1、2018 届安徽省巢湖市柘皋中学高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 的子集的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】 由题意，令 ，得 ，所以 ，其子集的个数为 ，故选 B.2. 的内角 的对边分别为 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 在 中， 则 ,即 ，若 ，则 ，即 ，所以 是 成立的充要条件，故选 C.3. （ ）A.
2、 B. C. D. 【答案】D【解析】 由 ，故选 D.4. 下列命题中正确的是（ ）A. 命题“ ，使 ”的否定为“ ，都有 ”B. 若命题 为假命题，命题 为真命题，则 为假命题C. 命题“若 ，则与 的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题D. 命题“若 ，则 或 ”的逆否命题为“若 且 ，则 ”【答案】D【解析】 选择 A：命题“ ，使 ”的否定为“ ，都有 ”；选项 B： 为真命题； 选项 C：“若 ，则与 的夹角为锐角”原命题为假命题，逆命题为真命题，故选 D5. 中，角 的对边分别为 ， ， ， ，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A由正弦定理 ，可得 ，进而得到 ，故选 A
3、.6. 已知数阵 中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若 ，则所有九个数的和为（ ）A. 18 B. 27 C. 45 D. 54【答案】C【解析】 由题意得，这九个数的和 根据等差数列的性质，得 ，又因为各列也构成等差数列，则 ，所以 ，故选 C.7. 已知函数 （ ） ，且导函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 因为 ，所以 ，由图象可得，函数 的最大值 ，又因为 ，所以 ，可得 ，所以 ，将 代入 ，得 ，即 ，即 ，因为 ，所以 ，所以所以 ，故选 B.8. 如图，设 是平面内相交成 角的两条数轴， 、
4、分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在仿射坐标系 中的坐标.若在此仿射坐标系下， 的坐标为 ， 的坐标为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 在平面直角坐标系可得： ，则 ，所以 ，故选 A.9. 函数 （ ）的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由题意可知 ，所以函数 是奇函数，依据图象排除 A 和 C 选项，由于 ，即 ，排除 D 选项，故选 B.10. 将向量 组成的系列称为向量列 ，并定义向量列 的前 项和 若，则下列说法中一定正确的是（ ）A. B. 不存在 ，使得C. 对 ，且 ，都有 D. 以上说法
5、都不对【答案】C【解析】 由 ，则 ，所以数列 构成首项为 ，公比为的等比数列，所以，又当 时， ，所以当 ，且 时， 是成立的，故选 C.11. 已知 ， ， ，则函数 （ ）的各极大值之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 由题意得， ，所以 ，则 ，所以 的极大值点为 ，的各极大值之和为 ，故选 A.点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用以及等比数列的求和问题，其中解答中涉及到归纳推理、利用导数研究函数的极值，以及等比数列求和公式等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中认真审题，利用导数判定出函数在定义域上的极大值点是解答的关键.12. 如图，点 为
6、的边 上一点， ， 为边 上的一列点，满足，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，且 ，所以 ，得 ，所以 ，又 ，所以数列 表示首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，故选 B.点睛：本题主要考查了向量的运算和数列的通项公式的求解问题，其中解答中涉及到向量的线性运算，共线向量的表示和等差数列的判定和等差数列的通项公式的应用，试题综合性强，属于中档试题，解答中根据向量的运算和共线向量的表示，得出数列 和 的关系是解答的关键.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. _【答案】【解析】 由 ，及 ，可得 ，所以 .1
7、4. 已知函数 ，若 ，则实数的值是_【答案】0 或 或【解析】 由题意得，当 时， ，符合题意；当 时， ，解得 ，符合题意；当 时， ，解得 ，符合题意，综上所述， 或 或 .15. 若直线 为函数 图象的一条切线，则 的最小值为_【答案】0【解析】 设切点 ，则 ，所以方程为 ，即 ，所以 ， ，可得 在 上单调递减，在 单调递增，所以当 时， 取得最小值 .点睛：本题主要考查了导致在函数中的应用，其中解答中涉及到导数的几何意义求解切线的方程，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的最值等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中根据导数的几何意义，得出切线方程，
8、求得 的解析式是解答的关键.16. 点 为 所在平面内的一点且满足 ，动点 满足 ， ，则 的最小值为_【答案】【解析】 因为 ，即点 是 外接圆的圆心，即外心，又因为 ，即点 是 外接圆的重心，所以 是等边三角形，由 ，解得 ，即三角形的边长为 ，以点 为原点建立坐标系，并且做单位元，点 是圆上任意一点，则 ，点 是 的中点，所以 ，当 时，函数取得最小值 ，即 的最小值为 .点睛：本题主要考查了三角函数的综合应用问题，其中解答中涉及到三角形的性质，正弦定理解三角形，以及三角函数的恒等变换和三角函数的性质，试题综合性强，属于难题，解答中根据三角形的形式和正弦定理得到三角形为等边三角形，建立坐
9、标系，利用坐标法求解是解答的关键.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量 ， ，记函数 .(1)求函数 的最大值及取得最大值时 的取值集合；(2)求函数 在区间 内的单调递减区间.【答案】 （1） 最大值 ，且取得最大值时 的集合为 ；（2） 和【解析】 试题分析：()由题意，化简得 ，即可求解函数 的最值，及其相应的 的值.()由题意:根据三角函数的图象与性质，即可求解 在 的单调递减区间试题解析：当 ，即 时， 取得最大值.此时 ， 最大值 .且取得最大值时 的集合为 .(2)由题意: ， 即 ， 于是， 在 的单调递减
10、区间是 和 18. 在等差数列 中， ， .记数列 的前 项和为 .(1)求 ；(2)设数列 的前 项和为 ，若 成等比数列，求 .【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：()由题意，求得等差数列的公差 ，进而得到数列的通项公式，即可求解数列的前 项和.()由 成等比数列，求解 ，进而得到数列 通项公式，再猜裂项相消求和即可.试题解析：(1)由 得 ， ， ， ， ， ，(2)若 成等比数列，则 ，即 ， ， .19. 设 分别为 三个内角 的对边，若向量 ，且 .(1)求 的值；(2)求 的最小值(其中 表示 的面积).【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：()由题意得，得出向量
11、的坐标，根据 ，利用 ，化简即可到结论；()由三角形的面积公式及余弦定理，得 ，在 中，得出 ，再利用正切的两角和公式和基本不等式，即可求解结论. 试题解析：(1) ， ，且 ， 即 ，因此 .(2)由 及余弦定理，得在 中， ，易知 ， 即当且仅当 时， 20. 设函数 .(1)讨论 的单调性；(2)当 时， 恒成立，求实数的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：()由定义域为 ，求得 ，分 ， 两种情况讨论，即可得出函数的单调性；()由()可知得到 ，则 恒成立，转化为函数 ，得出 ，令令 ，利用导数得出 的单调性和最值，即可求解实数的取值范围.试题解析：(1)由定义域
12、为 ， ，当 时， ， 在 单调增当 时， ， ；在 单调增， 在 单调减综上所述:当 时， 在 单调增；当 时， 在 单调增， 在 单调减(2)由()可知 ， ，则 恒成立令 ，显然 ，再令 ， ，当 ，当 在 单调减， 单调增 ， ， ，在 单调增， ， 21. 设正项数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， .(1)求数列 的通项公式；(2)若正项等比数列 满足 ，且 ，数列 的前 项和为 .求 ；若对任意 ， ，均有 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：() 由题意，可化简得 ，进而求得 ，所以 ，利用等差数列的通项公式，即可求解数列 的通项公式；()由（1）得出 ，利用乘公比错位相减法，求解数列 的和 ，在利用 恒成立，分类参数转化为 恒成立，即可求解结论.试题解析：(1) ， ， ， 且各项为正，又 ，所以 ，再由 得 ，所以 是首项为 1，公差为 3 的等差数列，
