1、北京四中 20162017 学年度第一学期期中测试高三数学 期中试卷（理）（试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.）1已知全集 1,234U,集合 1,2A,则 UA B 3,4 C D 12设命题 2:,npN，则 p为A B 2,nN C 2,n D 3为了得到函数 3lg10xy的图象，只需把函数 lgyx的图象上所有的点A向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度C向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度D向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1
2、 个单位长度 4若 x， y满足01xy ， ， ，则 2zxy的最大值为A0 B1C 32 D25等比数列 na满足 135,a则 357a A21 B42C63 D846已知 xR，则“ ”是“ sin()sinxx”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7定义在 R上的偶函数 )(xf满足 )()1(xff，且在区间 1,0上单调递增，设 )3(fa，)2(fb， fc，则 cba,大小关系是A abc B acbC bca D cba8.已知函数2,0()ln(1)xf，若 ()fxa ，则实数 的取值范围是A ,0B (,1C 2D 20二、填空题（共
3、 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.）9设 i是虚数单位，则 1i .10执行如图所示的框图，输出值 x . 11若等差数列 na满足 7890a， 710a，则当 _时， n的前 项和最大12已知 )(xf是定义在 R上的奇函数.当 x时， xf4)(2，则不等式 0的解集为_.13要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方 体容器已知该容器的底面造价是每平方米 200 元，侧 面造价是每平方米 100 元，则该容器的最低总造价是_元 14已知函数 ()yfx，任取 tR，定义集合: |tA()yfx，点 (,)Ptf， (,)Qxf满足 |2PQ .设 ,Mmt分别表示集合
4、 中元素的最大值和最小值，记 htMmt.则(1) 若函数 ()fx，则 (1)h=_； （2）若函数sin2f，则 ()t的最小正周期为_.三、解答题（共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）15 （本题满分 13 分）集合 2|30Ax， 1|28xB， |(2)0Cxm，其中 mR.（）求 B；（）若 ()AC，求实数 m的取值范围.16 （本题满分 13 分）已知 na是等差数列，满足 13a， 42，数列 nb满足 14， 20b，且nb是等比数列（）求数列 n和 b的通项公式； （）求数列 的前 项和 nS17 （本题满分 13 分）已知函数 ()4s
5、inco6fxx, R.（）求函数 f的单调减区间；（）求函数 ()fx在 0,2上的最大值与最小值.18 （本题满分 13 分）已知函数 1()ln)0xfxa ，其中 0a.（）若 1a，求 的单调区间；（）若 ()fx的最小值为 1，求 的取值范围.19 （本题满分 14 分）设函数 ()lnexbfxa，曲线 ()yfx在点 1,Pf处的切线方程为e(12y.（）求 ,ab；（）设 2()e0xg，求 ()gx的最大值；（）证明函数 f的图象与直线 1y没有公共点.20 （本题满分 14 分）对于集合 M，定义函数 1,().Mxf对于两个集合 ,MN，定义集合()1Nxfx. 已知
6、2,4680A=， 1,2486B=.（）写出 A和 Bf的值，并用列举法写出集合 A；（）用 ()Card表示有限集合 所含元素的个数，求 ()()CardXardB的最小值；（）有多少个集合对 ,PQ，满足 ,B，且 PQA？参考答案一选择题（每小题 5 分，共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C C D B A D D二选择题（每小题 5 分，共 30 分）9 i10 1211 8 12 ,4,13 1600 14 2 215. 解：（） 2|301,2Ax； 1|80,4xB；所以 1,B；（） 04，若 2m，则 2,Cm，若 0,4ABC，则 4m；若 ，则
7、 ，不满足 ，舍；若 ，则 ,，不满足 ,，舍；综上 4,m.16. 解：（）设等差数列 na的公差为 d，由题意得4123ad.所以 1(),ndnN设等比数列 nba的公比为 q，由题意得3412083q，解得 2.所以 11nnbaq.从而 2,nN（）由（）知 132nnb123nSb0121()(6)(9)()2n01n (3)12n2n所以，数列 nb的前 项和为 231n.17. 解： ()4sinco6fxx314sincosin2xx223sicosinxx 3i21(i)i()16.（）令 ,6kxkZ，解得 63kxk，所以函数 ()f的单调减区间为 2+,3Z.（）因为
8、 02x，所以 726x，所以 1sin()16x ，于是 1sin() ，所以 ()fx.当且仅当 x时 fx取最小值 min2; 当且仅当 26，即 6时最大值 ax()()16ff.18. 解:定义域为 0,.222()1()()afxx.（）若 1a，则2()()f，令 0f，得 1x（舍 ）.x0,11 (,)()f0xA极小值 A所以 1a时， ()f的单调增区间为 (1,)，减区间为 (0,1).（）22()1xaf， 0,xa .ax当 a时，在区间 0,(),f上 ， ()f在 1,单调递增，所以()();fxf的 最 小 值 为当 02a时，由 220,()0,aafxfx
9、解 得 由 解 得 () ),fx -的 单 调 减 区 间 为 （ ， 单 调 增 区 间 为 （ ， ） .所以 ()fx在 2a处取得最小值，注意到 2()(01,aff，所以不满足综上可知，若 ()fx得最小值为 1，则 a 的取值范围是 2,).19. 解： （ I） 函 数 的 定 义 域 为 (0,+)2()lnlnln.xx xbbbfxaeaeae(1)2,().ff由 题 意 可 得1,.故 （） ()xxgege则 .(0,)(0;,(0.()1() .gxxe 所 以 当 时 当 时 ， 故 在 （ ,） 单 调 递 增 ，在 1,+单 调 递 减 ， 从 而 在 的
10、最 大 值 为（） 12()ln,fe由 （ I） 知 又 0()ln2=,f于是函数 ()fx的图象与直线1y没有公共点等价于 fx。 .xxe而 等 价 于()l,()l1.hxh设 函 数 则 00;(,)()0.xhxee所 以 当 时 ， 当 时 ，1() , ().hxe 故 在 （ ,） 单 调 递 减 ， 在 （ ） 单 调 递 增 ， 从 而 在 ,+的 最 小 值 为由（）知 0(),()1.xhxgfx综 上 ， 当 时 ， 即20.解：（） 1=Af， Bf-， ,60A. （）根据题意可知：对于集合 ,CX， aC且 X，则 ()()1ardardX；若 且 ，则 C
11、.所以 要使 ()()rACrXB的值最小，2，4，8 一定属于集合 X；1，6，10，16 是否属于 X不影响 adad的值；集合 X不能含有 AB之外的元素.所以 当 为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时， ()()Cardard取到最小值 4. （）因为 ()1ABxfx，所以 AB.由定义可知： ()()AABfxfx.所以 对任意元素 ， () ()()CACABCffxfxf，()ABBfx .所以 ()()ABCCfx.所以 . 由 ()PQ知： ()PQAB.所以 ()AB.所以 .所以 PQ，即 =.因为 ,AB，所以 满足题意的集合对 ,PQ的个数为 7218.
