1、2017 届北京市海淀区高三下学期期中考试（一模）数学理试题（word版）第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 |(1)0Ax，集合 |0Bx，则 AB（ ）A |xB |xC |D |0x 2.已知复数 ()ziab（ ， R） ，则“ z为纯虚数”的充分必要条件为（ ）A 20B 0C 0a， bD 0a， b 3.执行如图所示的程序框图，输出的 x值为（ ）A0 B3 C6 D8 4.设 a， bR，若 ab，则（ ）A 1B 2abC lgabD sinab 5.已知 10x
2、d， 10xd， 10cxd，则 ， ， c的大小关系是（ ）A abcB abC D 6.已知曲线 C：2xtya（ t为参数） ， (1,0)A， (,)B，若曲线 C上存在点 P满足 0AB，则实数 a的取值范围为（ ）A 2,B 1,C 2,D 2, 7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ）A12 B40 C60 D80 8.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目：折叠状态下（如图 1） ，检查四条桌腿长相等；项目：打开过程中（如图 2） ，检查 OMNO；项目：打开过程中（如图 2） ，检查 KL；项目：打开后（如图 3） ，检查 13
3、490；项目：打开后（如图 3） ，检查 ABCD在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是” （ ）A B C D 第卷（共 110 分）二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9.若等比数列 na满足 245a， 48，则公比 q ，前 n项和 nS 10.已知 1(,0)F， (,)，满足 12|PF的动点 P的轨迹方程为 11.在 ABC中， cosB A ；若 1si3C，则 cos()B 12.若非零向量 a， b满足 ()0ab， |ab，则向量 a， b夹角的大小为 13.已知函数21,0()cos.xf若关于 x的方程 ()0fa在
4、 (,)内有唯一实根，则实数 a的最小值是 14.已知实数 u， v， x， y满足 21uv，,20,xy则 zuxvy的最大值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知 3是函数 2()cosin1fxax的一个零点 （）求实数 a的值；（）求 ()f的单调递增区间.16.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠 8:10 万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约 340 亿美元，公路投资约
5、 59 亿美元，铁路投资约 38 亿美元，高架铁路投资约 16 亿美元，瓜达尔港投资约 6.6 亿美元，光纤通讯投资约为 0.4 亿美元有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和表格记录了 2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月天津 24 22 26 23 24 26 27 25 28 24 25 26上海 32 27 33 31 30 31 32 33 30 32 30 30（）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（）从表中 12 个月任
6、选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过 55 百万吨的概率；（）将（）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过 55 百万吨的概率，设 X为瓜达尔未来12 个月的月货物吞吐量超过 55 百万吨的个数，写出 X的数学期望（不需要计算过程） 17.如图，由直三棱柱 1ABC和四棱锥 1DBC构成的几何体中， 90BAC， 1，12BC， 15D，平面 1平面 1A（）求证： 1ACD；（）若 M为 的中点，求证： /AM平面 1DB；（）在线段 B上是否存在点 P，使直线 与平面 所成的角为 3？若存在，求 BPC的值，若不存在，说明理由18.已知函数 2()4(1)lnfxax，其
7、中实数 a（）判断 1是否为函数 f的极值点，并说明理由；（）若 ()0fx在区间 ,上恒成立，求 a的取值范围19.已知椭圆 G：21y，与 x轴不重合的直线 l经过左焦点 1F，且与椭圆 G相交于 A， B两点，弦AB的中点为 M，直线 O与椭圆 G相交于 C， D两点（）若直线 l的斜率为 1，求直线 M的斜率；（）是否存在直线 ，使得 2|A成立？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由20.已知含有 n个元素的正整数集 12,na（ 12naa， 3）具有性质 P：对任意不大于 ()SA（其中 12()n）的正整数 k，存在数集 A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于 k（
8、）写出 1a， 2的值；（）证明：“ 1a， 2， na成等差数列”的充要条件是“ (1)2nSA”；（）若 ()07SA，求当 取最小值时 n的最大值海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）答案一、选择题1-5: ADBC 6-8: DB 二、填空题9.2， 21n 10.213yx11.90， 13 12.120 13. 12 14. 2三、解答题15.解：（）由题意可知 ()0f，即 2()cosin103fa，即 213()3fa，解得 3a（）由（）可得 2()cosin1fxxcos23in2x5sin()26x，函数 siny的递增区间为 ,k， kZ由 5226kx， Z，得
9、 3k， ，所以， ()fx的单调递增区间为 2,36k， kZ16.解：（）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为 340 亿，占总投资 460 亿的 50%以上，所占比重大（）设事件 A：从 12 个月中任选一个月，该月超过 55 百万吨根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56，其中超过 55 百万吨的月份有 8 个，所以， 2()13PA（） X的数学期望 E17.（）证明：在直三棱柱 1ABC中， 1平面 ABC，故 1AC，由平面 D平面 1，且平面 1D平面 11，所以 平面 ，又 1
10、C平面 1，所以 AD（）证明：在直三棱柱 1ABC中， 1A平面 BC，所以 1， 1，又 90BAC，所以，如图建立空间直角坐标系 Axyz，依据已知条件可得 (,)， (0,3)C， 1(2,30)， (,1)B， (2,0)， (1,32)D，所以 12,0B， 1BD，设平面 的法向量为 (,)nxyz，由 1,0nB即 30,令 y，则 z， x，于是 (,13)n，因为 M为 1DC中点，所以 3(,1)2，所以 3(,1)2AM，由 3(,)0,2An，可得 n，所以 与平面 1B所成角为 0，即 /平面 D（）解：由（）可知平面 1BD的法向量为 (0,13)n设 BPC，
11、0,，则 (0,31)， (,3,)P若直线 D与平面 1B成角为 ，则 2|3|cos, 45nP，解得 50,14，故不存在这样的点18.解：（）由 2()4(1)lnfxax可得函数 ()fx定义域为 (1,)41()2fxa(2)a，令 ()(2)gx，经验证 (1)0g，因为 3a，所以 0g的判别式 2224)69(3)0aaa，由二次函数性质可得，1 是函数 ()x的异号零点，所以 是 ()fx的异号零点，所以 是函数 f的极值点（）已知 (0)f，因为 21(2)xaf，又因为 3a，所以 ，所以当 2时，在区间 0,1上 ()0fx，所以函数 ()fx单调递减，所以有 ()0
12、fx恒成立；当 时，在区间 2a上 ，所以函数 单调递增，所以 ()(faf，所以不等式不能恒成立；所以 2时，有 )0x在区间 ,1恒成立19.解：（）由已知可知 1()F，又直线 l的斜率为 1，所以直线 l的方程为 1yx，设 1(,)Axy， 2(,)B，由 2,xy解得 10,xy24,31.所以 AB中点 (,)3M，于是直线 O的斜率为12（）假设存在直线 l，使得 2|ACMD成立 当直线 l的斜率不存在时， B的中点 (1,0)，所以 2|AM， |2，矛盾；故可设直线 l的方程为 (1)0ykx，联立椭圆 G的方程，得 222(1)4kx，设 1,Ay， 2(,)B，则21
13、241kx，2(1)kx，于是 121222()()kkk，点 M的坐标为2(,)1k， 2222221 4(1)()|()()11kkkABx .直线 CD的方程为 yk，联立椭圆 G的方程，得224xk，设 0(,)x，则22200211| ()4Oxyk，由题知， 2 22|4|(|)4(|)ABCMDOMCOCOM ，即22228(1)1()(kk，化简，得 2，故 ，所以直线 l的方程为 2(1)yx， 2(1)yx.20.解：（） 1a， 2.（）先证必要性：因为 1， 2，又 1， 2a， n成等差数列，故 na，所以 (1)2nSA；再证充分性：因为 12na， 1， 2， n
14、为正整数数列，故有， ， 3， 4a， ，所以 12 (1)() 2nSA，又 n，故 m（ ， ， n） ，故 1a， 2， na为等差数列（）先证明 1a（ ， ， ） 假设存在 2p，且 为最小的正整数依题意 3，则 121pa21p， ，又因为 12naa，故当 (,)ppk时， k不能等于集合 A的任何一个子集所有元素的和故假设不成立，即 12ma（ ， 2， n）成立因此 11207n，即 8n，所以 因为 S，则 121207nnaa，若 2017n时，则当 (,)k时，集合 A中不可能存在若干不同元素的和为 k，故 ，即 9n.此时可构造集合 1,2486,3,12856,49710A.因为当 ,k时， k可以等于集合 中若干个元素的和；故当 22,时， k可以等于集合 2,中若干不同元素的和；故当 888,1,5k时， 可以等于集合 81,中若干不同元素的和；故当 49734971时， k可以等于集合 2,497中若干不同元素的和；故当 0,02,08k 时， 可以等于集合 8,2,109中若干不同元素的和，所以集合 1,2486,3,156,4971A满足题设，所以当 n取最小值 11 时， na的最大值为 0
