1、第二章 极限与连续第一节 数列的极限一、数列1、数列：依照某一法则依次排列的一列数 称为数列, 记作,21nx.nx其中的每个数称为数列的项,而 称为通项(一般项).n例 1 , ,)1(,n 1)nx,2例 2 , ,543,n,例 3 , ,)1(,4,1nxnn1)(,22、数列的特性(1) 有界性：若 , ,则称 有界,记作0M.tsn|21nx.)1(Oxn(2) 单调性: 若 , 则称 单调递增, 记作1321nxxnx.nx 若 , 则称 单调递减, 记作 . 单调递增或单调递减的数列统称为单调数列.3、研究数列 , 的变化趋势nxn1)(,2(1) 随着 的增大, 逐渐接近数
2、；,165,43,1,09,8765,4321(2) 随着 的增大, 与 的距离 想要多小就可以多小；nnx1nx|(3) 也就是说, 想要 多小,只要 足够大就可以.n|例如 给定 , 由 ，只要 ,就有 ；1001n1010|nx 给定 , 由 ，只要 ,就有 ；| 给定 , 由 ，只要 ,就有 ；1|nx一般地给定任意小的数 ,由 ,只要 ,就有 .0n1N|1|nx这样，我们抓住了数列 趋向 1的本质特征,这为给出数列极限的定x义奠定了基础。二、数列的极限1、定义(1) 收敛数列：设 nx为一数列, 是一个常数, 如果对于任意给定的正数a(不论它多么小),总存在正整数 ,使得当 时,恒
3、有 ,则称Nnaxn常数 是数列 n的极限,或者称数列 x收敛于 ,记作a a或,limaxn).(nxn即 , 时, .nli0N.ts|axn例 1 证明: .1)(linn分析： ,欲使 ,只需 或 即0nxn| 11n可.证明： ,取 ,当 时,恒有 ,N1xn|所以 .lim)(li nnnx例 2 证明: .0)1(li2nn分析： ,欲使 ,只需 或 即可.0nxn1)(|211n证明： ,取 ,当 时,恒有N,nxn1)(|0|2所以 .0lim)(li2nx例 3 设 ,证明: .1|0qli1nq分析： ,欲使 ,只需|0|x或 或 即可.l)(n|l1|lnq证明： ,取
4、 ,当 时,恒0 N1,|lnmaxqN1|lnq有, 所以 .1|nnqx 0limi1nnx(2) 发散数列：没有极限的数列.例 4 证明: 数列 是发散的.)1(nnx证明：用反证法.假设 , ,则Ratsaxnli对于 , , 时, .02N.|n特别地, 有 , , 那么|1x|2|)()(| 1axNN， 即 ,矛盾.1|2aN2所以,数列 是发散的.nn2、收敛数列必有界. 即: .xnlim)(Oxn证明：因 ,那么对于 , 时,axnli 01tsN.|n若取 ,|,|,|21axMN当 时, ；Nn而当 时, Man|1|)(|这样,对于所有 ,都有 , 所以 .Mn| )
5、(Ox3、 的几何解释axnlim对于 的任何一个邻域 , 总存在 ,当 时, )(),aUNn所有的 都落在邻域 中, 而至多只有有限项 落在这个邻域外.n(nxa1x2 31N2Nx4、子数列(1) 定义：数列 nx中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列 nx中的先后次序而得到的数列称为数列 nx的子数列, 可写成 ,21k显然： .k(2) 若 ,则 ,均有 . (反之亦然)axnlimknxaxknlim证明：因 ,那么 , 时, .0Nts|axn于是当 时,由于 ,从而 ,Nkk|kn所以 .axknli(3) 若 有两个子数列收敛于不同的数,那么 必发散.n nx例 5 证明:
6、数列 是发散的.)1(nnx证明：考察 的两个子数列 和 , 由于2kx12k2limlik所以数列 是发散的 .)(1nnx5、自然数中 的邻域(1) 自然数中 的 邻域 .N,|),(NnU(2) , 时, .axnlim0.ts)( |axn第二节 函数的极限一、当 时函数 的极限0x)(xf1、当 时函数 的变化趋势下面研究当 时函数 的变化趋势112f(1) 随着 趋近 , 逐渐接近常数 ；)(f(2) 随着 趋近 , 想要多小就可以多小；|x0|x(3) 也就是说, 想要 多小,只要 足够小就可以.|x例如 给定 , 只要 ,就有 ；10102|10|)(|xf 给定 , 只要 ,
7、就有 ；|x| 给定 , 只要 ,就有 ；| |)(|xf一般地给定任意小的数 , 只要 ,就有 ；02|1|x|1)(|xf这样，我们抓住了当 时,函数 趋向 1的本质特征,这)(f为给出函数极限的定义奠定了基础.2、定义:设 , 为一常数, )(0fDxUA若 , 当 时, 恒有 .ts|00x,|f则称函数当 趋近 时的极限为 ,记作0或 ( ).x)(lim0f)(03、几何解释无论 是多小的正数,总可以找到 的0x一个去心的 邻域 ,只要 在这个)(0xU xyO)(xfy0xA去心邻域中,函数 的图形就一定落在)(xf由两条直线 决定的带型区域中.Ay例 1 证明 ( 为常数).C
8、x0lim分析： ,欲使 ,只需 即可.0|f 1|0x证明： ,取 ,当 时,恒有 ,1x)(Cf所以 .x0li例 2 证明 .0lix分析： ,欲使 ,只需 即可.|)(| 00xf |0x证明： ,取 ,当 时,恒有,|)(| 00f所以 .limxx例 3 证明 .4)2(lix分析： ,欲使 ,只需 即可.0|2|3(|xf 3|2|x证明： ,取 ,当 时,恒有|0,|2|34)(|xf所以 .4)(lim例 4 证明 .1li2x分析： ,欲使 ,只需 即0 |1|2)(|)(| xf |1|0x可.证明： ,取 ,当 时,恒有 ,|0|2)(|f所以 .21limx例 5 证
9、明 .4312limx分析： ,欲使0, 4)1(5)3(9834)( xxf在 时,只需 或 即可 .1|x|1452|证明： ,取 ,当 时,恒有002min|x,3|145|45)1(453)(xf所以 .2li1x例 6 证明 ( 0x).00limx分析： ,欲使 , |1| 000 xxxf只需 即可.00|证明： ,取 ,当 时,恒有,in0|0,01|1|)(| xxxf所以 ( 0).0limx二、变量的极限1、变量 ：将数列 及函数 均用变量 表示,其中 与 均为自变yn)(xfynx量.2、变量 的极限：设 , 为一常数, )(DUA若 , 当 时, 恒有 ,0.ts)(
10、Ux|Ay则称当 趋近 时, 变量 以 为极限,记作xyA或 ( ).ylim具体说明如下表： yx),(Ux|yAyxlimnNn|Ann0x|0 fx)(li0x A00 fx)(lim0K| xfx)(li)(f|)(|Axf A其中: 、 称为左、右极限.)(lim00fxx )(li00xfx例 7 证明 .1lix分析： ,欲使 ,只需 即可.xxf1|)(| 21x证明： ,取 ,当 时,恒有 ,002xf1|0)(|所以 .lim1x例 8 证明 .lix分析： ,欲使 ,只需 即可 .0xf1|0)(| 1|x证明： ,取 ,当 时,恒有 ,001KKx| Kxf1|0)(|
11、所以 .limx三、极限的性质1、局部有界性：设 , .Ayxli0.ts)1(Oy),(Ux注：反之不然, 例如 有界但发散. )1(n证明：因 对于 , 时,xlim.t)(|)(|Af,|1|)(|)(|) AAxfxff 所以 , .1Oy,U2、唯一性：设 , . xliByxli证明：用反证法.假设 ,对于 ,因 , ,A02|0AyxlimBxli那么, 时, , 01.ts)(1U|y同时, 时, ,22x0B取 , .ts )()(),(21则当 时,同时有 , ,x0|Ay0|y于是 ,| BAByA 即有 ,矛盾, 所以 .|B3、局部保号性：(1)若 , .0limyx
12、.ts0y),(Ux(2)若 , .A证明:(1)因 对于 , 时,0limAyx02a.ts)(Ux.0|y, .00Ay0y),(2)同理可证.(3)推论 若 , .0limAyx.ts2|y),(Ux 若 ,且 , .y0.t1O),(4、保号性：(1)若 , , 且 , . AvxliBuxliuv)(UxBA(2)若 , 且 , .m0)(0(3)若 , 且 , .vxli 证明:(1 反证).假设 , 对于 , 因 , ,BA20AAvxlimBuxli那么, 时, ,01.ts)(1Ux0|vv02同时, 时, ,22|Bu取 , .ts )()(),(21则当 时,同时有 ,
13、,xvA于是 ,这与条件 矛盾, 所以 .vBAu2uBA5、 .Axf)(lim0Axffxx)(lim)(li00证明:“ ” , 时,fli0ts|0x,|)(|f从而,当 时, ；0x|)(|f也有,当 时, ,Ax所以 .ffxxlim)(li00“ ” , )(021.ts当 时, ；10|f当 时, ,2xAx取 ,当 时,有 , ,in|0|)(|Axf所以 .Afx)(lm06、 .fx)(lixffxx )(lili证明:“ ” , 时, ,f)(0Kts| |)(|Axf从而,当 时, ；K|)(|Af也有,当 时, ,所以 .xxfxlim)(li“ ” , f)(02
14、1.ts当 时, ；1|A当 时, ,2Kxf取 ,当 时,有 , 0aK| |)(|Axf所以 .fx)(li第三节 无穷小量与无穷大量一、无穷小量1、定义：若 ,称 当 时为无穷小量,记作 , )(x.0limyxx)1oy注：无穷小量并不是很小数.例 1 讨论下列无穷小量：(1) , , ；0)(lix1x)(o1x(2) , , ；x (3) , , .1lim2n12n)(n2、性质(1) , )(x.Ayxli )(o)1oAy证明: ,0lix )1(oAy)(.(1) 推论 , )(x.0C)1o证明： , )(x.1oC , )(.BA)其中, 均为常数.,证明： , )(x
15、.01(oBA)1oB(2) , )(x. (反之 不一定成立!)1(Oo)O证明：设 , )(.ylimy()反之,由于 ,但 ,即 ,sn0sinlxx xo,1si可见 不一定成立.)(3) , )x. (可推广至有限项)1)(o证明：设 , ，那么 ,u(v0时, , 01.ts)(1Ux2|u时, ,22|v取 , .ts )()(),(21则当 时,同时有 , ,x|u|于是 , 2|vu所以 即 , )(x.)1(o)1(o(4) , x.)(O证明：设 , , ；u)(U0,1M.tsu| ),(1U又设 ,那么 , 时, ,1ov2)(2xMv|取 , 0.ts)()(21则
16、当 时,同时有 , ,xu|v|于是 , Mvu|所以 即 , )(x.)1(o)1()oO例 2 , , ,sinx那么 , ,)1()(iox.0s1limxx(4) 推论 , )(.)(oC , )(x. (可推广至有限项)1()o二、无穷大量1、定义:设 ,若 0M, ,当 时,恒有)(yDU )(Ux,My|则称 当 时为无穷大量, 记作 yxlim.x注： 无穷大量并不是很大数. 将 换成 ,可定义 .y|xli 将 换成 ,可定义 .y2、定理：若 ,那么 yxlim)1(o, )x.0y分析：“ ” ,欲使 , 只需 ；1y“ ” ,欲使 , 只需 .0MM证明: “ ” ,因
17、 yxlim, 那么对于 , , 01当 时,恒有 ,即 ,)(U|y所以 1oy, )x；“ ” ,因 (, ,那么对于 ,0M01M,当 时,恒有 ,即 ,)Uxy1|所以 yxlim.例 3 由于 , 所以 .0)1(limx1limx三、渐近线1、水平渐近线：若 ,则称 为函数的水平渐近线；Cfx)(liy例 4 .1sn)(li fx为函数 的水平渐近线.y)(fy图形 plot(sin(x)/x+1,x=-100100);2、铅直渐近线：若 ,则称 为函数的铅直渐近线.)(lim0xf0x例 5 .1)(li1xf为函数 的铅直渐近线.)(fy图形 plot(1/(x-1),x=-
18、55,y=-55);第四节 极限运算法则一、极限的四则运算法则设 , , 即 , , )(x.AuxlimBvxli )1(oAu)Bv1、 . (可推广至有限项 )xlim)(证明:因 1()1( oo, . 所以 .Avuxli2、 . (可推广至有限项)vuABvuxx li)(li证明:因 )1()(11)( oBoAo, . 所以 .1ovuxlim2、推论(1) , ( 为常数).vCxxlim)(li(2) .nnu3、 , ( ).vBAvxxlili 0证明：因 , .m.ts)1(Ov),(UxBAoBoAvuv )1()( , (x. 所以 .)1()oBOvuxlim例
19、 1 .12lili2lim(li 111 xxxx例 2 .3753li5li35li 232232 xxxx4、设 为多项式 , 则 .)(Pnnaa10)( )(lim00xPx证明： limli 100nxx nxnna0li1xx a00)li()li( 11.)(01Pannn5、设 均为多项式, 且 , 则 .)(xQPxQ)(lim00xQPx证明： .)(lim)(li 000xx例 3 .613lim9li32 xx例 4 由于 , 所以 .09245li1x 4592lim1xx例 5 .730357lim37li23 xxxx例 6 .212li2li 33 xxxx例
20、 7 由于 , 所以 .05lim23xx 15lim2xx6、一般地, 其中 . , ,0li 010 mnbaxbannmmx.,0ba二、复合函数极限的运算法则1、设 ,且 , ,又 ,则)(limx)()(UxAuf)(li或 .Af lif证明：因 ,于是 , 时,u)(li0.ts)(,|)(|Af又因 且 , ,那么对于 , )(limx)()(Ux0.ts时, , 从而 ,U|0|)(|Axf所以 .Afx)(li2、设 ,且 ,又 , 则 .nlinxf)(lifn)(lim证明：显然是 1、的推论.例 8 由于 , 而 ,21limli2nxn 2li)(li2xfx所以
21、.)(fxnn第五节 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在准则1、准则(两边夹准则): ,且 , ,则Avuxxlimvwu)(Ux. Awxlim证明：因 , , )(.vuxxli)1(o)又因 ,于是, ,0.ts1)( oAOA, )(x. )1o所以 .wxli( 其实 , ； , . )uv0vu例 1 证明: , .1limna)(证明：(1)当 时,结论显然成立；(2)当 时, 令 ,有1a01nat,nnnk ttttC1)(0这样 ,( ), 于是 ,nt0limn所以 ；1)(limlin ta(3)当 时,令 , .10ab1li1lilinnnb(4)由(1)(2)
22、(3)知, , .lin)0(2、准则：单调有界数列必有极限.证明：不妨假设 .Nxxn 1210(1) , , ；,Nm0.ts001bmxann(2)将 10 等分, 其中第 份 满足 0ba11c, , , ；11xnb9将 10 等分, 其中第 份 满足,kkn.tsk,kba, , , ； naka10c(3)令 ，显然R kcmx210., 又 , , , kbknbxk321于是 ( , )0|0knan所以 .lix例 2 设 , , ,证明数列 存在极限并求之.1x12nn3nx证明：(1)显然 ,假设 ,有 ,2x21n因此, , ；0n(2)由于 ,假设 ,有1122xx
23、1nxnnn因此, 为单调递增数列；(3)由(1)(2)知, 数列 必存在极限.nx(4)假设 ，显然有 ，且anlim20a，nli1即 ，得 ( 舍去).23、准则：有界数列必有收敛的子数列.证明：(1)假设 .00bMxan(2)将 等分,其中有 1 份 包含 无穷项, b,1anx选择 , ；1n2将 等分, ,其中有 1 份 包含 无穷项,ka,kbn选择 , ；knbxk 1a(3) 这样得到 , , 且 , 由准则知, 0k, 均存在.aklimkli而 , 可令 .2li)(1kMbbax0(4) 因 , 由准则, 知道 .knkx mkn二、两个重要极限1、 .1silm0x
24、证明：如图, ,AODBAOSS扇从而,当 时, ,2xxtan21sin即 , 显然 时此式也成立. 1sicox0BADxCO1由准则, 知 . 下证 .1sinlm0x1cosli0x因 时, 2|0x,)( 2)(2sinco10xx所以 .1l0例 3 .1coslimsnlicosilmtali 0000 xxxx例 4 .21inl2sil42sinlco1li 2020020 txxx txt2、 .enlim证明：令 , nkkCx011,32(1) 先证 . 由于nn1!)()!2)( 21(!1n)1()()(!1 nxn 1(1)显然 , ， 所以 . 1nx,32nx
25、(2) 再证 , 即 , . 由于|n,)1()21(!)1(!2nnnxn 1231 .21nn(3) 由(1)(2)及准则 知, 存在,记作 , 即 .nxlimeen1lim其中： 是无理数, 它的值是 .e 7182.例 5 .ennnnnn 1lim1li1li 1例 6 .ennn lililimli1例 7 证明: .exx1li证明:(1) , , 从0Nn.ts1nxnx1而, 所以 .exe 11 exxlim(2) tttxtttttx 1li1lilimli.etttt 11lim(3) 由(1)(2)知, .xxli例 8 .etttxtx 1li)1(li10例 9
26、 .ettttttxx 1lim1lilim例 10 .21li1li1li exxxxxx 三、连续复利1、一年一个计息期的复利：设年利率为 ,贷款本金为 ,那么r0A一年后本利和为： ；)1(r两年后本利和为： ；22年后本利和为： .kkkr)(02、一年 个计息期的复利：n设年利率为 ,一年 个计息期,显然每期利率为 ,rnnr若贷款本金为 ,那么, 年后本利和为：0Ak.knkrA)1(03、连续复利：即每时每刻计算复利.设年利率为 ,贷款本金为 ,让一年计息期的个数 ,则 r0 n年后本利和为：k.krkrnkn eAArA000 )1(lim)1(li 第六节 无穷小的比较一、定
27、义设 , 为无穷小,且 .)(x)(01、 是比 高阶的无穷小 , 记作 , ；limx )(o)x例 1 , , .03lim2x)(2o)2、 是比 低阶的无穷小 ；xli例 2 , 当 时, 是比 低阶的无穷小.21linn12n3、 与 是同阶无穷小 , ( 为常数) ；0limCx例 3 , 当 时, 与 是同阶无穷小. 69lim2x3923x4、 是关于 的 阶无穷小 , ( 为常数, )；k0limCkx 0k例 4 , 当 时, 是 是二阶无穷小.21coslim0xxcos15、 与 是等价无穷小 , 记作 , .lix)(例 5 (1) , ； (2) , ；xsin)0
28、( 21cosx0(3) , .arc其中, .1sinlmsil0arcsi0 yxyxyx例 6 证明： , .n1)(x证明：因 1)1()(lili 200 nnnxx x)1()(lim20nnnx 所以 , .x10二、性质1、 , .)()(oo )证明：这是因为 及 .0limx 0)1(liox2、 , .)()证明： 1lix 1(o)1(o.)(o例 7 显然(1) , ；)(sinxo)0(2) , ；ta(3) , ；rc(4) , .)(21s2xx)3、 , , , .k)(x证明： , , .1limli xx 4、 , , , 且 .)(Axli Axxlim
29、li证明： .xx lilim例 8 .52lili5sin2tal 000xxx例 9 .321limcos)1(li 20320 xxxx5、 , , , , 且 , 则)(AxliBxlim. (显然)Bxx lili注：极限 与 存在很重要, 否则结论可能不成立！m例如 取 , , , ,2 x2 2x)0(注意到 , 而 ,2limli00xx0limli20xx可见 .例 10 .31li3li3sinlm2000 xxx例 11 .21limcoslisinco1lisital 002030 xxxx第七节 函数的连续性一、函数的连续性1、 )(xf在点 连续0(1)定义：若 ,
30、 则称)(lim0xffxf在点 连续,记作 .0)(0xC同时称 是 f的连续点 .(2) )(xf在点 连续的等价命题0 , ( )；)1(of0x , 当 时, 恒有 ；.ts| |)(|0xf ；)limli)(limli 000 00 fyfxfy xxx , ( ).)1o其中： 称为自变量 在点 处的增量；0称为函数 在点 处的增量.(0fxfy)(f0yO)(xf)f0(0y2、 )(xf在点 左连续及右连续0(1) 若 , 则称 )(xf在点 左连续；)(limxf0(2) 若 , 则称 f在点 右连续.li00fx 0(3) 性质： .)(0xCf)(lim)(li 000
31、 xfxfxx 3、 )(xf在区间 上连续I(1)定义：若函数 )(f在 上每一点都连续, 则称 )(f在 上连续, 同时称 I是在 上的连续函数,记作 , 简记 .CxfCxf)(注意： 在区间 的左端点连续指右连续；I )(xf在区间 的右端点连续指左连续.例如：设 , , 则 .y1x1,)(xf(2)几何意义：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例1 有理整函数 .),()CxP证明： , , ,(0)(lim00xPx)(0xC从而 .例2 有理分式函数 在 内每一点连续.)(xQFFD证明： , 显然 ,由于)(0Dx0,)()(limli 0000 xPx.)(CF例3 .
32、,)(xf证明： , ,)0(x)(lim)(li 000 xfxfx , 从而 .CP),(CP例4 .),(sin)(xf证明： , 由于0|2sin2cossi2|i| 00000 xxx于是 ,inlm)(l 00 xfxx, 从而 .)(im0f )()(Cxf例 5 . (同理可证),(cosCf二、函数的间断点1、定义：设 ,若 不是 )(xf的连续点,)(0fDxU0则称 是 的不连续点或间断点 ,记作 .)(0xCf2、间断点的三种情况(1) ；)(0fx(2) ,但 不存在；)(lim0xf(3) ,虽然 存在,但 .0fD)(li00xfx3、间断点的分类设 是 )(xf的间断点，那么0(1) 第一类间断点 及 存在；)(0f)(0xf 可去间断点 ；例如 为 的可去间断点.1x1)(2f为 的可去间断点.0|sgn|x
