（2）由（1）.可知，50 名学生中成绩不低于 70 分的频率为 ，从而可得成绩不低于 70 分的人数；0.06（3）根据分层抽样方法可得这三组中所抽取的人数分别为 3,2,1，列举出中任抽取 3 人的所有可能结果共20 种，其中后两组中没有人被抽到的可能结果只有 1 种，由古典概型概率公式可得结果.（1）由频率分布直方图可得第 4 组的频率为 ，3.故 .02x故可估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数为（分）.(5.6.3750.8.2950.1)74由于前两组的频率之和为 ，前三组的频率之和为 ，故中位数在第 3
14、组1403.7中.设中位数为 分，t则有 ，所以 ，70.3.73t即所求的中位数为 分.1（2）由（1）可知，50 名学生中成绩不低于 70 分的频率为 ，0.32.106由以上样本的频率，可以估计高三年级 2000 名学生中成绩不低于 70 分的人数为 .120（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为 15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为 3,2,1.记成绩在这组的 3 名学生分别为 ， ， ，成绩在 这组的 2 名学生分别为 ， ，成绩在70,8abc8,9de这组的 1 名学生为 ，则从中任抽取 3 人的所有可能结果为 ， ， ，9f ,abc,ab， ， ， ， ， ， ，
15、， ，,abf,cd,e,cf,ade,fefce， ， ， ， ， ， ， 共 20 种.,bcf,de,bf,ef,cde,f,cef,df其中后两组中没有人被抽到的可能结果为 ，只有 1 种，ab故后两组中至少有 1 人被抽到的概率为 .920P20.已知点 P是圆 21:8Fxy上任意一点，点 F与点 1关于原点对称，线段 2PF的垂直平分线分别与 1， 2交于 M， N两点.（1）求点 的轨迹 C的方程；（2）过点 的动直线 l与点 的轨迹 C交于 A， B两点，在 y轴上是否存在定点 Q，使以 AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.20.解：(I
16、)由题意得点 M的轨迹 C为以 21,F为焦点的椭圆2,ac点 的轨迹 C的方程为(II)直线 l的方程可设为 ，设 12(,)(,)AxyB联立 可得 29(1)60.k由求根公式化简整理得假设在 y轴上是否存在定点 ),0(mQ，使以 AB为直径的圆恒过这个点，则BAQ即 .12(,),(,),xyxy求得 1.m因此，在 y轴上存在定点 ),0(Q，使以 AB为直径的圆恒过这个点.21.已知函数 ()1fxn（）求函数 的单调区间和极值；（）若 对任意的 3,5m恒成立，求实数 k的取值范围21.解（）函数的定义域为 (0,)， (1fxn，令 ()0fx，得 ；令 f，得 故当 时，
17、()fx单调递减；当 时， ()fx单调递增故当 时， 取得极小值，且 ，无极大值（）由（）知， 要使 对 3,5m恒成立，只需 对 恒成立，即 ，即 对 3,5恒成立，令 ，则 ，故 3,5m时 ()0g，所以 ()gm在 3,5上单调递增，故 ，要使 对 ,恒成立，只需 ，所以 ，即实数 k的取值范围是 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修 4-4: 坐标系与参数方程已知直线 l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C的极坐标方程为 22cos3in1，且曲线 C的左焦点 F在直线 l上(1) 若直线 l与曲线 交于 AB、两点，求 |FAB的值；(2) 求曲线 的内接矩形的周长的最大值22(1) 曲线 C的直角坐标系方程为: 直线 l的参数方程为 （ t为参数）将 代入 得： 20t设 AB、两点所对应的参数为 12,t，则 12t |2FAB(2) 设 P为内接矩形在第一象限的顶点 ，则矩形的周长当 即 3,1时周长最大，最大值为 1623选修 4-5: 不等式选讲已知函数 |2|fxx(1)求不等式 的解集；(2) 若关于 x的不等式 有解，求 a的取值范围
