1、2015-2016 学年山西省忻州一中、长治二中、康杰中学、临汾一中三校高三（下）第三次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知全集 U=R，A= ，B=x|lnx0，则 AB=（ ）Ax|1x2 Bx| 1 x2 Cx|x 1 或 x2 Dx|0x22 （5 分）若 =b+2i，其中 a，b R，i 是虚数单位，则 a+b 的值（ ）A3 B1 C1 D33 （5 分）设 sn 为等差数列a n的前 n 项和，S 8=4a3，a 7=2，则 a9=（ ）A6 B4 C 2 D24 （
2、5 分）已知双曲线 =1（a0，b0）的离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为（ ）Ay= 2x B C D5 （5 分）执行图中的程序框图（其中x表示不超过 x 的最大整数） ，则输出的 S 值为（ ）A5 B7 C9 D126 （5 分）以下四个命题中，真命题的个数是 （ ）若 a+b2，则 a，b 中至少有一个不小于 1； =0 是 的充要条件；x0，+） ，x 3+x0；函数 y=f（x+1）是奇函数，则 y=f（x）的图象关于（1，0）对称A0 B1 C2 D37 （5 分）定义 22 矩阵 =a1a4a2a3，若 f（x）= ，则 f（x）的图象向右平移 个单位得到函数 g（x） ，
3、则函数 g（x）解析式为（ ）Ag（x）= 2cos2x Bg（ x）= 2sin2xC D8 （5 分）在半径为 2 的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是（ ）A B C D9 （5 分）若点 P 在抛物线 y=x2 上，点 Q（0，3） ，则|PQ|的最小值是（ ）A B C3 D10 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A7 B7 C7 D811 （5 分）已知函数 f（n） = ，且 an=f（n）+f （n+1） ，则 a1+a2+a3+a50=（ ）A50 B60 C70 D8012 （5 分）若函
4、数 f（x）=x+ （bR）的导函数在区间（1，2）上有零点，则 f（x）在下列区间上单调递增的是（ ）A （，1 B （ 1，0） C （0，1） D （2，+）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13 （5 分）已知 ，若 ，则 与 的夹角的余弦值为 14 （5 分）已知变量 x，y 满足 ，则 z=x2+y2 的最大值为 15 （5 分）在四棱锥 SABCD 中，SA面 ABCD，若四边形 ABCD 为边长为 2 的正方形，SA=3，则此四棱锥外接球的表面积为 16 （5 分）若定义在区间 D 上的函数 y=f（x）满足：对xD，M R
5、，使得|f（x）|M 恒成立，则称函数 y=f（x）在区间 D 上有界则下列函数中有界的是： y=sinx； ；y=tanx； ；y=x3+ax2+bx+1（4x4） ，其中 a，bR三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcos2 +acos2 = c（）求证：a，c ，b 成等差数列；（）若 C= ，ABC 的面积为 2 ，求 c18 （12 分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了 M 名学生作为样本，得到这 M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统
6、计表和频率分布直方图如图：分组 频数 频率10，15） 20 0.2515，20） 50 n20，25） m p25，30） 4 0.05合计 M N（）求表中 n，p 的值和频率分布直方图中 a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在10，15）和25，30）的人中共抽取 6 人，再从这 6 人中选 2 人，求 2 人服务次数都在10，15）的概率19 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形，DAB=60（）证明：PBAD；（）若 PB=3，求四棱锥
7、 PABCD 的体积20 （12 分）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，且抛物线 x2=4 y 的焦点是椭圆 E 的一个焦点，以椭圆 E的长轴的两个端点及短轴的一个端点为顶点的三角形的面积为 6（）求椭圆 E 的方程；（）若斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，又点 C（ ，2） ，求ABC 面积最大时对应的直线 l 的方程21 （12 分）已知函数 f（x） =（a +1）lnx+x 2+1（）讨论函数 f（x）的单调性；（）若对任意不相等的 x1，x 2（0，+ ） ，恒有|f （x 1）f（x 2）4|x 1x2|成立，求非负实数 a 的取值范围请考生在 22，23，24
8、 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修 4-1：几何证明与选讲22 （10 分） （几何证明选讲选做题）已知 AD 是ABC 的外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点D，延长 DA 交ABC 的外接圆于点 F，连接 FB，FC（1）求证：FB=FC；（2）若 AB 是ABC 外接圆的直径，EAC=120 ，BC=3 ，求 AD 的长选修 4-4：坐标系与参数方程 23在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 （ 为参数） （1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程；（2）已知
9、A（2，0） ，B （0，2） ，圆 C 上任意一点 M（ x，y） ，求ABM 面积的最大值选修 4-5：不等式选讲24设 f（x）=|x 1|x+3|（1）解不等式 f（x）2；（2）若不等式 f（x）kx+1 在 x3， 1上恒成立，求实数 k 的取值范围2015-2016 学年山西省忻州一中、长治二中、康杰中学、临汾一中三校高三（下）第三次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2016 广东模拟）已知全集 U=R，A= ，B=x|lnx 0，则 AB=（ ）
10、Ax|1x2 Bx| 1 x2 Cx|x 1 或 x2 Dx|0x2【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集，分别确定出 A 与 B，找出两集合的并集即可【解答】解：由 A 中不等式变形得： 0，即（x+1） （x2）0，且 x20，解得：1x 2，即 A=x|1x2，由 B 中不等式变形得：lnx0=ln1，得到 0x1，即 B=x|0x1，则 AB=x|1x2，故选：B【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2 （5 分） （2016 春 辽宁校级期中）若 =b+2i，其中 a，bR ，i 是虚数单位，则 a+b 的值（ ）A3 B1 C1 D3【分析】利用复数相等
11、的定义即可得出【解答】解： =ai1=b+2i，其中 a、bR，i 是虚数单位，a=2，b=1a+b= 3故选：A【点评】本题考查了复数相等的定义，属于基础题3 （5 分） （2013 安徽）设 sn 为等差数列a n的前 n 项和，S 8=4a3，a 7=2，则 a9=（ ）A6 B4 C 2 D2【分析】由题意可得 ，解此方程组，求得首项和公差 d 的值，即可求得 a9 的值【解答】解：s n 为等差数列a n的前 n 项和，s 8=4a3，a 7=2，即 解得 a1=10，且 d=2，a 9=a1+8d=6，故选 A【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式的应用，属于基础
12、题4 （5 分） （2015 铜仁市模拟）已知双曲线 =1（a0，b0）的离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为（ ）Ay= 2x B C D【分析】由离心率的值，可设 ，则得 ，可得 的值，进而得到渐近线方程【解答】解： ，故可设 ，则得 ，渐近线方程为 ，故选 C【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出 的值是解题的关键5 （5 分） （2016 春 临汾校级月考）执行图中的程序框图（其中x表示不超过 x 的最大整数） ，则输出的S 值为（ ）A5 B7 C9 D12【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 n，S 的值，当 n=6 时，退出循环，计算输出 S
13、的值即可【解答】解：每次循环的结果分别为：n=0，S=0；n=1，S=1；n=2，S=1+1=2 ；n=3，S=2+1=3 ；n=4，S=3+2=5 ；n=5，S=5+2=7 ，n=6，S=7+2=9 ；这时 n5，输出 S=9故选：C【点评】本题考查了程序框图的运算和对不超过 x 的最大整数x的理解，要得到该程序运行后输出的 S的值，主要依据程序逐级运算，并通过判断条件调整运算的继续与结束，是基础题目6 （5 分） （2016 春 临汾校级月考）以下四个命题中，真命题的个数是 （ ）若 a+b2，则 a，b 中至少有一个不小于 1； =0 是 的充要条件；x0，+） ，x 3+x0；函数 y
14、=f（x+1）是奇函数，则 y=f（x）的图象关于（1，0）对称A0 B1 C2 D3【分析】利用逆否命题的真假判断的正误；由 可得 =0，反之不成立，取 = 即可判断；利用全称命题直接判断的正误即可利用函数的奇偶性以及对称性说明的正误；【解答】解：对于，逆否命题为：a ，b 都小于 1，则 a+b2 是真命题所以原命题是真命题对于， =0，反之不成立，取 = ，不能说 ，所以是假命题；对于，x0，+） ，x 3+x0；显然是真命题；对于，函数 y=f（x+1）是奇函数，函数的对称中心为（0，0） ，则 y=f（x）的图象是 y=f（x+1）的图象向右平移 1 个单位得到的，所以 y=f（x）
15、关于（1，0）对称是真命题；故选：D【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查向量的数量积与垂直的关系，函数的对称性，充要条件，是基础题7 （5 分） （2016 春 冀州市校级期末）定义 22 矩阵 =a1a4a2a3，若 f（x）=，则 f（x）的图象向右平移 个单位得到函数 g（x） ，则函数 g（x）解析式为（ ）Ag（x）= 2cos2x Bg（ x）= 2sin2xC D【分析】利用三角恒等变换化简函数 f（x）的解析式，再利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，求得函数 g（x）解析式【解答】解：由题意可得 f（ x）= =cos2xsin2x cos（ +2x）=cos
16、2x+ sin2x=2cos（2x ） ，则 f（x）的图象向右平移 个单位得到函数 g（x）=2cos 2（x ） =2 cos（2x ）=2cos2x，故选：A【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，属于中档题8 （5 分） （2016 春 临汾校级月考）在半径为 2 的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是（ ）A B C D【分析】由题意可得：要使弦长大于 CD 的长，就必须使圆心 O 到弦的距离小于|OM|，即可得出结论【解答】解：如图示：圆的半径为 2，设圆心为 O，AB 为圆的一条直径，CD 为
17、垂直于 AB 的一条弦，垂足为 M，若 CD 为圆内接正三角形的一条边，则 O 到 CD 的距离为 1，设 EF 为与 CD 平行且到圆心 O 距离为 1 的弦，交直径 AB 于点 N，所以当过 AB 上的点且垂直于 AB 的弦的长度超过 CD 时，该点在线段 MN 上移动，所以所求概率 P= ，故选：C【点评】本题主要考查几何概型概率的计算，是简单题，确定得到各自的几何度量是解决问题的关键9 （5 分） （2016 春 河南校级月考）若点 P 在抛物线 y=x2 上，点 Q（0，3） ，则|PQ|的最小值是（ ）A B C3 D【分析】由已知条件，设 P（x，y） ，利用两点间距离公式，求出
18、|PQ|，由此利用配方法能求出|PQ|的最小值【解答】解：设 P（x，y） ，Q（0，3） ，|PQ|= = = ，|PQ|的最小值是 故选：B【点评】本题考查两点间距离公式，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础10 （5 分） （2016 深圳校级一模）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A7 B7 C7 D8【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为 2 的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，结合图中数据即可求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为 2 的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，如图所示；所以该几何体的体积为V=V 正方体 =
19、23 122 122=7故选：A【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，解题的关键是关键三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目11 （5 分） （2016 秋 长沙校级月考）已知函数 f（n）= ，且 an=f（n）+f （n+1） ，则a1+a2+a3+a50=（ ）A50 B60 C70 D80【分析】根据条件，讨论当 n 是奇数和偶数时的通项公式，结合等差数列的前 n 项和公式，即可得到结论【解答】解：若 n 是奇数，则 an=f（n）+f（n+1）=n 2（n+1） 2=2n1，构成等差数列，则 a1=3，a 3=7，公差 d=7（ 3）= 7+3=4，则奇数项的和 S=253+
20、（ 4）=2551，若 n 是偶数，则 an=f（n）+f（n+1）=n 2+（n+1） 2=2n+1，则 a2=5，a 4=9，公差 d=95=4，则 25 个偶数项和 S=255+ 4=2553，则 a1+a2+a3+a502551+2553=50，故选：A【点评】本题主要考查数列求和，根据条件求出数列的通项公式，利用分组求和法是解决本题的关键12 （5 分） （2016 秋 长沙校级月考）若函数 f（x）=x+ （bR）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间上单调递增的是（ ）A （，1 B （ 1，0） C （0，1） D （2，+）【分析】本题先根据导函数在区间（1，
21、2）上有零点，得到 b 的取值范围，再利用 b 的取值范围，求出函数的单调增区间，结合 b 的取值范围，选择符合题意的选项【解答】解：函数 f（x）=x+ （bR） ，f（x）=1 ，函数 f（x）=x+ （bR）的导函数在区间（ 1，2）上有零点当 1 =0 时，b=x 2，x（1，2）b（1，4）令 f（x）0 得到 x 或 x ，即 f（x）的单调增区间为（， ） ， （ ，+） ，b（1，4） ，（2，+）适合题意故选：D【点评】本题在研究了 b 的取值范围后，得到了函数 f（x）的单调增区间，在选择选项时，要注意选择恒成立的选项二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13 （5 分） （2016 春 临汾校级月考）已知 ，若 ，则 与的夹角的余弦值为 【分析】由已知结合向量共线的坐标运算求得 s，然后由数量积求夹角得答案【解答】解： ，又 ，2 s=0，得 s=2，
