1、天津市实验中学 2018 届高三上学期期中（第三阶段）考试数学（理）试题第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 , ,所以 ,选 C.2. 已知复数 ，则复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,所以虚部是 ,选 C.3. “ ”是“函数 在区间 上为增函数”的（ ）A. 充分不必耍条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由函数 在区间 上为增函数得 所以
2、“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必耍条件,选 A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如 “ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件4. 已知 为偶函数，则 可以取的一个值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D5. 设 的内角 所对边的长分别为 ，若 ，则角 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析： ，由正弦定理可得
3、 即 ； 因为 ，所以 ，所以 ，而 ，所以 ，故选 B.考点：1.正弦定理；2.余弦定理.6. 已知点 ，则向量 在向量 上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意得， ，所以向量 在 方向上的投影为，故选 A考点：平面向量的数量积的运算及向量的投影的概念7. 已知 是等差数列 的前 项和， ，设 为数列 的前 项和，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选 C.点睛：本题采用分组转化法求和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ） ，符号型（如 ） ，周期型 （如 ）8. 已知 为偶函数，当 时， ，若函数 恰有 4 个零点，则实数的
4、取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作图,可知 恰有 4 个零点，所以 ,选B.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等第卷（共 110 分）二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9. 已知复数 是纯虚数， （为虚数单位)，则 _.【答案】【解析】 所以 10. 等比数列 的前 项和为 ，且 成等差败列.若 ，则 _.【答案】15【解析】由题意得 11. 设 的
5、内角， 所对边的长分别是 ，且 .则的值为_.【答案】【解析】 12. 若直线 与曲线 相切，则 _.【答案】【解析】即求曲线过原点切线的斜率，设切点为 ，斜率 ，切线方程为，将原点坐标代入化简得 ，故 .13. 在平行四边形 中， , 为 的中点， 为平面 内一点，若，则 _.【答案】6【解析】14. 对于函数 ，设 ，若存在 ，使得 ，则称 互为“零点相邻函数”.若函数 与 互为“零点相邻函数” ，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】 为单调递增函数, ,所以 零点在0,2当 时 舍去;当 时 舍去;当 时 综上实数的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接
6、讨论法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 是直线 与函数 图像的两个相邻的交点，且 .（1）求 的值和函数 的单调增区间（2）在锐角 中， 分别是角 的对边，若 ， 的面积为 ，求的值.【答案】(1)答案见解析；(2) .【解析】试题分析：(1)首先化简三角函数式的值，然后结合周期即可求得 ；(2)利用题意首先求得
7、 ，然后结合面积公式可得 ，最后由余弦定理可得 .试题解析：.由函数的图像及 ，得到函数的周期 ，解得 .（）解：因为 所以 .又因为 是锐角三角形，所以 ，即 ，解得 .由 ，解得 .由余弦定理得 ，即 .16. 从装有大小相同的 2 个红球和 6 个白球的袋子中，每摸出 2 个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回） ，则实验结束.（1）求第一次实验恰好摸到 1 个红球和 1 个白球的概率；（2）记实验次数为 ，求 的分布列及数学期望.【答案】(1) ； (2)答案见解析 .【解析】试题分析：（1）由题意知，袋子中共有 8 个球，记“第一次试验恰摸到一个红球和一个白球”为事件 A，则根
8、据古典概型计算公式，得 .（2）由题意知，每次试验中不放回地摸出两个球，直到摸出的球中有红球，因为袋中只有两个红球，所以最多需要进行四次试验，第一次试验的结果可能有“一个红球一个白球”或“两个红球”，第二次试验要在第一次试验没有出红球情况下进行，则袋中剩下 4 个白球和 2 个红球，结果可能为“一个红球一个白球”或“两个红球”，同理第三次试验要在前两次没有出现红球下进行，则袋中剩下 2 个白球和 2 个红球，结果能为“一个红球一个白球” 或“ 两个红球 ”，第四次试验要在前三次试验没有出现红球下进行，则袋中只剩下 2个红球，结果为“两个红球” ，所以 的值为 1、2、3、4，根据古典概型的计算
9、公式，得， ， ，从而可列出 的分布列，并求出其数学期望.试题解析：（1）（2）由题意可知 的值分别为 1、2、3、4，则 ， ，所以 的分布列为的数学期望 .考点：1.古典概率；2.随机变量的分布列、数学期望.17. 正数数列 的前 项和为 ，且 ，求（1） 的通项公式；（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析:（1）先平方得 ，再根据和项与通项关系得 ，最后根据等差数列定义以及通项公式求解（2）因为 ，所以利用裂项相消法求和得 ，再根据数列单调性确定 的取值范围.试题解析：（1）由 ，当 带入得 ，两边平方得 （1） ，时， （2） ，
10、（1）-（2） ，得 ，由正数数列 ，得 ，数列 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，有 ；（2） 当 ， .点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .18. 等差数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足： ，数列的前 项和为（1）求等筹数列 的通项公式 及前 项和为 ；（2 求数列 的通项公式 及前 项和为（3）设集合 ，若 的子集个数为 16，求实数的取值范围.【答案】(
11、1) . .(2) ， .(3) .【解析】试题分析： 利用等差数列的通项公式和前 项和公式即可得出，先得到 ，再利用累乘法，得到数列 的通项公式，再利用错位相减法求出前 项和公式根据函数的 的单调性，得到不等式 继而求实数的取值范围解析：（1）设数列 的公差为 d，由题意知： 解得， （2）由题意得：当 时又 也满足上式，故故 得：（3）由（1）（2）知： ，令则 ， ， ， ，当 时 ，集合 M 的子集个数为 16 中的元素个数为 4的解的个数为 4点睛：形如 在求通项时要用累乘法，遇到通项为 的数列在求和时用错位相减法，形如，其中 、 一个是等差数列一个是等比数列求和就用错位相减法。19
12、. 已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点相同， 为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点， 面积的最大值为 1.（1）求椭圆 的标准方程；（2）设不过原点的直线： 与椭圆 交于 两点若直线 与 的斜率分别为 ，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；若直线的斜率是直线 斜率的等比中项，求 面积的取值范围.【答案】(1) ；(2). 证明见解析，定点坐标为 . .试题解析：（1）由抛物线的方程 得其焦点为 ，所以椭圆中 ，当点 为椭圆的短轴端点时， 面积最大，此时 ，所以 ， 为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上任意一点， 面积的最大值为 1，所以椭圆的方程为 （2）联立 得 ，得 （*）设 ， ，则 ， ，（i） ， ，由 ，得 ，所以 ，即 ，得 ，所以直线的方程为 ，因此直线恒过定点，该定点坐标为 （ii）因为直线的斜率是直线 ， 斜率的等比中项，所以 ，即 ，得 ，得 ，所以 ，又 ，所以 ，代入（*） ，得 设点 到直线 的距离为 ，则 ，所以 ，当且仅当 ，即 时， 面积取最大值 故 面积的取值范围为 考点：直线与椭圆位置关系【方法点睛】1求定值问题常见的方法有两种
