1、2015-2016 学年浙江省温州市乐清市乐成寄宿中学高三（下）3 月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知向量 =（2m ，1） ，向量 =（1，8） ，若 ，则实数 m 的值是（ ）A4 B4 C D2 （5 分） （x 2+x+y） 5 的展开式中，x 5y2 的系数为（ ）A10 B20 C30 D603 （5 分）直线 y=x1 与抛物线 y2=2x 相交于 P、Q 两点，抛物线上一点 M 与 P、Q 构成MPQ 的面积为，这样的点 M 有且只有（ ）个A1 B2 C3 D44 （5 分）已知等比数列a n的公比为正数，且
2、 a3a9=2a52，a 2=1，则 a1=（ ）A B C D25 （5 分）已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 ，那么（ ）A B C D6 （5 分）半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（ ）A B C D7 （5 分）函数 f（x）的定义域为 R，f（1）=2，对任意 xR，f （x）2，则 f（x）2x+4 的解集为（ ）A （1， 1） B （ 1，+ ） C （ ，l ） D （，+）8 （5 分）已知函数 f（x）=sin（2x+）满足 f（x）f （a）对于 xR 恒成立，则函数（ ）Af（x a）一定是奇函数 Bf（xa ）一定是偶函数Cf
3、（x+a）一定是奇函数 Df （x+a）一定是偶函数9 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为4 时，则输入的 S0 的值为（ ）A7 B8 C9 D1010 （5 分）已知函数 f（x） =ex1，g（x）=x 2+4x3，若存在 f（a）=g（b） ，则实数 b 的取值范围为（ ）A1，3 B （1，3） C D11 （5 分）过抛物线 y2=2px（p0）的焦点作直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PQ 中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（ ）Ay 2=4x By 2=2x Cy 2=8x Dy 2=6x12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（
4、x）=f（x） ，则 f（x）可以是（ ）A Bf（x）=2sin3x C Df （x）=2cos3x二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）函数 y=x+2cosx 在区间0， 上的最大值是 14 （5 分）以下四个命题中：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 1，某项测量结果 服从正态分布 N （1，a 2） ，P（5）=0.81，则 P（3）=0.19，对于两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说，k 越
5、小，判断“X 与 Y 有关系”的把握程度越大以上命题中其中真命题的个数为 15 （5 分）已知 + + = ，且 与 的夹角为 60，| |= | |，则 cos ， 等于 16 （5 分）某化工厂准备对某一化工产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为 6081，精确度要求1现在技术员准备用分数法进行优选，则最多需要经过 次试验才能找到最佳温度三、解答题（70 分）17 （12 分）设函数 f（x）= 的定义域为 A，函数 g（x）=2+log 2x（x1）的值域为 B（）求 A、B；（）求设 AB=U，求 U（A B） 18 （12 分）直线 l 经过两点（ 2，1） ， （6，3
6、） （1）求直线 l 的方程；（2）圆 C 的圆心在直线 l 上，并且与 x 轴相切于（2，0 ）点，求圆 C 的方程19 （8 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，若 b=1，c= （）求角 C 的取值范围；（）求 4sinCcos（C ）的最小值20 （12 分）已知矩阵 A=（1）求 A 的逆矩阵 A1；（2）求 A 的特征值及对应的特征向量21 （12 分）设 p：实数 x 满足 x25ax+4a20（其中 a0） ，q：实数 x 满足 2x5（1）若 a=1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围；（2）若q 是p 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围
7、22 （14 分）对于定义域为 D 的函数 y=f（x） ，若同时满足下列条件：f （x）在 D 内单调递增或单调递减；存在区间a ，b D，使 f（x）在a ，b上的值域为a，b；那么把 y=f（x） （xD）叫闭函数，且条件中的区间a ，b为 f（ x）的一个“好区间”（1）求闭函数 y=x3 的“好区间”；（2）若1，16为闭函数 f（ x）=m x 的“好区间 ”，求 m、n 的值；（3）判断函数 y=k+ 是否为闭函数？若是闭函数，求实数 k 的取值范围2015-2016 学年浙江省温州市乐清市乐成寄宿中学高三（下）3 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题 12
8、 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分） （2015 山西四模）已知向量 =（2m，1） ，向量 =（1， 8） ，若 ，则实数 m 的值是（ ）A4 B4 C D【分析】运用向量垂直的条件：数量积为 0，解方程即可求得 m【解答】解：由向量 =（2m ，1） ，向量 =（1，8） ，若 ，则 =0，即 2m1+1（8）=0 ，解得 m=4，故选 B【点评】本题考查平面向量的运用，考查向量垂直的条件：数量积为 0，考查运算能力，属于基础题2 （5 分） （2015 河北） （x 2+x+y） 5 的展开式中，x 5y2 的系数为（ ）A10 B20 C30 D60【分析】利用展开式
9、的通项，即可得出结论【解答】解：（x 2+x+y） 5 的展开式的通项为 Tr+1= ，令 r=2，则（x 2+x） 3 的通项为 = ，令 6k=5，则 k=1，（x 2+x+y） 5 的展开式中，x 5y2 的系数为 =30故选：C【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键3 （5 分） （2016 春 乐清市校级月考）直线 y=x1 与抛物线 y2=2x 相交于 P、Q 两点，抛物线上一点 M 与P、Q 构成MPQ 的面积为 ，这样的点 M 有且只有（ ）个A1 B2 C3 D4【分析】M 在抛物线上，设 M（t， ） ，直线与抛物线相交求出弦长 PQ，利用点到
10、直线的距离就是MPQ 的高，即可求出满足题意的 M 的坐标即可知道点 M 的个数【解答】解：直线 y=x1 与抛物线 y2=2x 相交于 P、Q 两点联立： ，解得：x 24x+1=0，则 Q（2 ，1 ）P（2 ，1+ ）|PQ|= =2 MPQ 的面积为 =2 d ，解得：d= M 在抛物线上，设 M（t， ） ，d= =解得： =3 或 =3令则有： =3或 =3由0，可知 n 有两个解由 化简为（n2） 2=0，n 有一个解故 M 的坐标有 3 个故选：C【点评】本题查了抛物线与直线的关系的运用能力及计算能力属于基础题4 （5 分） （2009 广东）已知等比数列a n的公比为正数，且
11、 a3a9=2a52，a 2=1，则 a1=（ ）A B C D2【分析】设等比数列的公比为 q，根据等比数列的通项公式把 a3a9=2a25 化简得到关于 q 的方程，由此数列的公比为正数求出 q 的值，然后根据等比数列的性质，由等比 q 的值和 a2=1 即可求出 a1 的值【解答】解：设公比为 q，由已知得 a1q2a1q8=2（a 1q4） 2，即 q2=2，又因为等比数列a n的公比为正数，所以 q= ，故 a1= 故选 B【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题5 （5 分） （2012 秋 枣强县期末）已知 O 是ABC 所在平面内一点
12、， D 为 BC 边中点，且，那么（ ）A B C D【分析】由向量的中点公式可得 ，代入已知式子化简即得【解答】解：D 为 BC 边中点， ，代入已知可得 ，即 ，故可得故选 D【点评】本题考查向量的基本运算，利用向量的中点公式是解决问题的关键，属中档题6 （5 分） （2014 秋 平度市期末）半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（ ）A B C D【分析】半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为 R，底面半径 r= ，求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案【解答】解：半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为 R，设圆锥的底面半径为 r，则 2r=R，即 r= ，
13、圆锥的高 h= = ，圆锥的体积 V= = ，故选：C【点评】本题考查旋转体，即圆锥的体积，考查了旋转体的侧面展开和锥体体积公式等知识7 （5 分） （2011 辽宁）函数 f（x）的定义域为 R，f（1）=2，对任意 xR，f （x）2，则 f（x）2x+4 的解集为（ ）A （1， 1） B （ 1，+ ） C （ ，l ） D （，+）【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为 F（x）构成一个函数，把 x=1 代入F（x）中，由 f（ 1）=2 出 F（ 1）的值，然后求出 F（x）的导函数，根据 f（x）2，得到导函数大于 0即得到 F（x）在 R 上为增函数，根据函数
14、的增减性即可得到 F（x）大于 0 的解集，进而得到所求不等式的解集【解答】解：设 F（x）=f （x）（2x+4） ，则 F（1）=f（1） （2+4）=22=0，又对任意 xR，f（x）2，所以 F（x）=f（x） 20，即 F（x）在 R 上单调递增，则 F（x）0 的解集为（ 1，+） ，即 f（x）2x+4 的解集为（ 1，+） 故选 B【点评】此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题8 （5 分） （2016 绍兴二模）已知函数 f（x）=sin（2x+）满足 f（x）f（a）对于 xR 恒成立，则函数（ ）Af（x a）一定是奇函数 Bf（xa ）一定是偶函数
15、Cf（x+a）一定是奇函数 Df （x+a）一定是偶函数【分析】先确定 f（a）的值，再由正弦函数的性质可得到 a， 的关系式，然后代入到 f（x+a ）根据诱导公式进行化简，对选项进行验证即可【解答】解：由题意可知 sin（2a +）=12a+=2k + f（x+a）=sin（2x+2a +）=sin（2x+2k + ）=cos2x故选 D【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性三角函数的基本性质要熟练掌握9 （5 分） （2015 重庆校级模拟）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为4 时，则输入的 S0 的值为（ ）A7 B8 C9 D10【分析】根据程序框图，知当 i=4 时，输出 S，
16、写出前三次循环得到输出的 S，列出方程求出 S0 的值【解答】解：根据程序框图，知当 i=4 时，输出 S，第一次循环得到：S=S 02，i=2；第二次循环得到：S=S 024，i=3；第三次循环得到：S=S 0248，i=4；S 0248=4解得 S0=10故选 D【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列10 （5 分） （2014 郑州模拟）已知函数 f（x）=e x1，g（x）=x 2+4x3，若存在 f（a）=g（b） ，则实数 b 的取值范围为（ ）A1，3 B （1，3）
17、 C D【分析】确定两个函数的值域，根据 f（a）=g（b） ，可得 g（b）（1，1，即可求得实数 b 的取值范围【解答】解：由题可知 f（x） =ex11，g（x）=x 2+4x3=（x2） 2+11，若有 f（a）=g （ b） ，则 g（b ）（1，1，即b 2+4b31，即 b24b+2 0，解得 所以实数 b 的取值范围为故选 D【点评】本题考查函数的值域，考查解不等式，同时考查学生分析解决问题的能力11 （5 分） （2015 绿园区校级三模）过抛物线 y2=2px（p0）的焦点作直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PQ 中点的横坐标为 3，|PQ|=10 ，则抛物线方程是（
18、）Ay 2=4x By 2=2x Cy 2=8x Dy 2=6x【分析】利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF |=x1+ +x2 + ，把线段 PQ 中点的横坐标为3，|PQ|=10 代入可得 P 值，然后求解抛物线方程【解答】解：设抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1+ +x2 + =（x 1+x2）+p，线段 PQ 中点的横坐标为 3，又|PQ|=10，10=6 +p，可得 p=4抛物线方程为 y2=8x故选：C【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键12 （5 分） （
19、2011 南溪县校级模拟）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）=f（x） ，则 f（x）可以是（ ）A Bf（x）=2sin3x C Df （x）=2cos3x【分析】由 ，可得 ，故函数 f（x）的周期等于 2，据 f（x）=f（x） ，可知函数 f（x）是奇函数，检验各个选项【解答】解：函数 f（x）满足 ， ，故函数 f（x）的周期等于 2又 f（ x）=f （ x） ，故函数 f（x）是奇函数，同时满足这两个条件的只有 B，故选 B【点评】本题考查正弦函数的奇偶性和周期性的应用二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，满分 20 分）13 （5 分） （2016 淮南二模
20、）函数 y=x+2cosx 在区间0， 上的最大值是 【分析】可先利用导数判断函数的单调性，再利用单调性求最值【解答】解：y=1 2sinx=0，在区间 0， 上得 x=故 y=x+2cosx 在区间0， 上是增函数，在区间 ， 上是减函数，x= 时，函数 y=x+2cosx 在区间0， 上的最大值是 ，故答案为： 【点评】本题考查利用函数的单调性求最值、导数的应用、三角函数求值等，难度一般14 （5 分） （2016 安徽校级一模）以下四个命题中：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的
21、绝对值越接近于 1，某项测量结果 服从正态分布 N （1，a 2） ，P（5）=0.81，则 P（3）=0.19，对于两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说，k 越小，判断“X 与 Y 有关系”的把握程度越大以上命题中其中真命题的个数为 2 【分析】根据抽样方法的定义和特点即可判断；利用相关性系数 r 的意义去判断；根据正态分布的特点和曲线表示的意义来判断根据随机变量 k2 的观测值 k 越大， “X 与 Y 有关系”的把握程度越大，判断是否为真命题【解答】解：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故错
22、误，根据线性相关系数 r 的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强， r 的绝对值越接近于 1，故正确；某项测量结果 服从正态分布 N（1，a 2） ，则曲线关于直线 x=1 对称，P（5）=P（15）+0.5=0.81，则 P（1 5 ）=0.31 ，故 P（ 3 1）=0.31，即有 P（3）=P （1）P（ 31）=0.50.31=0.19，故正确根据两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 k2 的观测值 k 来说，k 越大，判断“X 与 Y 有关系”的把握程度越大，得是假命题故错误，故正确的是，故答案为：2【点评】本题考查命题的真假判断，涉及抽样方法的概念、相关系数的意义以及正态分布的特
23、点和曲线表示的意义，是一道基础题15 （5 分） （2016 春 乐清市校级月考）已知 + + = ，且 与 的夹角为 60，| |= | |，则cos ， 等于 【分析】由 + + = ，| |= | |，可得 ，从而可得 ，代入可求，进而可求 cos = 【解答】解： + + = ，| |= | |， ， = =3 ， ， = （ ）= = = ，cos ， = = = 故答案为： 【点评】本题考查两个向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的应用，向量的夹角公式的应用，属于向量知识的简单应用16 （5 分） （2016 春 乐清市校级月考）某化工厂准备对某一化工产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为 6081，精确度要求1 现在技术员准备用分数法进行优选，则最多需要经过 6 次试验才能找到最佳温度【分析】由题知试验范围为60，81，可得区间长度为 21，将其等分 21 段，共有 20 个分点，由分数法的最优性定理可得结论【解答】解：由已知试验范围为60，81，可得区间长度为 21，将其等分 21 段，共有 20 个分点由分数法的最优性定理可知 F7=20，即通过 6 次试验可从这 20 个分点中找出最佳点故答案为：6
