1、2017 届北京市朝阳区高三上学期期末考试数学文试题（word 版）2017.1（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集 UR，集合 1Ax， 20Bx，则()ABA. |2x B. |x C. 1 D. |22.复数 i A. 2i B. 22i C. 1+i D. 1i 3 已知非零实数 a， b满足 ，则下列不等式中一定成立的是A. 0 B. 1ab C. 2ab
2、D. 30ab4. 已知平面向量 (,)， 3(,)2，则 与 的夹角为A. 6 B C. D. 65.已知 0a，且 1，则“ 函数 xya在 R上是减函数”是“函数 3(2)yax在 R上是增函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知双曲线 12byax 0(a， )b的左、右焦点分别是 1F， 2，M 是双曲线上的一点，且|1MF| 3， | 2|=1， 321FM，则该双曲线的离心率是A B C 21 D 13或 27某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为12俯视图正视图 侧视图1A.
3、 23 B. 23 C.4D.8某校高三（1）班 32 名学生参加跳远和掷实心球两项测试。跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为 26 人和 23 人，这两项成绩均不合格的有 3 人，则这两项成绩均合格的人数是A.23 B. 20 C. 21 D.19第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9 已知等差数列 na前 n 项和为 nS.若 12a， 3aS，则 2=_， 10S .10圆 C： 20xy的圆心到直线 41xy的距离是 11执行如图所示的程序框图，则输出 的结果为_.12在 ABC中，已知 45,2
4、ACB，则 . 13设 D 为不等式组0,+3xy表示的平面区域，对于区域 D 内除原点外的任一点 (,)Axy，则 2y的最大值是_， 2xy的取值范围是_.14. 甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖。有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖” ；乙说：“甲、丙都未获奖” ；丙说： “丁获奖”；丁说：“丙说的不对”。若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是 .三、解答题：本大题共6小题，共 80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分 13 分）开始 0,1Si是否6?输出 S结束2iSi已知函数 2()23sincos1fxxx.（）求 的最小正
5、周期；（）求 ()fx在区间 ,64上的最大值和最小值.16. （本小题满分 13 分）已知等比数列 na的各项均为正数，且 24a， 342a（）求数列 的通项公式；（）若数列 nb满足 13， 26b，且 n是等差数列，求数列 的前 项和.17. （本小题满分 13 分）甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训。在培训期间，他们参加的 5 次测试成绩记录如下：甲： 82 82 79 95 87乙： 95 75 80 90 85（）用茎叶图表示这两组数据；（）从甲、乙两人的这 5 次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；（）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角
6、度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由18. （本小题满分 14 分）如图，四边形 ABCD是边长为 2的正方形，平面 ABCD平面 EF，/,AFE,E, 1AF（）求证： 平面 ；（）求证： /平面 ；（）求三棱锥 CD的体积19. （本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy中，动点 P与两定点 (2,0)A, (B连线的斜率乘积为 12，记点 P的轨迹为曲线 C.（）求曲线 的方程；（）若曲线 上的两点 ,MN满足 /P, /ONB，求证： MN的面积为定值.20. （本小题满分 14 分）FAD CBE设函数 2()1e,xfaR.（）当 a时，求曲线 ()yf在点 1,
7、()f处的切线方程；（）若函数 ()fx有两个零点，试求 的取值范围;(III)设函数 lne,xg当 0a时，证明 ()0fxg.北京市朝阳区 2016-2017 学年度高三年级第一学期统一考试数学答案（文史类） 2017.1 一、选择题：（满分 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C D D B A D C B二、填空题：（满分 30 分）题号 9 10 11 12 13 14答案 4， 1033010594， 2,0甲（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（满分 80 分）15. （本小题满分 13 分）解: 解：（ ）因为 2()sincos1f
8、xxx23si()6x.所以 )(xf的最小正周期为 . 7 分（）因为 2, .643x所 以 -当 2xx即 时， )(f取得最大值 ；当 2,()66xxfx即 时 取得最小值 1. 13 分16. （本小题满分 13 分）解：(）解：设等比数列 na的公比为 q，依题意 0 因为 1234,aq 两式相除得 ： 60， 解得 2q， 3(舍去) 所以 1a 所以数列 n的通项公式为 12nnaq 6 分 （）解:由已知可得 132b， 64b， 因为 na为等差数列，所以数列 n是首项为 ，公差为 1d的等差数列 所以 1()nb. 则 2.因此数列 n的 前 项和：2312nnT 3
9、()() 21n. 13 分17. （本小题满分 13 分）解：（）作出茎叶图如下；4 分（）记甲被抽到的成绩为 x，乙被抽到成绩为 y，用数对 ,xy表示基本事件：甲 乙97250882,95,782,0,982,5,7,587,95,8,0,98,5基本事件总数 2n设“甲的成绩比乙高” 为事件 A,事件 A 包含的基本事件：2,75,7,958098805事件 A 包含的基本事件数 12m所以， 5Pn9 分（）派甲参赛比较合适，理由如下：170839012758x甲 （ ），(20)5乙2 2229)(5)(8(95)31.6S甲221(780)8)0乙因为 ,xs甲 乙 甲 乙，所以
10、，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适13 分 18. （本小题满分 14 分）证明：（）因为平面 ABCD平面 EF，平面 平面 ，且 AB，所以 E平面 ABCD.因为 平面 ，所以 又因为四边形 为正方形，所以 D因为 BDE，所以 C平面 4 分（）设 ACO，因为四边形 为正方形，所以 为 B中点设 G为 DE的中点，连结 ,GF，则 /O，且 12EFAD CBEOG由已知 /AFBE，且 12BE，则 ,OG且 .所以四边形 为平行四边形 .所以 /AF，即 /C因为 平面 DE， 平面 EF，所以 /平面 9 分（）由（）可知 B平面 A，因为 /AF，所以 平面 BCD，所以 ,
11、又因为四边形 C为正方形，所以 ，所以 D平面 E由（）可知， /A平面 DF，所以，点 到平面 的距离等于 A点到平面 DEF的距离，所以 CDEFV因为 2B所以 11332EFADAEFAEFVSABD123故三棱锥 C的体积为 14 分 19. （本小题满分 13 分）解：（）设 (,)Pxy，则 12yx，整理得214). 5 分（）依题直线 ,OMN的斜率乘积为 12.当直线 的斜率不存在时，直线 ,ON的斜率为 2，设直线 OM的方程是 2yx，由24,yx得 2， 1y.取 (,)，则 (2,1)N.所以 OMN的面积为 2.当直线 的斜率存在时，设方程为 ykxm.由 2,4
12、0ykxm得， 22(1)440kxkm.因为 M， N在椭圆 C上，所以 22216()0k，解得 2.设 1(,)xy, 2,则 12241kx， 241xk；所以2222211()()mMNk k224()m.设点 O到直线 N的距离为 d，则 21k.所以 M的面积为221(4)OMNmkS .因为 /PA, /B，直线 , 的斜率乘积为 12，所以 12yx.所以21212112()()ykxmkxmx24=.km由24，得 22.由，得221()OMNmSd . 13 分20. （本小题满分 14 分）解：（）当 a时，函数 2()exf， 因为 ()e2xf，所以 1+.又 (1
13、),f则所求的切线方程为 (e)yx.化简得： (e)x.3 分 （）因为 2fa当 0a时，函数 ()1exf只有一个零点；当 0a，函数当 (,0)x时， ()0fx；函数当 (,)x时， f.所以 f在 上单调递减，在 (,)上单调递增.又 (0)1， ()fa，因为 x，所以 0,1xe，所以 (1)xe，所以 2()1gxa取 042a，显然 0且 0g所以 ()1f， 0()fx.由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.当 0a时，由 ()e2)xfa，得 0x，或 ln(2)a.若 12，则 ln0.故当 (,)x时， ()fx，所以函数 ()fx在 ,)在单调递增，所
14、以函数 ()fx在 0,)至多有一个零点.又当 (,0)时， ()0f，所以函数 ()f在 ,0)上没有零点.所以函数 fx不存在两个零点.若 12a，则 ln()a.当 (l),时， 0fx，所以函数 ()fx在 ln2),a上单调递增，所以函数 ()fx在n至多有一个零点.当 (,0)x时， ()fx；当 (,l)时， ()0fx；所以函数 f在 ,上单增， 0n2a上单调递减，所以函数 ()fx在(,ln2)a上的最大值为 ()1f，所以函数 ()fx在 ,ln2a上没有零点.所以 fx不存在两个零点.综上， 的取值范围是 (0,). 9 分 （III）证明:当0a时， ()1eln1xfxgx.设 elnh，其定义域为 (0,)，则证明 ()0hx即可.因为 1()exh，所以 (0.)h， (1)0.又因为 2)，所以函数 x在 ,上单调递增.所以 ()0hx有唯一的实根 0(,1)x，且 0e.当 0时， ()；当 0时， ()hx.所以函数 hx的最小值为 hx.所以 000()eln101x.所以 ()fxg. 14 分
