1、2018 届山东省德州市高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.把正确答案涂在答题卡上1. 在复平内，复数满足 ，则的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】由 ，得 ，则 ，即 的共轭复数对应的点 位于第一象限.故选 A.2. 设集合 ， ，若 ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ， ，且，即 ，所以 .故选 A.3. 已知直线 ： ， ： ，若 ： ； ，则 是 的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条
2、件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为直线 ： ， ： ，所以 或 ，即是 的必要不充分条件.故选 C.点睛：本题考查两条直线平行的判定；由直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若将一般式化成斜截式，往往需要讨论斜率是否存在，为了避免讨论，记住以下结论：已知直线 ， .则 或 ；.4. 设 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）A. B. -2 C. D. 【答案】A【解析】将 化为 ，作出可行域和目标函数基准直线 （如图所示） ，当直线向左上方平移时，直线 在 轴的截距增大，由图象，得当直线 过点 时，取得最小值 .故选 A.5. 我国古代数学典籍九
3、章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的行值 为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】程序框图，得 ， , ， ，结束循环，即输出 的值为 4.故选 A.6. 如图所示的阴影部分是由 轴及曲线 围成，在矩形区域 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，得矩形区域 的面积为 ，阴影部分的面积为 ，由几何概型的概率公式，得在矩形区域 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为 .故选A.7. 若双曲线的中心为原点， 是双曲
4、线的焦点，过 的直线与双曲线相交于 ， 两点，且 的中点为 ，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意设该双曲线的标准方程为 ， ，则 且 ，则 ，即 ，则 ，即 ，则，所以 ，即该双曲线的方程为 .故选 B.点睛：本题考查双曲线的标准方程、直线和双曲线相交的中点弦问题；在处理直线和圆锥曲线的中点弦问题时，往往利用点差法进行处理，比联立方程过程简单，其主要步骤是（1）代点： 且 ；（2）作差 ；（3）确定中点坐标和直线斜率的关系.8. 已知函数 （其中为自然对数的底数） ，则 的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令 ， ，所以函数 在 上单
5、调递减，在 上单调递增，又令 ，所以 有两个零点，因为 ， ，所以，且当 时， ，当 时， ， ，当 时， ， ，选项 C 满足条件.故选 C.点睛：本题考查函数的解析式和图象的关系、利用导数研究函数的单调性；已知函数的解析式识别函数图象是高考常见题型，往往从定义域、奇偶性（对称性） 、单调性、最值及特殊点的符号进行验证，逐一验证进行排除.9. 一个几何本的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知该几何体是由一个四棱锥（高为 ，底面是以 4 为底、3 为高的矩形）半个圆柱（半径为 2，高为 3）组合而成，则该几何体的体积为 .故选 D.10
6、. 已知点 是抛物线 ： 的焦点，点 为抛物线 的对称轴与其准线的交点，过 作抛物线 的切线，切点为 ，若点 恰好在以 ， 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，得 ，设过 的抛物线 的切线方程为 ，联立 ，令 ，解得 ，即 ，不妨设 ，由双曲线的定义得，则该双曲线的离心率为 .故选 C.11. 设偶函数 定义在 上，其导函数为 ，当 时， ，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令 ，因为 是定义在 上的偶函数，所以 是定义在 上的偶函数，又当 时， ，所以 在 上恒成立，即在 上单调递减，在 上单调递增，将 化
7、为 ，即 ，则，又 ，所以 ，即不等式 的解集为 .故选 C.点睛：本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“ ”和“”的联系构造函数 .12. 已知函数 的定义域为 ，若对于 ， ， ， ， ， 分别为某个三角形的三边长，则称为“三角形函数” ，下列四个函数为“三角形函数”的是（ ）A. ； B. ；C. ； D. 【答案】B【解析】由三角形的三边关系，可得“三角形函数”的最大值小于最小值的二倍，因为单调递增，无最大值和最小值，故排除 A， ，符合“三角形函数”的条件，即 B 正确，
8、 单调递增，最大值为 4，最小值为 1，故排除 C，单调递增，最小值为 1，最大值为，故排除 D.故选 B.点睛：本题以新定义为载体考查函数的单调性和最值；解决本题的关键在于正确理解“三角形函数”的含义，正确将问题转化为“判定函数的最大值和最小值间的关系”进行处理，充分体现转化思想的应用.第卷（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置13. 已知向量 ， ，若向量 与垂直，则 _【答案】【解析】因为 ， ，所以 ，由向量 与垂直，得 ，解得.14. 已知呈线性相关的变量 ， 之间的关系如下表所示：由表中数据，得到线性回归方程 ，由此估
9、计当 为 时， 的值为_【答案】【解析】由表格得 ，又线性回归直线 过点 ，则 ，即 ，令 ，得 .点睛：本题考查线性回归方程的求法和应用；求线性回归方程是常考的基础题型，其主要考查线性回归方程一定经过样本点的中心 ，一定要注意这一点，如本题中利用线性回归直线 过中心点求出的值.15. 展开式中，各项系数之和为 ，则展开式中的常数项为_【答案】【解析】令 ，则 ，即 ，因为 的展开式的通项为，所以 展开式中常数项为，即常数项为 .点睛：本题考查二项式定理；求二项展开式的各项系数的和往往利用赋值法（常赋值为 ）,还要注意整体赋值，且要注意展开式各项系数和二项式系数的区别.16. 已知函数 的图象
10、关于点 ，对称，记 在区间 的最大值为 ，且 在 上单调递增，则实数 的最小值是 _【答案】【解析】因为 关于点 对称，所以 ，又，所以 ，即 ， ，当 时， , ，即 ，令 ，即，当 时， ，即实数 的最小值是 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 7 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列 的前 项相为 ，且满足 （）求数列 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和 【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（）利用 求得数列的递推公式，再利用等比数列的定义和通项公式进行求解；（）先利用对数的运算得到 ，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析:（）当 时， -得： ；即 ，又
11、 ；得： ，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 ，即 ，（） ， ， ， 点睛：本题考查 的应用、裂项抵消法；（1）利用 解题时，要注意其是一个分段函数，一定要验证 是否满足第二段的表达式；（2）裂项抵消法是一种常考的求和方法，适用题型主要有： ； ； .18. 已知四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， ， 是 中点， 是 的中点， 是 上的点（）求证：平面 平面 ；（）当 是 中点，且 时，求二面角 的余弦值【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（）利用菱形的对角线相互垂直和等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，进而利用面面垂直的判定定理进行证
12、明；（）利用第一问的垂直关系建立空间直角坐标系，写出相关点的点的坐标，求出相关直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式进行求解.试题解析：（）连接 ，底面 为菱形， ， 是正三角形， 是 中点， ，又 ， ， 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 解：（）由（）得 ， ， 两两垂直，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ，则则 ， ， ， ， ， ， ， ，设 是平面 的个法向量，则 ，取 ，得 ，同理可求，平面 的个法向量，则 观察可知，二面角的平面角为锐角二面角 的平面角的余弦值为 19. 某市一次全市高中男生身高
13、统计调查数据显示：全市 名男生的身高服从正态分布 现从某学校高三年级男生中随机抽取 名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于 和 之间，将测量结果按如下方式分组： ， ， ，得到的频率分布直方图如图所示（）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；（）求这 名男生身高在 以上（含 ）的人数；（）在这 名男生身高在 以上（含 ）的人中任意抽取 人，该 人中身高排名（从高到低）在全市前 名的人数记力 ，求 的数学期望参考数据：若 ，则 ， 【答案】 （1）高于全市的平均值 （2） .【解析】试题分析：（）利用频率分布直方图进行求解；（）利用频率分布直方图得到后三组的频率，再求出人数即可；（）先确定 人中 以上的有 人，写出随机变量的所有可能取值，利用超几何分布得到每个变量的概率，利用期望公式进行求解.试题解析：（）由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为，高于全市的平均值 （或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为 ，比较接近全市的平均值 ）（）由频率分布直方图知，后三组频率为 ，人数为 ，即这 名男生身高在 以上（含 ）的人数为 人（） ， ，
