1、2018 届山东省德州市高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.把正确答案涂在答题卡上1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ， ，所以 .故选 C.2. 在复平面内，复数满足 ，则的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】由 ，得 ，则 ，即的共轭复数对应的点 位于第一象限.故选 A.3. 已知直线 ： ， ： ，若 ： ； ，则 是 的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件
2、D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为直线 ： ， ： ，所以或 ，即 是 的必要不充分条件.故选 C.点睛：本题考查两条直线平行的判定；由直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若将一般式化成斜截式，往往需要讨论斜率是否存在，为了避免讨论，记住以下结论：已知直线 ， .则 或 ；.4. 设 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）A. B. -2 C. D. 【答案】A【解析】将 化为 ，作出可行域和目标函数基准直线 （如图所示） ，当直线向左上方平移时，直线 在 轴的截距增大，由图象，得当直线 过点 时，取得最小值 .故选 A.5. 我国古代数学典籍九章算术 “盈不足”中有一
3、道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】程序框图，得 ， , ， ，结束循环，即输出 的值为 4.故选 A.6. 设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】易知函数 为偶函数，且当 时，函数 单调递增，若 ，则，即 .故选 A.点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用；在解抽象函数对应不等式时往往利用函数的单调性和奇偶性进行求解，记住常见结论可减少运算量，如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区
4、间上单调性相反，开口向上的偶函数离对称轴较近的自变量对应的函数值较大.7. 如图，矩形 中，点 的坐标为 点 的坐标为 直线 的方程为： 且四边形 为正方形，若在五边形 内随机取一点，则该点取自三角形 (阴影部分)的概率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】在 中，令 ，得 ，即 ，则 ，所以 ， ，由几何概型的概率公式，得在五边形 内随机取一点，该点取自三角形 (阴影部分)的概率 .故选 D.8. 若双曲线的中心为原点， 是双曲线的焦点，过 的直线与双曲线相交于 ， 两点，且 的中点为 则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意设该双曲线的标准方程为
5、 ， ，则 且 ，则 ，即 ，则 ，即 ，则，所以 ，即该双曲线的方程为 .故选 B.点睛：本题考查双曲线的标准方程、直线和双曲线相交的中点弦问题；在处理直线和圆锥曲线的中点弦问题时，往往利用点差法进行处理，比联立方程过程简单，其主要步骤是（1）代点： 且 ；（2）作差 ；（3）确定中点坐标和直线斜率的关系.9. 已知函数 （其中为自然对数的底数） ，则 的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令 ， ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又令 ，所以 有两个零点，因为 ， ，所以，且当 时， ，当 时， ， ，当 时， ， ，选项 C 满足条件.故选 C.点睛：本题
6、考查函数的解析式和图象的关系、利用导数研究函数的单调性；已知函数的解析式识别函数图象是高考常见题型，往往从定义域、奇偶性（对称性） 、单调性、最值及特殊点的符号进行验证，逐一验证进行排除.10. 一个几何本的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知该几何体是由一个四棱锥（高为 ，底面是以 4 为底、3 为高的矩形）半个圆柱（半径为 2，高为 3）组合而成，则该几何体的体积为 .故选 D.11. 已知点 是抛物线 ： 的焦点，点 为抛物线 的对称轴与其准线的交点，过 作抛物线 的切线，切点为 ，若点 恰好在以 ， 为焦点的双曲线上，则双曲线的
7、离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，得 ，设过 的抛物线 的切线方程为 ，联立 ，令 ，解得 ，即 ，不妨设 ，由双曲线的定义得，则该双曲线的离心率为 .故选 C.12. 已知 的定义域为 ，若对于 ， ， ， ， ， 分别为某个三角形的三边长，则称 为“三角形函数” ，下例四个函数为“三角形函数”的是（ ）A. ； B. ；C. ； D. 【答案】B【解析】由三角形的三边关系，可得“三角形函数”的最大值小于最小值的二倍，因为单调递增，无最大值和最小值，故排除 A， ，符合“三角形函数”的条件，即 B 正确， 单调递增，最大值为 4，最小值为 1，故排除 C，单调递
8、增，最小值为 1，最大值为，故排除 D.故选 B.点睛：本题以新定义为载体考查函数的单调性和最值；解决本题的关键在于正确理解“三角形函数”的含义，正确将问题转化为“判定函数的最大值和最小值间的关系”进行处理，充分体现转化思想的应用.第卷（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题每题 5 分，满分 20 分把答案填在答题卡的相应位置13. 已知向量 ， ，若向量 与垂直，则 _【答案】-1【解析】因为 ， ，所以 ，由向量 与垂直，得 ，解得.14. 若函数 则 _【答案】1【解析】由题意，得 .15. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的 次训练成绩（单位：环）结果如下：则成绩较稳定（方差较小）
9、的那位运动员成绩的方差为_【答案】2【解析】由数据可以看出运动员乙成绩较稳定，其平均成绩为 90，其方差为.16. 在 中， 为 边长一点， ， 若 且 的面积为 ，则_【答案】【解析】在 中，由余弦定理，得 ，解得 ，因为的面积为 ，所以 ，所以 ，在 中，由余弦定理，得，由三角形的面积公式，得 ,即.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列 的前 项和为 满足 （）求数列 的通项公式；（）设 求数列 前 项和 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（）利用 求得数列的递推公式，再利用等比数列的定义和通项公式进行求解；（）先利
10、用对数的运算得到 ，再利用裂项抵消法进行求和 .试题解析:（）当 时， -得： ；即 ，又 ；得： ，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 ，即 ，（） ， ， ， 点睛：本题考查 的应用、裂项抵消法；（1）利用 解题时，要注意其是一个分段函数，一定要验证 是否满足第二段的表达式；（2）裂项抵消法是一种常考的求和方法，适用题型主要有： ； ； .18. 如图，三棱锥 中， ， 平面 ， ，点 在线段 上，且 （）证明：平面 平面 ；（）设 ， ， ，若 为棱 上一点，且 面 ，求四棱锥 的体积【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（）先利用线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的
11、判定定理和面面垂直的判定定理进行证明；（）利用线面平行的性质定理得到线线平行，作出线面垂直，利用直角三角形求出相关边长，再利用体积公式进行求解.试题解析:（）证明：因为 面 ， 面 ，所以 ，又因为 ，所以 ，又 所以 面又 面 ，所以面 面（） 面 ， 面 ，面 面 所以 ，又因为 ，所以 ， 过 作 ，则 ，且 面 ， ，又 ， 中， ，中， ，所以 ，所以 ，解得由体积公式知，19. 某高中三年级共有 人，其中男生 人，女生 人，为调查该年级学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时） （）应收集多少位女生样本数据？（）根据
12、这 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示） 其中样本数据分组区间为： ， ， ， ， ， 估计该年组学生每周平均体育运动时间超过个小时的概率（）在样本数据中，有 位女生的每周平均体育运动时间超过 个小时请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有 的把握认为“该年级学生的每周平均体育运动时间与性别有关 ”附：【答案】(1) (2) （3）有 的把握认为“该年组学生的周平均体育运动时间与性别有关”【解析】试题分析：（）利用分层抽样的特点（等比例抽样）进行求解；（）利用频率分布直方图进行求解；（）先利用频率分布直方图得到每周平均体育运动时间与性别的列联表，再
13、利用 公式求值，利用临界值表进行判定.试题解析:（） ，所以应收集 位女生的样本数据（II）由频率分布直方图得 ，该年级学生每周平均体育运动时间超过 个小时的概率为 （）由（）知， 位学生中有 人的每周下均体育运动时间超过 小时 人的每平下均体育运动时间小超过 小时，又因为样本数据中有 关于男生的 是关于女生所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男生 女生 总计每周平均体育运动时间不超过 小时每周平均体育运动时间超过 小时总计结合列联表可算得 有 的把握认为“该年组学生的周平均体育运动时间与性别有关 ”20. 已知椭圆 ： 的左、右有顶点分别是 、 ，上顶点是 ，圆 ： 的圆心到直线 的距离是 ，且椭圆的右焦点与抛物线 的焦点重合（）求椭圆 的方程；（）平行于 轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为 、 ，直线 、 与 轴的交点记为 ，试判断 是否为定值，若是，证明你的结论若不是，举反例说明【答案】(1) (2) 是定值为【解析】试题分析：（）写出 的方程，利用点到直线的距离和抛物线的焦点坐标进行求解；（）设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系、点在圆上及平面向量的数量积公式进行求解.
