1、2016-2017 学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1复数 z= 在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知集合 A=1，2，3，B=1，m ，A B=B，则实数 m 的值为（ ）A2 B3 C1 或 2 或 3 D2 或 33如果 sin（A）= ，那么 cos（ A）=（ ）A B C D4设 x，yR，向量 =（1，x） ， =（3，2 x） ，若 ，则实数 x 的取值为（ ）A1 B3 C1 或 3 D3 或15函数 y=log2 的大致图象是（ ）A B C D6设变量 x，
2、y 满足约束条件 ，则目标函数 z=3xy 的取值范围是（ ）A B C 1，6 D7如图，半径为 2 的O 中， AOB=120，C 为 OB 的中点， AC 的延长线交O 于点 D，连接 BD，则弦 BD 的长为（ ）A B C D8若函数 f（x）= x2lnx 在其定义域的一个子区间（k1，k+1）上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是（ ）A （1，2） B1，2） C0，2） D （0，2）二、填空题9抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=2，则 a= 10极坐标系中，直线 sin（ ）+1=0 与极轴所在直线的交点的极坐标为 （只需写出一个即可）11点 P 是直线 l：xy+4
3、=0 上一动点，PA 与 PB 是圆 C：（x1） 2+（y1） 2=4 的两条切线，则四边形PACB 的最小面积为 12已知双曲线 C 的渐进线方程为 y= x，则双曲线 C 的离心率为 13集合 U=1，2，3的所有子集共有 个，从中任意选出 2 个不同的子集 A 和 B，若 AB 且 BA，则不同的选法共有 种14已知数列a n是各项均为正整数的等差数列，公差 dN*，且a n中任意两项之和也是该数列中的一项（1）若 a1=4，则 d 的取值集合为 ；（2）若 a1=2m（mN *） ，则 d 的所有可能取值的和为 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分）15已知函数 f（x）=sin
4、 2x+2sinxcosx+3cos2x（）求函数 f（x）的单调递增区间；（）若 x0， ，求函数 f（x）的最值及相应 x 的取值16已知递减等差数列a n满足：a 1=2，a 2a3=40（）求数列a n的通项公式及前 n 项和 Sn；（）若递减等比数列b n满足：b 2=a2，b 4=a4，求数列b n的通项公式17某公司每月最多生产 100 台警报系统装置，生产 x 台（xN *）的总收入为 30x0.2x2（单位：万元）每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为 40 万元，此外，每生产一台还需材料成本 5 万元在经济学中，常常利用每月利润函数 P（x）的边际利润函数 MP（
5、x）来研究何时获得最大利润，其中 MP（ x）=P（x+1） P（x） （）求利润函数 P（x）及其边际利润函数 MP（x） ；（）利用边际利润函数 MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？18已知函数 f（x）=axe x，其中常数 a0，e 为自然对数的底数（）求函数 f（x）的单调区间；（）当 a=1 时，求函数 f（ x）的极值；（）若直线 y=e（x ）是曲线 y=f（x）的切线，求实数 a 的值19已知椭圆 C： + =1（ab0） ，离心率 e= ，已知点 P（0， ）到椭圆 C 的右焦点 F 的距离是 设经过点 P 且斜率存在的直线与椭
6、圆 C 相交于 A、B 两点，线段 AB 的中垂线与 x 轴相交于一点Q（）求椭圆 C 的标准方程；（）求点 Q 的横坐标 x0 的取值范围20对于序列 A0：a 0，a 1，a 2，a n（n N*） ，实施变换 T 得序列 A1：a 1+a2，a 2+a3，a n1+an，记作A1=T（A 0）：对 A1 继续实施变换 T 得序列 A2=T（A 1）=T （T （A 0） ） ，记作 A2=T2（A 0） ；A n1=Tn1（A 0） 最后得到的序列 An1 只有一个数，记作 S（A 0） （）若序列 A0 为 1，2，3 ，求 S（A 0） ；（）若序列 A0 为 1，2， ，n，求 S
7、（A 0） ；（）若序列 A 和 B 完全一样，则称序列 A 与 B 相等，记作 A=B，若序列 B 为序列 A0：1，2，n 的一个排列，请问：B=A 0 是 S（B ）=S（A 0）的什么条件？请说明理由2016-2017 学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1复数 z= 在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最
8、简结果，写出对应的点的坐标，得到位置【解答】解：z= = = + i，复数 z 在复平面上对应的点位于第一象限故选 A2已知集合 A=1，2，3，B=1，m ，A B=B，则实数 m 的值为（ ）A2 B3 C1 或 2 或 3 D2 或 3【考点】交集及其运算【分析】根据 A，B，以及两集合的交集为 B，得到 B 为 A 的子集，确定出实数 m 的值即可【解答】解：A=1，2，3，B=1，m ，且 AB=B，BA，则实数 m 的值为 2 或 3，故选：D3如果 sin（A）= ，那么 cos（ A）=（ ）A B C D【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系【分析】直接利用诱
9、导公式化简求解函数值即可【解答】解：sin（A）= ，可得 sinA= ，cos（ A）=sinA= ，故选：B4设 x，yR，向量 =（1，x） ， =（3，2 x） ，若 ，则实数 x 的取值为（ ）A1 B3 C1 或 3 D3 或1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由 ，可得 =0，解出即可得出【解答】解： ， =3+x（2x）=0，化为 x22x3=0，解得 x=3 或 1故选：D5函数 y=log2 的大致图象是（ ）A B C D【考点】函数的图象【分析】分析出函数的定义域和单调性，利用排除法，可得答案【解答】解：函数 y=log2 的定义域为（1，+） ，故排除
10、C，D ； 函数 y=log2 为增函数，故排除 B，故选：A6设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=3xy 的取值范围是（ ）A B C 1，6 D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中 z 的几何意义可求 z 的最大值与最小值，进而可求 z 的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由 z=3xy 可得 y=3xz，则 z 为直线 y=3xz 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线 y=3xz 平移到 B 时，z 最小，平移到 C 时 z 最大由 可得 B（ ，3） ，由 可得 C（2，0） ，
11、z max=6故选 A7如图，半径为 2 的O 中， AOB=120，C 为 OB 的中点， AC 的延长线交O 于点 D，连接 BD，则弦 BD 的长为（ ）A B C D【考点】与圆有关的比例线段【分析】在OAC 中，运用余弦定理可得 AC，cosACO，延长 CO 交圆于 E，再由圆的相交弦定理，可得 ACCD=BCCE，求得 CD，再在BCD 中，运用余弦定理可得 BD 的长【解答】解：在OAC 中，OA=2 ，OC=1 ，AOC=120 ，可得 AC2=OA2+OC22OAOCcosAOC=4+1221cos120=5+2=7，即 AC= ，cosACO= = = ，延长 CO 交圆
12、于 E，由圆的相交弦定理，可得 ACCD=BCCE，即 CD= = = ，在BCD 中，BD 2=BC2+DC22BCDCcosBCD=1+ 21 = 可得 BD= 故选：C8若函数 f（x）= x2lnx 在其定义域的一个子区间（k1，k+1）上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是（ ）A （1，2） B1，2） C0，2） D （0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论【解答】解：函数的定义域为（0，+） ，函数的 f（x ）=x = ，由 f（x）0 解得 x1，此时函数单调递增，由 f（x）0 解得 0x1，此时函数
13、单调递减，故 x=1 时，函数取得极小值当 k=1 时， （ k1，k+1）为（0，2） ，函数在（0，1）上单调减，在（1，2）上单调增，此时函数在（0，2）上不是单调函数，满足题意；当 k1 时，函数 f（x）在其定义域的一个子区间（ k1，k+1）内不是单调函数，x=1 在（k 1，k+1）内，即 ，即 ，即 0k2，此时 1k2，综上 1k2，故选：B二、填空题9抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=2，则 a= 8 【考点】抛物线的简单性质【分析】依题意可求得抛物线 x2=ay 的准线方程是 y= ，而抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=2，从而可求a【解答】解：抛物线 x2=ay
14、 的准线方程是 y= ，又抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=2， =2，a=8故答案为：810极坐标系中，直线 sin（ ）+1=0 与极轴所在直线的交点的极坐标为 （2，） （只需写出一个即可）【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】令 =，可得： +1=0，解得 即可得出【解答】解：令 =，可得： +1=0，解得 =2，可得交点（2， ） 故答案为：（2，） 11点 P 是直线 l：xy+4=0 上一动点，PA 与 PB 是圆 C：（x1） 2+（y1） 2=4 的两条切线，则四边形PACB 的最小面积为 4 【考点】圆的切线方程【分析】利用切线与圆心的连线垂直，可得 SPACB=2SAC
15、P ，要求四边形 PACB 的最小面积，即直线上的动点到圆心的距离最短，利用二次函数的配方求解最小值，得到三角形的边长最小值，可以求四边形PACB 的最小面积【解答】解：根据题意：圆 C：（x 1） 2+（y1） 2=4，圆心为（1，1） ，半径 r=2，点 P 在直线 xy+4=0 上，设 P（t，t +4） ，切线与圆心的连线垂直，直线上的动点到圆心的距离 d2=（t 1） 2+（t+41） 2，化简：d 2=2（t 2+2t+5）=2（t+1） 2+8， ，那么： ，则|PA| min=2，三角形 PAC 的最小面积为： =2，可得：S PACB=2SACP=4，所以：四边形 PACB
16、的最小面积 SPABC=4，故答案为：412已知双曲线 C 的渐进线方程为 y= x，则双曲线 C 的离心率为 或 【考点】双曲线的简单性质【分析】双曲线的渐近线为 y= x，可得 = 或 3，利用 e= = ，可求双曲线的离心率【解答】解：双曲线的渐近线为 y= x， = 或 3，e= = = 或 故答案为： 或 13集合 U=1，2，3的所有子集共有 8 个，从中任意选出 2 个不同的子集 A 和 B，若 AB 且BA，则不同的选法共有 9 种【考点】子集与真子集【分析】根据含有 n 个元素的集合，其子集个数为 2n 个，即可得到子集个数从中任意选出 2，AB 且BA先去掉1，2，3和，还
17、有 6 个子集，为1，2，3，1，2，1，3，2，3，从这 6 个中任选 2 个都是：AB 且 BA，即可得到答案【解答】解：集合 U=1，2，3含有 3 个元素，其子集个数为 23=8 个从中任意选出 2 个不同的子集 A 和 B，AB 且 BA先去掉 1，2，3和，还有 6 个子集，为1，2，3，1，2，1，3，2，3，从这 6 个中任选 2 个都是：AB 且 BA，有1，2、1，3、 1，2，3、2，3、2，1，3、3，1，2、1，2，1，3、 1，2，2， 3、1，3，2，3，则有 9 种故答案为：8，914已知数列a n是各项均为正整数的等差数列，公差 dN*，且a n中任意两项之和
18、也是该数列中的一项（1）若 a1=4，则 d 的取值集合为 1，2，4 ；（2）若 a1=2m（mN *） ，则 d 的所有可能取值的和为 2 m+11 【考点】等差数列的性质；等比数列的前 n 项和【分析】由题意可得，a p+aq=ak，其中 p、q、kN *，利用等差数列的通项公式可得 d 与 a1 的关系，然后根据 d 的取值范围进行求解【解答】解：由题意可得，a p+aq=ak，其中 p、q、kN *，由等差数列的通向公式可得 a1+（p 1）d+a 1+（q1）d=a 1+（k 1） ，整理得 d= ，（1）若 a1=4，则 d= ，p、q、kN *，公差 dN*，kp q+1N*，
19、d=1，2，4，故 d 的取值集合为 1，2，4；（2）若 a1=2m（mN *） ，则 d= ，p、q、kN *，公差 dN*，kp q+1N*，d=1，2，4，2 m，d 的所有可能取值的和为 1+2+4+2m= =2m+11，故答案为（1）1，2，4， （2）2 m+11三、解答题（共 6 小题，满分 80 分）15已知函数 f（x）=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x（）求函数 f（x）的单调递增区间；（）若 x0， ，求函数 f（x）的最值及相应 x 的取值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值【分析】 （）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数 f（x） ，再由正弦函数的周期和单调增区间，解不等式即可得到（）由 x 的范围，可得 2x2x+ 的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最值【解答】解：（）f（x）=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2= sin（2x+ ）+2，令 2k 2x+ 2k+ ，k Z，则 k xk+ ，kZ，则有函数的单调递增区间为k ，k+ ，kZ（）当 x0， 时，2x+ ， ，则有 sin（2x+ ）1，1，
