1、常微分方程,辅导课程一,主讲教师：王稳地,一、绪论,常微分方程是一门把数学理论和实际问题相勾通的课程。大家知道，微积分是现代数学的核心内容之一。微积分在工程、经济和生物等领域发挥着重要的作用。用微积分解决实际问题的重要途径就是使用微分方程,基本概念,微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式,分类,常微分方程: 只含一个自变量的微分方程,偏微分方程: 含两个或两个以上自变量 的微分方程,方程的阶数: 方程中所出现的未知函数 的最高阶导数的阶数,n阶常微分方程的一般形式,n阶线性常微分方程,都是已知函数,线性,线性,非线性,非线性,非线性,方程的解,如果,则称 是方程的一个解,是解,方程的通解,如
2、果,是（1）的 解,（1）,有n个任意常数,是独立的,则称,是方程（1）,的通解,独立,例,是通解,是解含有两个任意常数两个任意常数独立,定解条件,从前面的例子可以看到，一个微分方程有无穷多个解，但在实际问题中，我们需要寻找方程满足某种条件的解，这种条件就叫做定解条件定解条件有两种，一种是初始条件，另一种是边界条件。这两种定解条件都是源于物理等科学的需要。我们主要涉及初始条件。对于n阶方程来说，初始条件的一般形式为:,这里,是已知的n+1个常数,它们由实际问题来决定。 我们把满足初始条件的解称为 初值问题的解,例,初始条件：,从通解中求初值问题的解,通解：,把y(0)=0代入：,例：求一个平面
3、曲线，使其向径与切线正交，并且经过点(0,1),解：设所求的曲线为y=y(x).,在曲线上任取一点(x,y(x). 过这一点的切线斜率为 而向径的斜率为 y/x, 因此,例： 受到空气阻力的自由落体运动设质量为m的物体，在时间t=0时下落，在空气中受到的阻力与物体下落的速度成正比，求物体下落的距离与时间的关系解： 建立坐标系，设x为下落的距离 下落的速度为 下落的加速度为物体受力：方程：,初始条件：,如果k=0, 也就是忽略空气阻力，则有,积分两次得：,再由初始条件，得：,微分方程的几何解释,考虑：设 是一个解，在xy平面上的图形叫一个积分曲线。根据初始条件，在xy平面做点 , 把这个点叫做初始点，一个解满足初始条件，从几何上看，就是有一条积分曲线过初始点，,设 是一个解, 则,在积分曲线 上任取一点， 过这一点的 切线斜率为,反之，如果 一条曲线上 任一点的 切线斜率为函数f在这一点的值，则它是积分曲线,方向场,设f(x,y)的定义域为D, 过D的每一点画一小线段， 其斜率等于f(x,y),我们把这种图形就叫做由方程所规定的方向场。例如：对于方程,对于方程,
